Рози фрактал

Рози фрактал

В математике фрактал Рози — это фрактальное Трибоначчи. множество, связанное с заменой

$s(1)=12,\ s(2)=13,\ s(3)=1\,.$

Его изучил в 1981 году Жерар Рози. с идеей обобщения динамических свойств морфизма Фибоначчи . Этот фрактальный набор можно обобщить на другие карты трехбуквенного алфавита, создав другие фрактальные множества с интересными свойствами, такими как периодическое замощение плоскости и самоподобие в трех гомотетичных частях.

Определения

Слово трибоначчи

Бесконечное слово Трибоначчи — это слово, построенное путем итеративного применения карты Трибоначчи или Рози : $s(1)=12$, $s(2)=13$, $s(3)=1$. Это пример морфного слова . Слова Трибоначчи, начиная с 1:

• $t_{0}=1$
• $t_{1}=12$
• $t_{2}=1213$
• $t_{3}=1213121$
• $t_{4}=1213121121312$

Мы можем показать, что для $n>2$, $t_{n}=t_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}$; отсюда и название « Трибоначчи ».

Фрактальная конструкция

Строительство

Рассмотрим теперь пространство $R^{3}$ с декартовыми координатами (x,y,z). Фрактал Рози строится следующим образом:

1) Интерпретируйте последовательность букв бесконечного слова Трибоначчи как последовательность унитарных векторов пространства по следующим правилам (1 = направление x, 2 = направление y, 3 = направление z).

2) Затем постройте «лестницу», отслеживая точки, которых достигает эта последовательность векторов (см. рисунок). Например, первые пункты:

• $1\Rightarrow (1,0,0)$
• $2\Rightarrow (1,1,0)$
• $1\Rightarrow (2,1,0)$
• $3\Rightarrow (2,1,1)$
• $1\Rightarrow (3,1,1)$

и т. д. Каждую точку можно раскрасить в соответствии с соответствующей буквой, чтобы подчеркнуть свойство самоподобия.

3) Затем спроецируйте эти точки на сжимающуюся плоскость (плоскость, ортогональную основному направлению распространения точек, ни одна из этих проецируемых точек не уходит в бесконечность).

Характеристики

• Может быть выложен тремя копиями самого себя, при этом площадь уменьшается в несколько раз. $k$, $k^{2}$ и $k^{3}$ с $k$ решение $k^{3}+k^{2}+k-1=0$: $\scriptstyle {k={\frac {1}{3}}(-1-{\frac {2}{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}}+{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}})=0.54368901269207636}$.
• Стабилен при размене фигур. Тот же набор мы можем получить, поменяв местами детали.
• Связано и просто связано. Не имеет отверстия.
• Периодически перекрашивает плоскость, путем перевода.
• Матрица карты Трибоначчи имеет $x^{3}-x^{2}-x-1$ как его характеристический полином . Его собственные значения являются действительным числом. $\beta =1.8392$, называемая константой Трибоначчи , числом Писо и двумя комплексно-сопряженными числами. $\alpha$ и ${\bar {\alpha }}$ с $\alpha {\bar {\alpha }}=1/\beta$.
• Ее граница фрактальна, а хаусдорфова размерность этой границы равна 1,0933, решение уравнения $2|\alpha |^{3s}+|\alpha |^{4s}=1$.

Варианты и обобщение

Для любой унимодулярной замены типа Писо, проверяющей условие совпадения (по-видимому, всегда проверяемого), можно построить аналогичный набор, называемый «фрактал Рози отображения». Все они демонстрируют самоподобие и создают, в приведенных ниже примерах, периодическое замощение плоскости.

• 
  с(1)=12, с(2)=31, с(3)=1
• 
  с(1)=12, с(2)=23, с(3)=312
• 
  с(1)=123, с(2)=1, с(3)=31
• 
  с(1)=123, с(2)=1, с(3)=1132

См. также

• Список фракталов

Ссылки

• Арну, Пьер; Харрисс, Эдмунд (август 2014 г.). «ЧТО ТАКОЕ… фрактал Рози?» . Уведомления Американского математического общества . 61 (7): 768–770. дои : 10.1090/noti1144 .
• Берта, Валери ; Сигел, Энн; Таким образомвальднер, Йорг (2010). «Замены, фракталы Рози и мозаики». В Берте, Валери ; Риго, Мишель (ред.). Комбинаторика, автоматы и теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 135. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 248–323. ISBN  978-0-521-51597-9 . Збл   1247.37015 .
• Лотер, М. (2005). Прикладная комбинаторика к словам . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 105. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-84802-2 . МР   2165687 . Збл   1133.68067 .
• Пифей Фогг, Н. (2002). Берта, Валери ; Ференци, Себастьян; Модуит, Кристиан; Сигел, Энн (ред.). Замены в динамике, арифметике и комбинаторике . Конспект лекций по математике. Том. 1794. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  3-540-44141-7 . Збл   1014.11015 .

Внешние ссылки

• Топологические свойства фракталов Рози
• Замены, фракталы Рози и мозаика, Энн Сигел, 2009 г.
• Фракталы Рози для автоморфизмов свободных групп, 2006 г.
• Замены Писо и фракталы Рози.
• Фракталы Рози
• Нумерофильское видео о фракталах Рози и числах Трибоначчи