Матрица ЭП
В математике матрица EP (или эрмитова матрица диапазона [1] или матрица RPN [2] ) — квадратная матрица A , диапазон которой равен диапазону сопряженного ей транспонирования A *. Другая эквивалентная характеристика матриц EP состоит в том, что диапазон A ортогонален нулевому пространству A . Таким образом, матрицы EP также известны как матрицы RPN (диапазон, перпендикулярный нулевому пространству).
Матрицы EP были представлены в 1950 году Гансом Швердтфегером . [1] [3] и с тех пор в литературе было исследовано множество эквивалентных характеристик матриц EP. [4] Значение аббревиатуры EP первоначально означает E qual Principal , но широко распространено мнение, что вместо этого оно означает Equal Projectors , поскольку эквивалентная характеристика матриц EP основана на равенстве проекторов AA. + и А + А. [5]
Диапазон любой матрицы A перпендикулярен пустому пространству A *, но не обязательно перпендикулярен пустому пространству A . Когда A является матрицей EP, диапазон A точно перпендикулярен нулевому пространству A .
Характеристики
[ редактировать ]- Эквивалентная характеристика матрицы A EP состоит в том, что A коммутирует со своей обратной матрицей Мура-Пенроуза , то есть проекторами AA + и А + А равны. Это похоже на характеристику нормальных матриц, где A коммутирует с сопряженным ей транспонированием. [4] Как следствие, неособые матрицы всегда являются матрицами EP.
- Сумма матриц EP A i является матрицей EP, если нулевое пространство суммы содержится в нулевом пространстве каждой матрицы A i . [6]
- Быть матрицей EP — необходимое условие нормальности: A является нормальной тогда и только тогда, когда A является матрицей EP и AA * A. 2 = А 2 А * А . [4]
- Когда A является матрицей EP, инверсия Мура-Пенроуза равна групповой инверсии A A . [4]
- A является матрицей EP тогда и только тогда, когда обратная матрица Мура-Пенроуза A является матрицей EP. [4]
Разложение
[ редактировать ]Спектральная теорема утверждает, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице .
Если ослабить условие нормальности до EP-ности, то аналогичное утверждение остается справедливым. Точнее, матрица A ранга r является матрицей EP тогда и только тогда, когда она унитарно подобна ядро-нильпотентной матрице: [2] то есть,
где U — ортогональная матрица , а C — невырожденная матрица размера r x r . Обратите внимание, что если A имеет полный ранг, то A = UCU. * .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Дривалиарис, Димосфенис; Каранасиос, Сотириос; Паппас, Димитриос (01 октября 2008 г.). «Факторизации операторов EP». Линейная алгебра и ее приложения . 429 (7): 1555–1567. arXiv : 0806.2088 . дои : 10.1016/j.laa.2008.04.026 . ISSN 0024-3795 .
- ^ Jump up to: а б Мейер, Карл Д. (2000). Матричный анализ и прикладная линейная алгебра . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0898714540 . OCLC 43662189 .
- ^ Швердтфегер, Ганс (1950). Введение в линейную алгебру и теорию матриц . П. Нордхофф.
- ^ Jump up to: а б с д и Ченг, Шичжэнь; Тиан, Юнге (1 декабря 2003 г.). «Два набора новых характеристик для нормальных и EP-матриц» . Линейная алгебра и ее приложения . 375 : 181–195. дои : 10.1016/S0024-3795(03)00650-5 . ISSN 0024-3795 .
- ^ С., Бернштейн, Деннис (2018). Скалярная, векторная и матричная математика: теория, факты и формулы . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 9781400888252 . OCLC 1023540775 .
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) - ^ Минакши, Арканзас (1983). «О суммах матриц ЭП». Хьюстонский математический журнал . 9 . CiteSeerX 10.1.1.638.7389 .