6-й символ

Диаграмма Джусиса для символа Вигнера 6-j. Знак плюс на узлах указывает на чтение окружающих линий против часовой стрелки. Благодаря своей симметрии диаграмму можно нарисовать множеством способов. Эквивалентную конфигурацию можно создать, взяв ее зеркальное отражение и таким образом заменив плюсы на минусы.

Вигнера 6 -j Символы были введены Юджином Полом Вигнером в 1940 году и опубликованы в 1965 году. Они определяются как сумма произведений четырех символов Вигнера 3-j ,

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=\sum _{m_{1},\dots ,m_{6}}(-1)^{\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2}&-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}}.$

Суммирование ведется по всем шести m _i, разрешенным правилами отбора 3 -j символов.

Они тесно связаны с W-коэффициентами Рака , которые используются для восстановления угловых моментов 3, хотя символы Вигнера 6- j обладают более высокой симметрией и, следовательно, обеспечивают более эффективные средства хранения коэффициентов взаимодействия. Их отношения определяются:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).$

Отношения симметрии

Символ 6- j инвариантен при любой перестановке столбцов:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}=\cdots$

Символ 6- j также инвариантен, если верхний и нижний аргументыменяются местами в любых двух столбцах:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.$

Эти уравнения отражают 24 операции симметрии группы автоморфизмов , которые оставляют инвариантным связанный тетраэдральный граф Юциса с 6 ребрами: зеркальные операции, которые меняют местами две вершины и меняют местами соседнюю пару ребер.

6- j Символ

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}$

равно нулю, если только j ₁ , j ₂ и j ₃ не удовлетворяют условиям треугольника,то есть,

$j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}$

В сочетании с соотношением симметрии для замены верхних и нижних аргументов этопоказывает, что условия треугольника также должны удовлетворяться для триад ( j ₁ , j ₅ , j ₆ ), ( j ₄ , j ₂ , j ₆ ) и ( j ₄ , j ₅ , j ₃ ).При этом сумма элементов каждой триады должна быть целым числом. Следовательно, члены каждой триады либо все целые числа, либо содержат одно целое число и два полуцелых числа.

Особый случай

Когда j ₆ = 0, выражение для символа 6- j имеет следующий вид:

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}.$

Треугольная дельта { j ₁    j ₂    j ₃ } равна 1, когда триада ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) удовлетворяет условиям треугольника, и нулю в противном случае. Отношения симметрии можно использовать для нахождения выражения, когда другой j равен нулю.

Отношение ортогональности

Символы 6- j удовлетворяют этому соотношению ортогональности:

$\sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.$

Асимптотика

Замечательная формула асимптотического поведения символа 6- j была впервые предложена Понцано и Редже. и позже доказано Робертсом. Асимптотическая формула применяется, когда все шесть квантовых чисел j ₁ , ..., j ₆ считаются большими и связывают с символом 6- j геометрию тетраэдра. Если символ 6- j определяется квантовыми числами j ₁ , ..., j _6, то соответствующий тетраэдр имеет длины ребер J _i = j _i +1/2 (i=1,...,6) и асимптотику формула задается формулой,

${\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\sim {\frac {1}{\sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi }{4}}\right)}.$

Обозначения следующие: каждый θ _i представляет собой внешний двугранный угол вокруг края J _i соответствующего тетраэдра, а коэффициент амплитуды выражается через объем V этого тетраэдра.

Математическая интерпретация

В теории представлений символы 6- j являются матричными коэффициентами изоморфизма ассоциаторов в тензорной категории . Например, если нам даны три представления Vi _, ) Vj _Vk , из _{, одно} группы (или квантовой группы них имеет естественный изоморфизм

$(V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\to V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})$

представлений тензорных произведений, индуцированных коассоциативностью соответствующей биалгебры . Одна из аксиом, определяющих моноидальную категорию, состоит в том, что ассоциаторы удовлетворяют тождеству пятиугольника, которое эквивалентно тождеству Биденхарна-Эллиота для символов 6- j .

Когда моноидальная категория полупроста, мы можем ограничить наше внимание неприводимыми объектами и определить пространства множественности.

$H_{i,j}^{\ell }=\operatorname {Hom} (V_{\ell },V_{i}\otimes V_{j})$

так что тензорные произведения разлагаются как:

$V_{i}\otimes V_{j}=\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes V_{\ell }$

где сумма ведется по всем классам изоморфизма неприводимых объектов. Затем:

$(V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\cong \bigoplus _{\ell ,m}H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\otimes V_{m}\qquad {\text{while}}\qquad V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})\cong \bigoplus _{m,n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}\otimes V_{m}$

Изоморфизм ассоциативности индуцирует изоморфизм векторного пространства

$\Phi _{i,j}^{k,m}:\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\to \bigoplus _{n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}$

а символы 6j определяются как карты компонентов:

${\begin{Bmatrix}i&j&\ell \\k&m&n\end{Bmatrix}}=(\Phi _{i,j}^{k,m})_{\ell ,n}$

Когда пространства кратностей имеют канонические базисные элементы и размерность не более единицы (как в случае SU (2) в традиционной постановке), эти карты компонентов можно интерпретировать как числа, а символы 6- j становятся обычными матричными коэффициентами.

Говоря абстрактно, символы 6- j — это именно та информация, которая теряется при переходе от полупростой моноидальной категории к ее кольцу Гротендика , поскольку с помощью ассоциатора можно восстановить моноидальную структуру. В случае представлений конечной группы хорошо известно, что сама по себе таблица характеров (которая определяет основную абелеву категорию и кольцевую структуру Гротендика) не определяет группу с точностью до изоморфизма, в то время как симметричная моноидальная структура категорий делает это, Двойственность Таннака-Крейн . В частности, две неабелевы группы порядка 8 имеют эквивалентные абелевы категории представлений и изоморфные кольца Гротдендика, но символы 6- j их категорий представления различны, что означает, что их категории представления неэквивалентны как моноидальные категории. Таким образом, символы 6- j дают промежуточный уровень информации, который фактически однозначно определяет группы во многих случаях, например, когда группа нечетного порядка или простая.

См. также

• Коэффициенты Клебша – Гордана
• символ 3-j
• W-коэффициент Рака
• символ 9-й

Ссылки

• Биденхарн, LC ; Ван Дам, Х. (1965). Квантовая теория углового момента: сборник репринтов и оригинальных статей . Академическая пресса . ISBN  0-12-096056-7 .

• Эдмондс, Арканзас (1957). Угловой момент в квантовой механике . Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-07912-9 .
• Кондон, Эдвард У.; Шортли, GH (1970). «3. Угловой момент» . Теория атомных спектров . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-09209-4 .
• Максимон, Леонард К. (2010), «Символы 3j,6j,9j» , Олвер, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Мессия, Альберт (1981). Квантовая механика . Том. II (12-е изд.). Издательство Северной Голландии . ISBN  0-7204-0045-7 .

• Бринк, ДМ; Сэтчлер, Г. Р. (1993). «2. Представления группы вращения» . Угловой момент (3-е изд.). Кларендон Пресс . ISBN  0-19-851759-9 .
• Заре, Ричард Н. (1988). «2. Соединение двух векторов углового момента». Угловой момент . Уайли . ISBN  0-471-85892-7 .

• Биденхарн, LC; Лук, Джей Ди (1981). Угловой момент в квантовой физике . Аддисон-Уэсли . ISBN  0-201-13507-8 .

Внешние ссылки

• Редже, Т. (1959). «Свойства симметрии коэффициентов Рака». Нуово Чименто . 11 (1): 116–7. Бибкод : 1959NCim...11..116R . дои : 10.1007/BF02724914 . S2CID   121333785 .
• Стоун, Энтони. «Калькулятор коэффициентов Вигнера» . (Дает точный ответ)
• Саймонс, Фредерик Дж. «Архив программного обеспечения Matlab, код SIXJ.M» .
• Воля А. «Веб-калькулятор коэффициентов Клебша-Гордана, 3-j и 6-j» . Архивировано из оригинала 20 декабря 2012 г.
• Лаборатория плазмы Института науки Вейцмана. «Калькулятор символов 369j» .
• Научная библиотека ГНУ . «Коэффициенты связи» .
• Йоханссон, ХТ; Форссен, К. "(WIGXJPF)" . (точно; C, фортран, питон)
• Йоханссон, HT "(FASTWIGXJ)" . (быстрый поиск, точный; C, фортран)