Модель осциллятора Лоренца

Электроны связаны с атомным ядром аналогично пружинам разной прочности, также известным как неизотропные пружины , также известные как анизотропные .

Модель осциллятора Лоренца описывает оптический отклик связанных зарядов . Модель названа в честь голландского физика Хендрика Антона Лоренца . Это классическая феноменологическая модель материалов с характерными резонансными частотами (или другими характерными энергетическими масштабами) для оптического поглощения, например, ионных и молекулярных колебаний , межзонных переходов (полупроводники), фононов и коллективных возбуждений.

Вывод движения электрона

Модель получена путем моделирования электрона, вращающегося вокруг массивного неподвижного ядра, как системы пружина-масса-демпфер . Смоделировано, что электрон связан с ядром посредством гипотетической пружины, а его движение демпфируется гипотетическим демпфером. Сила демпфирования гарантирует, что отклик генератора будет конечным на его резонансной частоте. Для движущей силы, гармонической во времени, которая возникает из электрического поля, второй закон Ньютона может быть применен к электрону, чтобы получить движение электрона и выражения для дипольного момента , поляризации , восприимчивости и диэлектрической функции .

Уравнение движения электронного осциллятора: $${\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{net}}=\mathbf {F} _{\text{damping}}+\mathbf {F} _{\text{spring}}+\mathbf {F} _{\text{driving}}&=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\\[1ex]{\frac {-m}{\tau }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}-k\mathbf {r} -{e}\mathbf {E} (t)&=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\\[1ex]{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}\mathbf {r} \;&=\;{\frac {-e}{m}}\mathbf {E} (t)\end{aligned}}$$

где

• $\mathbf {r}$ – смещение заряда из положения покоя,
• $t$ это время,
• $\tau$ – время релаксации/время рассеяния,
• $k$ – постоянный коэффициент, характеризующий пружину,
• $m$ - эффективная масса электрона,
• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$ - резонансная частота генератора,
• $e$ это элементарный заряд,
• $\mathbf {E} (t)$ является электрическое поле.

Для гармонических полей: $$\mathbf {E} (t)=\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}$$$$\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}e^{-i\omega t}$$

Стационарное решение этого уравнения движения: $$\mathbf {r} (\omega )={\frac {\frac {-e}{m}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega /\tau }}\mathbf {E} (\omega )$$

Тот факт, что приведенное выше решение является сложным, означает, что существует временная задержка (сдвиг фазы) между движущим электрическим полем и реакцией на движение электрона.

Дипольный момент

Смещение, $\mathbf {r}$, индуцирует дипольный момент, $\mathbf {p}$, заданный $$\mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {r} (\omega )={\hat {\alpha }}(\omega )\mathbf {E} (\omega ).$$

${\hat {\alpha }}(\omega )$ - поляризуемость одиночного осциллятора, определяемая выражением $${\hat {\alpha }}(\omega )={\frac {e^{2}}{m}}{\frac {1}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\omega /\tau }}.$$

поляризация

Поляризация $\mathbf {P}$ - дипольный момент на единицу объема. Для макроскопических свойств материала N — это плотность зарядов (электронов) в единице объема. Учитывая, что каждый электрон действует с одним и тем же дипольным моментом, мы имеем поляризацию, как показано ниже. $$\mathbf {P} =N\mathbf {p} =N{\hat {\alpha }}(\omega )\mathbf {E} (\omega ).$$

Электрическое перемещение

Электрическое смещение $\mathbf {D}$ связано с плотностью поляризации $\mathbf {P}$ к $$\mathbf {D} ={\hat {\varepsilon }}\mathbf {E} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} =(1+4\pi N{\hat {\alpha }})\mathbf {E}$$

Диэлектрическая функция

Модель осциллятора Лоренца. Действительная (синяя сплошная линия) и мнимая (оранжевая пунктирная линия) компоненты относительной диэлектрической проницаемости построены для модели одиночного осциллятора с параметрами $\omega _{0}=\mathrm {23.8\,THz}$ (12,6 мкм), $s/\omega _{0}^{2}=\mathrm {3.305}$, $\Gamma /\omega _{0}=\mathrm {0.006}$, и $\varepsilon _{\infty }=\mathrm {6.7}$. Эти параметры приближаются к гексагональному карбиду кремния.

Комплексная диэлектрическая функция определяется выражением $${\hat {\varepsilon }}(\omega )=1+{\frac {4\pi Ne^{2}}{m}}{\frac {1}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\omega /\tau }}$$где $4\pi Ne^{2}/m=\omega _{p}^{2}$ и $\omega _{p}$ – так называемая плазменная частота .

На практике модель обычно модифицируется для учета нескольких механизмов поглощения, присутствующих в среде. Модифицированная версия представлена $${\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}\chi _{j}^{L}(\omega ;\omega _{0,j})$$где $$\chi _{j}^{L}(\omega ;\omega _{0,j})={\frac {s_{j}}{\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}-i\Gamma _{j}\omega }}$$и

• $\varepsilon _{\infty }$ - значение диэлектрической функции на бесконечной частоте, которое можно использовать в качестве регулируемого параметра для учета механизмов высокочастотного поглощения,
• $s_{j}=\omega _{p}^{2}f_{j}$ и $f_{j}$ связано с силой $j$механизм поглощения,
• $\Gamma _{j}=1/\tau$.

Разделение действительных и мнимых составляющих, $${\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )+i\varepsilon _{2}(\omega )=\left[\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}{\frac {s_{j}(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2})}{\left(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\left(\Gamma _{j}\omega \right)^{2}}}\right]+i\left[\sum _{j}{\frac {s_{j}(\Gamma _{j}\omega )}{\left(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\left(\Gamma _{j}\omega \right)^{2}}}\right]$$

Комплексная проводимость

Комплексная оптическая проводимость в целом связана со сложной диэлектрической функцией $${\hat {\sigma }}(\omega )={\frac {\omega }{4\pi i}}\left({\hat {\varepsilon }}(\omega )-1\right)$$

Подставив формулу ${\hat {\varepsilon }}(\omega )$ в приведенном выше уравнении мы получаем $${\hat {\sigma }}(\omega )={\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\omega }{\omega /\tau +i\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)}}$$

Разделение действительных и мнимых составляющих, $${\hat {\sigma }}(\omega )=\sigma _{1}(\omega )+i\sigma _{2}(\omega )={\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\frac {\omega ^{2}}{\tau }}{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\omega ^{2}/\tau ^{2}}}-i{\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)\omega }{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\omega ^{2}/\tau ^{2}}}$$

См. также

• Уравнение Коши
• Уравнение Селлмейера
• Модель Форуи – Блумера
• Модель Таука – Лоренца
• Модель осциллятора Бренделя – Бормана