Прегауссовский класс

В теории вероятностей прегауссов класс или прегауссов набор функций — это набор функций, интегрируемых с квадратом относительно некоторой вероятностной меры , такой, что существует определенный гауссов процесс , индексированный этим набором, удовлетворяющий условиям ниже.

Определение

Для вероятностного пространства ( S , Σ, P ) обозначим через $L_{P}^{2}(S)$ набор квадратично интегрируемых по P функций $f:S\to R$, то есть

$\int f^{2}\,dP<\infty$

Рассмотрим набор ${\mathcal {F}}\subset L_{P}^{2}(S)$. Существует гауссов процесс $G_{P}$, индексируется ${\mathcal {F}}$, со средним значением 0 и ковариацией

$\operatorname {Cov} (G_{P}(f),G_{P}(g))=EG_{P}(f)G_{P}(g)=\int fg\,dP-\int f\,dP\int g\,dP{\text{ for }}f,g\in {\mathcal {F}}$

Такой процесс существует, поскольку данная ковариация положительно определена. Эта ковариация определяет полувнутренний продукт, а также псевдометрику на $L_{P}^{2}(S)$ данный

$\varrho _{P}(f,g)=(E(G_{P}(f)-G_{P}(g))^{2})^{1/2}$

Определение Класс А ${\mathcal {F}}\subset L_{P}^{2}(S)$ называется прегауссовым, если для каждого $\omega \in S,$ функция $f\mapsto G_{P}(f)(\omega )$ на ${\mathcal {F}}$ ограничен, $\varrho _{P}$-равномерно непрерывные и предлинейные.

Броуновский мост

The $G_{P}$ Процесс является обобщением броуновского моста . Учитывать $S=[0,1],$ где P — равномерная мера . В этом случае $G_{P}$ процесс, индексируемый индикаторными функциями $I_{[0,x]}$, для $x\in [0,1],$ на самом деле является стандартным броуновским мостом B ( x ). Этот набор индикаторных функций является прегауссовским, более того, это класс Донскера .

Ссылки

• Р. М. Дадли (1999), Равномерные центральные предельные теоремы , Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, с. 436, ISBN  0-521-46102-2