Двойственность Таннака-Крейна

В математике касается теория двойственности Таннаки-Крейна взаимодействия компактной топологической группы и ее категории линейных представлений . Это естественное расширение двойственности Понтрягина между компактными и дискретными коммутативными топологическими группами на компактные, но некоммутативные группы . Теория названа в честь Тадао Таннака и Марка Григорьевича Крейна . В отличие от случая коммутативных групп, рассмотренного Львом Понтрягиным , понятие, двойственное некоммутативной компактной группе, представляет собой не группу, а категорию представлений Π( G ) с некоторой дополнительной структурой, образованной конечномерными представлениями G. группы

Теоремы двойственности Таннаки и Крейна описывают обратный переход из категории Π( G ) обратно в группу G , позволяя восстановить группу из ее категории представлений. Более того, они фактически полностью характеризуют все категории, которые могут возникнуть таким образом из группы. Александр Гротендик позже показал, что аналогичным процессом двойственность Таннака может быть распространена на случай алгебраических групп посредством формализма Таннака . Тем временем первоначальная теория Таннаки и Крейна продолжала развиваться и уточняться физиками-математиками . Обобщение теории Таннаки-Крейна обеспечивает естественную основу для изучения представлений квантовых групп и в настоящее время распространяется на квантовые супергруппы , квантовые группоиды и их двойственные алгеброиды Хопфа .

Идея двойственности Таннаки–Крейна: категория представлений группы

В теории двойственности Понтрягина для локально компактных коммутативных групп двойственным объектом к группе G является ее группа характеров. ${\hat {G}},$ которое состоит из его одномерных унитарных представлений . что группа G наиболее прямым аналогом группы характеров будет множество неприводимых классов эквивалентности унитарных некоммутативна, то представлений группы G. Если мы допустим , Аналогом произведения характеров является тензорное произведение представлений . Однако неприводимые представления группы G, как правило, не образуют группу или даже моноид, поскольку тензорное произведение неприводимых представлений не обязательно является неприводимым. Оказывается, нужно рассмотреть множество $\Pi (G)$ всех конечномерных представлений и рассматривать ее как моноидальную категорию , где продуктом является обычное тензорное произведение представлений, а двойственный объект задается операцией контрагредиентного представления .

Представление категории $\Pi (G)$ представляет собой моноидальное естественное преобразование тождественного функтора $\operatorname {id} _{\Pi (G)}$ самому себе. Другими словами, это ненулевая функция $\varphi$ который ассоциируется с каким-либо $T\in \operatorname {Ob} \Pi (G)$ является эндоморфизмом пространства T и удовлетворяет условиям совместимости с тензорными произведениями, $\varphi (T\otimes U)=\varphi (T)\otimes \varphi (U)$ , и с произвольными сплетающими операторами $f\colon T\to U$ , а именно, $f\circ \varphi (T)=\varphi (U)\circ f$ . Коллекция $\Gamma (\Pi (G))$ всех представлений категории $\Pi (G)$ можно наделить умножением $\varphi \psi (T)=\varphi (T)\psi (T)$ и топология , в которой сходимость определяется поточечно , т. е. последовательность $\{\varphi _{a}\}$ сходится к некоторым $\varphi$ тогда и только тогда, когда $\{\varphi _{a}(T)\}$ сходится к $\varphi (T)$ для всех $T\in \operatorname {Ob} \Pi (G)$ . Можно показать, что множество $\Gamma (\Pi (G))$ таким образом, становится компактной (топологической) группой.

Теоремы Таннаки и Крейна

Теорема Таннаки дает возможность восстановить компактную группу G по ее категории представлений Π( G ).

Пусть G — компактная группа, и пусть F: Π( G ) → Vect _C — функтор забывания из конечномерных комплексных представлений G в комплексные конечномерные векторные пространства . присваивается топология Естественным преобразованиям τ: F → F , предполагая, что это самая грубая из возможных топологий, такая, что каждая из проекций End( F ) → End( V ), заданных формулой $\tau \mapsto \tau _{V}$ (принимая естественное преобразование $\tau$ к его компоненту $\tau _{V}$ в $V\in \Pi (G)$ ) является непрерывной функцией . Мы говорим, что естественное преобразование сохраняет тензор, если оно является тождественным отображением тривиального представления G и если оно сохраняет тензорные произведения в том смысле, что $\tau _{V\otimes W}=\tau _{V}\otimes \tau _{W}$ . Мы также говорим, что τ самосопряжена , если ${\overline {\tau }}=\tau$ где черта означает комплексное сопряжение. Тогда набор ${\mathcal {T}}(G)$ всех сохраняющих тензор самосопряженных естественных преобразований F является замкнутым подмножеством End( F ), которое фактически является (компактной) группой, если G является (компактной) группой. Каждый элемент x группы G порождает сохраняющее тензор самосопряженное естественное преобразование путем умножения на x в каждом представлении, и, следовательно, существует отображение $G\to {\mathcal {T}}(G)$ . Теорема Таннаки тогда утверждает, что это отображение является изоморфизмом.

Теорема Крейна отвечает на следующий вопрос: какие категории могут возникнуть как объект, двойственный компактной группе?

Пусть Π — категория конечномерных векторных пространств, наделенная операциями тензорного произведения и инволюции. Следующие условия необходимы и достаточны для того, чтобы Π был двойственным объектом к компактной группе G .

1. Существует объект

I

с имуществом, которое

I\otimes A\approx A

для всех объектов A группы Π (которые обязательно будут единственны с точностью до изоморфизма).

2. Каждый объект А из П можно разложить в сумму минимальных объектов.

3. Если A и B — два минимальных объекта, то пространство гомоморфизмов Hom _Π ( A , B ) либо одномерно (когда они изоморфны), либо равно нулю.

Если все эти условия выполнены, то категория Π = Π( G ), где G — группа представлений Π.

Обобщение

Интерес к теории двойственности Таннаки-Крейна возобновился в 1980-х годах с открытием квантовых групп в работах Дринфельда и Джимбо . Один из основных подходов к изучению квантовой группы осуществляется через ее конечномерные представления, образующие категорию, близкую к симметричным моноидальным категориям Π( G ), но более общего типа — сплетенную моноидальную категорию . Оказалось, что хорошая теория двойственности типа Таннаки–Крейна существует и в этом случае и играет важную роль в теории квантовых групп, обеспечивая естественную среду, в которой можно изучать как квантовые группы, так и их представления. Вскоре после этого различные примеры сплетенных моноидальных категорий были найдены в рациональной конформной теории поля . Философия Таннаки-Крейна предполагает, что сплетенные моноидальные категории, возникающие из конформной теории поля, также могут быть получены из квантовых групп, и в серии статей Каждан и Люстиг доказали, что это действительно так. С другой стороны, сплетенные моноидальные категории, возникающие из некоторых квантовых групп, были применены Решетихиным и Тураевым для построения новых инвариантов узлов.

Теорема Допличера – Робертса

Теорема Допличера-Робертса (принадлежащая Серджио Допличеру и Джону Э. Робертсу ) характеризует Rep( G ) с точки зрения теории категорий , как тип подкатегории категории гильбертовых пространств . ^[1] Такими подкатегориями унитарных представлений компактных групп в гильбертовых пространствах являются:

строгая симметричная моноидальная C*-категория с сопряженными
подкатегория, имеющая подобъекты и прямые суммы такая, что С*-алгебра эндоморфизмов моноидальной единицы содержит только скаляры.

См. также

Теорема Гельфанда–Наймарка.

Примечания

^ Допличер, С.; Робертс, Дж. (1989). «Новая теория двойственности для компактных групп». Математические изобретения . 98 (1): 157–218. Бибкод : 1989InMat..98..157D . дои : 10.1007/BF01388849 .

Внешние ссылки

Дуркдевич, Мичок (декабрь 1996 г.). «Квантовые главные расслоения и теория двойственности Таннаки-Крейна». Доклады по математической физике . 38 (3): 313–324. arXiv : q-alg/9507018 . Бибкод : 1996РпМП...38..313К . CiteSeerX 10.1.1.269.3027 . дои : 10.1016/S0034-4877(97)84884-7 .
Ван Даэле, Альфонс (2000). «Квантовые группы с инвариантными интегралами» . Труды Национальной академии наук . 97 (2): 541–6. Бибкод : 2000PNAS...97..541В . дои : 10.1073/pnas.97.2.541 . JSTOR 121658 . ПМК 33963 . ПМИД 10639115 .
Джоял, А.; Стрит, Р. (1991), «Введение в дуальность Таннака и квантовые группы» (PDF) , Теория категорий , Конспекты лекций по математике, том. 1488, Спрингер, номер домена : 10.1007/BFb0084235 , ISBN. 978-3-540-46435-8

[1] Допличер, С.; Робертс, Дж. (1989). «Новая теория двойственности для компактных групп». Математические изобретения . 98 (1): 157–218. Бибкод : 1989InMat..98..157D . дои : 10.1007/BF01388849 .

[1]