Теория возмущений полости

В математике и электронике описывает теория возмущений полости методы вывода возмущений формул для изменения характеристик полого резонатора .

Предполагается, что эти изменения характеристик вызваны либо попаданием в полость небольшого инородного предмета, либо небольшой деформацией ее границы. Различные математические методы могут быть использованы для изучения характеристик полостей, которые важны в области микроволновых систем и, в более общем плане, в области электромагнетизма.

Полостные резонаторы находят множество промышленных применений, включая микроволновые печи, системы микроволновой связи и системы дистанционного формирования изображений с использованием электромагнитных волн. То, как работает резонансный резонатор, может повлиять на количество энергии, необходимое для его резонанса, или на относительную стабильность или нестабильность системы.

Введение

Когда резонансная полость возмущается, например, путем введения в полость постороннего предмета с различными свойствами материала или когда форма полости слегка изменяется, электромагнитные поля внутри полости соответственно изменяются. Это означает, что все резонансные моды (т. е. квазинормальная мода ) невозмущенного резонатора незначительно изменяются. Аналитическое предсказание того, как возмущение меняет оптический отклик, является классической проблемой электромагнетизма, важные последствия которой простираются от радиочастотной области до современной нанооптики. Основное предположение теории возмущений полости состоит в том, что электромагнитные поля внутри полости после изменения очень мало отличаются от полей до изменения. Тогда уравнения Максвелла для исходных и возмущенных полостей можно использовать для получения аналитических выражений для результирующего сдвига резонансной частоты и изменения ширины линии (или изменения добротности ), обращаясь только к исходной невозмущенной моде (а не возмущенной).

Общая теория

Частоты резонаторов удобно обозначать комплексным числом ${\tilde {\omega }}=\omega -i\gamma /2$, где $\omega =Re({\tilde {\omega }})$ - угловая резонансная частота и $\gamma =2Im({\tilde {\omega }})$ является обратной величиной времени жизни моды. Теория возмущений резонатора была первоначально предложена Бете-Швингером в оптике. и Waldron в радиочастотной области. Эти первоначальные подходы основаны на формулах, учитывающих запасенную энергию.

${\frac {{\tilde {\omega }}-{\tilde {\omega }}_{0}}{{\tilde {\omega }}_{0}}}\thickapprox -{\frac {\iiint _{V}\Delta \epsilon |E_{0}|^{2}dv}{\iiint _{V}(\mu _{0}|H_{0}|^{2}+\epsilon |E_{0}|^{2})dv}}\,$ ( 1 )

где ${\tilde {\omega }}$ и ${\tilde {\omega }}_{0}$ – комплексные частоты возмущенной и невозмущенной мод резонатора, $H_{0}$ и $E_{0}$ – электромагнитные поля невозмущенной моды (изменение проницаемости для простоты не рассматривается). Выражение ( 1 ) основано на соображениях запасенной энергии. Последние интуитивно понятны, поскольку здравый смысл подсказывает, что максимальное изменение резонансной частоты происходит, когда возмущение находится в максимуме интенсивности моды резонатора. Однако учет энергии в электромагнетизме справедлив только для эрмитовых систем, для которых энергия сохраняется. Для полостей энергия сохраняется только в пределе очень малых утечек (бесконечные добротности), так что выражение ( 1 ) справедливо только в этом пределе. Например, очевидно, что выражение ( 1 ) предсказывает изменение добротности ( $Im({\tilde {\omega }}-{\tilde {\omega }}_{0})$) только если $\Delta \epsilon$ является комплексным, т.е. только в том случае, если возмутитель является поглотителем. Очевидно, что это не так, и хорошо известно, что диэлектрические возмущения могут как увеличивать, так и уменьшать добротность.

Проблемы связаны с тем, что полость представляет собой открытую неэрмитову систему с утечкой и поглощением. Теория неэрмитовых электромагнитных систем отказывается от энергии, т.е. $|E.E|$ продукции и, скорее, фокусируется на $E.E$ продукты это комплексные величины, мнимая часть которых связана с утечкой. Чтобы подчеркнуть разницу между нормальными режимами эрмитовых систем и резонансными режимами вытекающих систем, резонансные режимы часто называют квазинормальными режимами . В этой рамках сдвиг частоты и изменение добротности прогнозируются по формуле

${\frac {{\tilde {\omega }}-{\tilde {\omega }}_{0}}{{\tilde {\omega }}_{0}}}\thickapprox -{\frac {\iiint _{V}\Delta \epsilon E_{0}^{2}dv}{\iiint _{V}(\mu _{0}H_{0}^{2}+\epsilon E_{0}^{2})dv}}\,$ ( 2 )

Точность основополагающего уравнения 2 была проверена на примере множества сложных геометрий. Было показано , что для резонаторов с низкой добротностью, таких как плазмонные нанорезонаторы, которые используются для зондирования, уравнение 2 предсказывает как сдвиг, так и расширение резонанса с высокой точностью, тогда как уравнение 1 неточно предсказывает и то, и другое. Для фотонных резонаторов с высокой добротностью, таких как фотонно-кристаллические полости или микрокольца, эксперименты показали, что уравнение 2 точно предсказывает как сдвиг, так и изменение добротности, тогда как уравнение 1 точно предсказывает только сдвиг.

Следующие разделы написаны с $|E.E|$ продукты; однако их следует понимать с учетом $E.E$ продукты теории квазинормальных режимов.

Материальное возмущение

Возмущение материала полости

Когда материал внутри полости изменяется ( диэлектрическая проницаемость и/или проницаемость ), соответствующее изменение резонансной частоты можно аппроксимировать как:

${\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox -{\frac {\iiint _{V}(\Delta \mu |H_{0}|^{2}+\Delta \epsilon |E_{0}|^{2})dv}{\iiint _{V}(\mu |H_{0}|^{2}+\epsilon |E_{0}|^{2})dv}}\,$ ( 3 )

где $\omega$ – угловая резонансная частота возмущенного резонатора, $\omega _{0}$ - резонансная частота исходного резонатора, $E_{0}$ и $H_{0}$ представляют исходное электрическое и магнитное поле соответственно, $\mu$ и $\epsilon$ - исходная проницаемость и диэлектрическая проницаемость соответственно, а $\Delta \mu$ и $\Delta \epsilon$ — это изменения исходной проницаемости и диэлектрической проницаемости, вызванные изменением материала.

Выражение ( 3 ) можно переписать в терминах запасенной энергии как:

${\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox -{\frac {1}{W}}\iiint _{V}({\frac {\Delta \epsilon }{\epsilon }}\cdot {\bar {w_{e}}}+{\frac {\Delta \mu }{\mu }}\cdot {\bar {w_{m}}})dv\,$ ( 4 )

где W — полная энергия, запасенная в исходном резонаторе, ${\bar {w_{e}}}$ и ${\bar {w_{m}}}$ – плотности электрической и магнитной энергии соответственно.

Возмущение формы

Возмущение формы полости

Когда общая форма резонансной полости изменяется, соответствующее изменение резонансной частоты можно аппроксимировать как:

${\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox {\frac {\iiint _{\Delta V}(\mu |H_{0}|^{2}-\epsilon |E_{0}|^{2})dv}{\iiint _{V}(\mu |H_{0}|^{2}+\epsilon |E_{0}|^{2})dv}}\,$ ( 5 )

Выражение ( 5 ) для изменения резонансной частоты можно дополнительно записать через средние по времени запасенные энергии как:

${\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox {\frac {\Delta W_{m}-\Delta W_{e}}{W_{m}+W_{e}}}\,$ ( 6 )

где $\Delta W_{m}$ и $\Delta W_{e}$ представляют собой средние по времени электрические и магнитные энергии, содержащиеся в $\Delta V$.

Это выражение также можно записать через плотности энергии как:

${\frac {\omega -\omega _{0}}{\omega _{0}}}\thickapprox {\frac {({\bar {w_{m}}}-{\bar {w_{e}}})\cdot \Delta V}{W}}\,$ ( 7 )

Значительного повышения точности прогнозирующей силы уравнения ( 5 ) можно добиться путем включения поправок на локальное поле, что просто является результатом условий взаимодействия электромагнитных полей , которые различны для векторов поля смещения и электрического поля на границах формы.

Приложения

Методы микроволновых измерений, основанные на теории возмущений полости, обычно используются для определения диэлектрических и магнитных параметров материалов и различных компонентов схемы, таких как диэлектрические резонаторы . Поскольку для экстраполяции свойств материала необходимо предварительное знание резонансной частоты, сдвига резонансной частоты и электромагнитных полей , в этих методах измерения обычно используются стандартные резонансные полости, где резонансные частоты и электромагнитные поля хорошо известны. Двумя примерами таких стандартных резонансных резонаторов являются прямоугольные и круглые резонаторы волноводов и резонаторы коаксиальных кабелей . Методы измерения возмущений полости для определения характеристик материалов используются во многих областях: от физики и материаловедения до медицины и биологии.

Примеры

ТЕ _{10 н} прямоугольный волноводный резонатор

Образец материала вводили в полость прямоугольного волновода.

Для прямоугольного резонатора волновода распределение доминирующих полей $TE_{10n}$ режим хорошо известен. В идеале измеряемый материал вводится в полость в положении максимального электрического или магнитного поля. Когда материал вводится в положение максимального электрического поля, вклад магнитного поля в сдвиг возмущенной частоты очень мал и им можно пренебречь. В этом случае мы можем использовать теорию возмущений для вывода выражений для действительных и мнимых составляющих комплексной диэлектрической проницаемости материала. $\epsilon _{r}=\epsilon _{r}'+j\epsilon _{r}''$ как:

$\epsilon _{r}'-1={\frac {f_{c}-f_{s}}{2f_{s}}}{\frac {V_{c}}{V_{s}}}\,$ ( 8 )

$\epsilon _{r}''={\frac {V_{c}}{4V_{s}}}{\frac {Q_{c}-Q_{s}}{Q_{c}Q_{s}}}\,$ ( 9 )

где $f_{c}$ и $f_{s}$ представляют резонансные частоты исходного резонатора и возмущенного резонатора соответственно, $V_{c}$ и $V_{s}$ представляют собой объемы исходной полости и образца материала соответственно, $Q_{c}$ и $Q_{s}$ представляют собой добротность исходных и возмущенных полостей соответственно.

Зная комплексную диэлектрическую проницаемость материала, мы можем легко рассчитать его эффективную проводимость. $\sigma _{e}$ и тангенс угла диэлектрических потерь $\tan \delta$ как:

$\sigma _{e}=\omega \epsilon ''=2\pi f\epsilon _{0}\epsilon _{r}''\,$ ( 10 )

$tan\delta ={\frac {\epsilon _{r}''}{\epsilon _{r}'}}\,$ ( 11 )

где f — интересующая частота и $\epsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость свободного пространства.

Аналогично, если материал вводится в полость в положении максимального магнитного поля, то вклад электрического поля в возмущенный сдвиг частоты очень мал и им можно пренебречь. В этом случае мы можем использовать теорию возмущений для вывода выражений для комплексной проницаемости материала. $\mu _{r}=\mu _{r}'+j\mu _{r}''$ как:

$\mu _{r}'-1=({\frac {\lambda _{g}^{2}+4a^{2}}{8a^{2}}})({\frac {f_{c}-f_{s}}{f_{s}}})({\frac {V_{c}}{V_{s}}})\,$ ( 12 )

$\mu _{r}''=({\frac {\lambda _{g}^{2}+4a^{2}}{16a^{2}}})({\frac {V_{c}}{V_{s}}})({\frac {Q_{c}-Q_{s}}{Q_{c}Q_{s}}})\,$ ( 13 )

где $\lambda _{g}$ — направляющая длина волны (рассчитывается как $\lambda _{g}={\frac {2l}{n}}$).