Кривая рыбы

Кривая рыбы с масштабным параметром a = 1

Кривая рыбы — это эллиптическая отрицательная кривая педали , имеющая форму рыбы . На кривой рыбы точка педали находится в фокусе для частного случая квадрата эксцентриситета. $e^{2}={\tfrac {1}{2}}$. Параметрические уравнения рыбной кривой соответствуют уравнениям соответствующего эллипса .

Уравнения

Для эллипса с параметрическими уравнениями $$\textstyle {x=a\cos(t),\qquad y={\frac {a\sin(t)}{\sqrt {2}}}},$$соответствующая кривая рыбы имеет параметрические уравнения $$\textstyle {x=a\cos(t)-{\frac {a\sin ^{2}(t)}{\sqrt {2}}},\qquad y=a\cos(t)\sin(t)}.$$

Когда начало координат переводится в узел (точку пересечения), декартово уравнение можно записать как: $$\left(2x^{2}+y^{2}\right)^{2}-2{\sqrt {2}}ax\left(2x^{2}-3y^{2}\right)+2a^{2}\left(y^{2}-x^{2}\right)=0.$$

Характеристики

Область

Площадь кривой рыбы определяется как: $${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\left|\int {\left(xy'-yx'\right)dt}\right|\\&={\frac {1}{8}}a^{2}\left|\int {\left[3\cos(t)+\cos(3t)+2{\sqrt {2}}\sin ^{2}(t)\right]dt}\right|,\end{aligned}}$$таким образом, площади хвоста и головы определяются по формуле: $${\begin{aligned}A_{\text{Tail}}&=\left({\frac {2}{3}}-{\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}}}\right)a^{2},\\A_{\text{Head}}&=\left({\frac {2}{3}}+{\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}}}\right)a^{2},\end{aligned}}$$давая общую площадь рыбы как: $$A={\frac {4}{3}}a^{2}.$$

Кривизна, длина дуги и тангенциальный угол

Длина дуги кривой определяется выражением $$a{\sqrt {2}}\left({\frac {1}{2}}\pi +3\right).$$

Кривизна кривой рыбы определяется выражением: $$K(t)={\frac {2{\sqrt {2}}+3\cos(t)-\cos(3t)}{2a\left[\cos ^{4}t+\sin ^{2}t+\sin ^{4}t+{\sqrt {2}}\sin(t)\sin(2t)\right]^{\frac {3}{2}}}},$$а тангенциальный угол определяется выражением: $$\phi (t)=\pi -\arg \left({\sqrt {2}}-1-{\frac {2}{\left(1+{\sqrt {2}}\right)e^{it}-1}}\right),$$где $\arg(z)$ это сложный аргумент.