Закон квадратов

Закон квадратов — это теорема, касающаяся линий передачи . Он гласит, что ток, подаваемый в линию при изменении напряжения, достигает максимума за время, пропорциональное квадрату расстояния по линии. Теорема принадлежит Уильяму Томсону , будущему лорду Кельвину. Закон имел определенное значение в связи с подводными телеграфными кабелями .

Закон

Для ступенчатого увеличения напряжения, приложенного к линии передачи , закон квадратов можно сформулировать следующим образом:

t_{\text{max}}={1 \over 2}RCx^{2}

где,

t_{\text{max}}

это время, в которое ток в линии достигает максимума

R

сопротивление на метр линии

C

это емкость на метр линии

x

— расстояние в метрах от входа линии. ^[1]

Закон квадратов не ограничивается только ступенчатыми функциями . Это также применимо к импульсной характеристике или прямоугольной функции , которые больше подходят для телеграфии . Однако мультипликативный коэффициент в этих случаях различен. Для импульса это 1/6, а не 1/2, а для прямоугольных импульсов это что-то среднее в зависимости от их длины. ^[2]

История

Закон квадратов был предложен Уильямом Томсоном (позже ставшим лордом Кельвином) в 1854 году в Университете Глазго . Он получил некоторый вклад от Джорджа Габриэля Стоукса . Томсон и Стоукс были заинтересованы в исследовании осуществимости предлагаемого трансатлантического телеграфного кабеля . ^[3]

Томсон построил свой результат по аналогии с теплопередачи теорией Джозефа Фурье (передача электрического скачка по линии аналогична внезапному приложению фиксированной температуры к одному концу металлического стержня). Он обнаружил, что уравнение, определяющее мгновенное напряжение в линии, $v(x,t)$ дается, ^[4]

{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}=RC{\frac {\partial v}{\partial t}}.

Отсюда он вывел закон квадратов. ^[5] Хотя описание линии передачи, данное Томсоном, не совсем неверно и вполне соответствует низким частотам, используемым в викторианском телеграфном кабеле, оно не дает полной картины. В частности, Томсон не учел индуктивность (L) линии или проводимость утечки (G) изоляционного материала. ^[6] Полное описание было дано Оливером Хевисайдом в так называемых уравнениях телеграфиста . ^[7] Закон квадратов можно вывести из частного случая уравнений телеграфиста, то есть, когда L и G установлены равными нулю. ^[8]

Неверие

Результат Томсона совершенно нелогичен и заставил некоторых не поверить в него. Результатом, которого ожидало большинство инженеров-телеграфистов, было то, что задержка пика будет прямо пропорциональна длине линии. Телеграфия находилась в зачаточном состоянии, и многие инженеры-телеграфисты были самоучками. Они склонны не доверять ученым и вместо этого полагаться на практический опыт. ^[9] Еще в 1887 году автор письма в «Электрик» хотел «...протестовать против растущей тенденции привносить математику во все». ^[10]

Особое значение имел один противник Томсона, Уайлдман Уайтхаус , который бросил вызов Томсону, когда тот представил теорему Британской ассоциации в 1855 году. ^[11] И Томсон, и Уайтхаус были связаны с проектом трансатлантического телеграфного кабеля, Томсон как неоплачиваемый директор и научный консультант, а Уайтхаус как главный электрик Atlantic Telegraph Company . ^[12] Открытие Томсона угрожало сорвать проект или, по крайней мере, указывало на то, что требуется гораздо больший кабель (более крупный проводник уменьшит $R$ и более толстый изолятор уменьшит $C$ ). ^[13] Уайтхаус не имел высшего математического образования (по образованию он был врачом) и не до конца понимал работу Томсона. ^[14] Он утверждал, что у него есть экспериментальные доказательства того, что Томсон ошибался, но его измерения были плохо продуманы, и Томсон опроверг его утверждения, показав, что результаты Уайтхауса согласуются с законом квадратов. ^[15]

Уайтхаус считал, что можно сделать более тонкий кабель для работы с индукционной катушкой высокого напряжения . Компания Atlantic Telegraph, спеша продвинуть проект, предпочла более дешевое решение Уайтхауса, а не Томсона. ^[16] После того, как кабель был проложен, он сильно пострадал от замедления - эффект, который впервые заметил Латимер Кларк в 1853 году на англо-голландском подводном кабеле компании Electric Telegraph . Запаздывание вызывает задержку и удлинение телеграфных импульсов, причем последнее так, как будто одна часть импульса запаздывает больше, чем другая. Задержка может привести к перекрытию соседних телеграфных импульсов, что сделает их нечитаемыми. Этот эффект теперь называется межсимвольной интерференцией . Это заставило телеграфистов отправлять сообщения медленнее, чтобы восстановить промежуток между импульсами. ^[17] Проблема была настолько серьезной на атлантическом кабеле, что скорость передачи измерялась в минутах на слово, а не в словах в минуту . ^[18] Пытаясь решить эту проблему с помощью все более высокого напряжения, Уайтхаус навсегда повредил изоляцию кабеля и сделал его непригодным для использования. Вскоре после этого он был уволен. ^[19]

Некоторые комментаторы неверно истолковали закон квадратов и пришли к выводу, что он подразумевает, что « скорость электричества » зависит от длины кабеля. Хевисайд с типичным сарказмом в статье в «Электрике» возразил на это:

Можно ли представить себе, что течение, когда оно впервые собирается идти, скажем, в Эдинбург, знает , куда оно идет, какой длинный путь ему нужно проделать и где оно должно остановиться, чтобы оно могло регулировать свою скорость? соответственно? Конечно, нет...
- Оливер Хевисайд, 1887 г. ^[20]

Объяснение

И закон квадратов, и связанное с ним дифференциальное запаздывание можно объяснить с помощью дисперсии . Это явление, при котором различные частотные составляющие телеграфного импульса распространяются по кабелю с разной скоростью в зависимости от материала и геометрии кабеля. ^[21] Этот вид анализа, использующий частотную область с анализом Фурье, а не временную область , был неизвестен телеграфным инженерам того периода. Вероятно, они стали бы отрицать, что регулярная цепочка импульсов содержит более одной частоты. ^[22] На линии, в которой преобладают сопротивление и емкость, такой как низкочастотные линии, проанализированные Томсоном, квадрат скорости $u$ , частотной составляющей волны пропорциональна ее угловой частоте , $\omega$ такой, что,

u^{2}={\frac {2\omega }{CR}}.

См. «Константы первичной линии § Витая пара» и «Константы первичной линии § Скорость», где приведен вывод. ^[23]

Из этого видно, что более высокочастотные компоненты движутся быстрее, постепенно растягивая импульс. Поскольку более высокочастотные компоненты «убегают» от основного импульса, оставшиеся низкочастотные компоненты, которые содержат большую часть энергии, продолжают двигаться медленнее как группа. ^[24]

Ссылки

^ Нахин (2002), с. 34
^ Нахин (2002), с. 33–34
^ Нахин (2002), с. 29
^ Нахин (2002), с. 30
^ Нахин (2002), с. 30–33
^ Нахин (2002), с. 36
^ Хант, стр. 66–67.
^ Нахин (2108), стр. 137–144
^
- Линдли, с. 125
- Нахин (2002), с. 34
^ Нахин (2002), с. 34
^
- Нахин (2002), с. 34
- Линдли, с. 125
^ Линдли, с. 129
^ Линдли, с. 130
^
- Нахин (2002), с. 34
- Линдли, стр. 125–126.
^ Линдли, стр. 125–126.
^ Хант, с. 64
^ Хант, с. 62
^ Шиффер, с. 231
^ Хант, с. 64
^ Нахин (2002), с. 36
^ Раддок, с. 13
^ Лундхейм, стр. 23–24.
^ Коннор с. 19
^ Тагг, стр. 88.

Библиография

Коннор, ФР, «Передача волн» , Эдвард Арнольд, 1972 г. ISBN 0713132787 .
Хант, Брюс Дж., Максвеллианцы , издательство Корнельского университета, 2005 г. ISBN 0801482348 .
Линдли, Дэвид, Градусы Кельвина: рассказ о гении, изобретении и трагедии , Джозеф Генри Пресс, 2004 г. ISBN 0309167825 .
Лундхейм Л., «О Шенноне и формуле Шеннона» , Telektronikk , vol. 98, нет. 1, стр. 20–29, 2002.
Нахин, Пол Дж., Оливер Хевисайд: жизнь, работа и времена электрического гения викторианской эпохи , издательство Университета Джонса Хопкинса, 2002 г. ISBN 0801869099 .
Нахин, Пол Дж., Переходные процессы для инженеров-электриков: элементарный анализ коммутируемых цепей во временной области и области преобразования Лапласа (с примесью MATLAB) , Springer International Publishing, 2018, ISBN 9783319775982 .
Раддок, И.С., «Лорд Кельвин», гл. 1 дюйм, Коллинз, Миссури; Дугал, RC; Кениг, Cs; Раддок, И.С. (редакторы), Кельвин, Термодинамика и мир природы , WIT Press, 2015 г. ISBN 1845641493 .
Шиффер, Майкл Б., Борьба за власть: научный авторитет и создание практического электричества до Эдисона , MIT Press, 2008 г. ISBN 9780262195829 .
Тагг, Кристофер, «Теория солитонов в оптической связи», стр. 87–88, Ежегодный обзор широкополосной связи , Международный инженерный консорциум, 2005 г. ISBN 1931695385 .

[1] Нахин (2002), с. 34

[2] Нахин (2002), с. 33–34

[3] Нахин (2002), с. 29

[4] Нахин (2002), с. 30

[5] Нахин (2002), с. 30–33

[6] Нахин (2002), с. 36

[7] Хант, стр. 66–67.

[8] Нахин (2108), стр. 137–144

[9] 
Линдли, с. 125
Нахин (2002), с. 34

[10] Линдли, с. 125

[11] Нахин (2002), с. 34

[10] Нахин (2002), с. 34

[11] 
Нахин (2002), с. 34
Линдли, с. 125

[14] Нахин (2002), с. 34

[15] Линдли, с. 125

[12] Линдли, с. 129

[13] Линдли, с. 130

[14] 
Нахин (2002), с. 34
Линдли, стр. 125–126.

[19] Нахин (2002), с. 34

[20] Линдли, стр. 125–126.

[15] Линдли, стр. 125–126.

[16] Хант, с. 64

[17] Хант, с. 62

[18] Шиффер, с. 231

[19] Хант, с. 64

[20] Нахин (2002), с. 36

[21] Раддок, с. 13

[22] Лундхейм, стр. 23–24.

[23] Коннор с. 19

[24] Тагг, стр. 88.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]