Универсальное дифференциальное уравнение

Универсальное дифференциальное уравнение ( ОДУ ) — это нетривиальное дифференциально-алгебраическое уравнение, обладающее тем свойством, что его решения могут приближать любую непрерывную функцию на любом интервале вещественной прямой с любым желаемым уровнем точности.

А именно, (возможно, неявное) дифференциальное уравнение $P(y',y'',y''',...,y^{(n)})=0$ является НЯЖ, если для любой непрерывной вещественнозначной функции $f$ и для любой положительной непрерывной функции $\varepsilon$ существует гладкое решение $y$ из $P(y',y'',y''',...,y^{(n)})=0$ с $|y(x)-f(x)|<\varepsilon (x)$ для всех $x\in \mathbb {R}$.

Существование НЖЯ изначально рассматривалось как аналог универсальной машины Тьюринга для аналоговых компьютеров из-за результата Шеннона, который отождествляет выходные данные аналогового компьютера общего назначения с решениями алгебраических дифференциальных уравнений. Однако, в отличие от универсальных машин Тьюринга, НЖЯ не диктуют эволюцию системы, а скорее устанавливают определенные условия, которым должна соответствовать любая эволюция.

Примеры

• Рубель нашел первое известное НДУ в 1981 году. Оно задается следующим неявным дифференциальным уравнением четвертого порядка: $3y^{\prime 4}y^{\prime \prime }y^{\prime \prime \prime \prime 2}-4y^{\prime 4}y^{\prime \prime \prime 2}y^{\prime \prime \prime \prime }+6y^{\prime 3}y^{\prime \prime 2}y^{\prime \prime \prime }y^{\prime \prime \prime \prime }+24y^{\prime 2}y^{\prime \prime 4}y^{\prime \prime \prime \prime }-12y^{\prime 3}y^{\prime \prime }y^{\prime \prime \prime 3}-29y^{\prime 2}y^{\prime \prime 3}y^{\prime \prime \prime 2}+12y^{\prime \prime 7}=0$
• Даффин получил семейство НЖЯ, заданное формулой:

$n^{2}y^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime 2}+3n(1-n)y^{\prime \prime \prime }y^{\prime \prime }y^{\prime }+\left(2n^{2}-3n+1\right)y^{\prime \prime 3}=0$ и $ny^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime 2}+(2-3n)y^{\prime \prime \prime }y^{\prime \prime }y^{\prime }+2(n-1)y^{\prime \prime 3}=0$, решения которого имеют класс $C^{n}$ для n > 3.

• Бриггс предложил другое семейство НЖЯ, конструкция которого основана на эллиптических функциях Якоби :

$y^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime 2}-3y^{\prime \prime \prime \prime }y^{\prime \prime }y^{\prime }+2\left(1-n^{-2}\right)y^{\prime \prime 3}=0$, где n > 3.

• Бурне и Пули доказали существование фиксированного полиномиального векторного поля p такого, что для любых f и ε существует некоторое начальное условие дифференциального уравнения y' = p(y), которое дает единственное и аналитическое решение, удовлетворяющее | y ( Икс ) - ж ( Икс )| < ε ( x ) для всех x в R .

См. также

• Универсальность дзета-функции
• Теорема Гёльдера

Внешние ссылки

• Страница Wolfram Mathworld, посвященная НЖЯ