Самовыпучивание

Колонна называемом может прогнуться под действием собственного веса без каких-либо других прямых сил, действующих на нее, в режиме разрушения, самовыпучиванием . В обычных задачах потери устойчивости колонны собственным весом часто пренебрегают, поскольку предполагается, что он мал по сравнению с приложенными осевыми нагрузками . Однако, когда это предположение неверно, важно принять во внимание самовыпучивание.

Упругая потеря устойчивости «тяжелой» колонны, т. е. потеря устойчивости колонны под собственным весом , была впервые исследована Гринхиллом в 1881 году . Он обнаружил, что отдельно стоящая вертикальная колонна с плотностью $\rho$, модуль Юнга $E$, и площадь поперечного сечения $A$, прогнется под собственным весом, если его высота превысит определенное критическое значение:

$l_{\text{max}}\approx \left(7.8373\,{\frac {EI}{\rho gA}}\right)^{\frac {1}{3}}$

где $g$ - ускорение свободного падения , $I$ – второй момент площади балки поперечного сечения .

Один интересный пример использования уравнения был предложен Гринхиллом в его статье. Он оценил максимальную высоту сосны и футов обнаружил, что она не может вырасти более 300 в высоту. Эта длина устанавливает максимальную высоту деревьев на Земле, если мы предположим, что деревья призматические , а ветвями пренебрегаем.

Математический вывод

Колонна, испытывающая сжимающую нагрузку, вызывающую выпучивание из-за собственного веса.

Предположим, что однородная колонна закреплена вертикально в самой нижней точке и поднята на высоту $l$, при котором вертикальное положение становится неустойчивым и начинается изгиб. Есть сила тела $q$ на единицу длины $q=\rho gA$, где $A$ - площадь поперечного сечения колонны, $g$ ускорение свободного падения и $\rho$ это его массовая плотность.

Колонна слегка изогнута под собственным весом, поэтому кривая $w(x)$ описывает отклонение балки в $y$ направление в какой-то позиции $x$. Глядя на любую точку столбца, мы можем записать момент равновесия:

$M=-\int _{0}^{x}q(y-w)\mathrm {d} x$

где правая часть уравнения — момент веса БП относительно Р.

Согласно теории пучка Эйлера – Бернулли :

$M=-EI{\mathrm {d} ^{2}w \over \mathrm {d} x^{2}}$

Где $E$ – модуль упругости Юнга вещества, $I$ – второй момент площади.

Следовательно, дифференциальное уравнение центральной линии БП имеет вид: ${\displaystyle }$${\displaystyle }$

$EI{\mathrm {d} ^{2}w \over \mathrm {d} x^{2}}=q\int _{0}^{x}(y-w)\mathrm {d} x$

Дифференцируя по х, получаем

${\begin{aligned}EI{\mathrm {d} ^{3}w \over \mathrm {d} x^{3}}&=q\int _{0}^{x}\left(-{\mathrm {d} w \over \mathrm {d} x}\right)\mathrm {d} x\\&=-qx{\mathrm {d} w \over \mathrm {d} x}\end{aligned}}$

Получаем, что управляющим уравнением является линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с переменным коэффициентом. Способ решения проблемы — использовать новые переменные. $n,z,k$ и $r$:

$k^{2}={4 \over 9}{q \over EI},\quad r^{2}=x^{3},\quad {\sqrt {x}}z={\mathrm {d} w \over \mathrm {d} x},\quad n^{2}={1 \over 3^{2}}$

Тогда уравнение преобразуется в уравнение Бесселя

$r^{2}{\mathrm {d} ^{2}z \over \mathrm {d} r^{2}}+r{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} r}+\left(k^{2}r^{2}-n^{2}\right)z=0$

Решение преобразованного уравнения есть $z=AJ_{\frac {1}{3}}(kr)+BJ_{-{\frac {1}{3}}}(kr)$

Где $J_{n}$ – функция Бесселя первого рода. Тогда решение исходного уравнения будет:

${\mathrm {d} w \over \mathrm {d} x}={\sqrt {x}}\left(AJ_{\frac {1}{3}}\left(kx^{\frac {3}{2}}\right)+BJ_{-{\frac {1}{3}},1}\left(kx^{\frac {3}{2}}\right)\right)$

Теперь мы будем использовать граничные условия :

• Нет момента в $x=0\rightarrow {\mathrm {d} ^{2}w \over \mathrm {d} x^{2}}(x=0)=0\rightarrow A=0$
• Исправлено в $x=l\rightarrow w(l)=0\rightarrow J_{-{\frac {1}{3}}}\left(kl^{\frac {3}{2}}\right)=0$

Из второго БК получаем, что критическая длина, при которой вертикальная колонна прогнется под собственным весом, равна:

$l_{\text{max}}=\left({\frac {j_{{\frac {1}{3}},1}}{k}}\right)^{\frac {2}{3}}=\left({\frac {9{j_{{\frac {1}{3}},1}}^{2}}{4}}{\frac {EI}{q}}\right)^{\frac {1}{3}}$

С использованием $j_{{\frac {1}{3}},1}\approx 1.86635$ , первый нуль функции Бесселя первого рода порядка $-{\frac {1}{3}}$, $l_{\text{max}}$ можно аппроксимировать:

$l_{\text{max}}\approx \left(7.8373\,{\frac {EI}{\rho gA}}\right)^{\frac {1}{3}}$

ошибка Эйлера

Колонна под собственным весом рассматривалась Эйлером в трех известных работах (1778а, 1778б, 1778в). В своей первой работе Эйлер (1778а) пришел к выводу, что колонна, просто поддерживаемая собственным весом, никогда не потеряет своей устойчивости. Во второй статье по этой теме Эйлер (1778б) назвал свой предыдущий результат парадоксальным и подозрительным (см. Пановко и Губанова (1965); Николай (1955); Тодхантер и Пирсон (1866) по этой теме). В следующей, третьей в серии, статье Эйлер (1778c) обнаружил, что он допустил концептуальную ошибку, и вывод о «бесконечной потере устойчивости» оказался неверным. Однако, к сожалению, он допустил численную ошибку и вместо первого собственного значения вычислил второе. Правильные решения были получены Динником (1912): 132 года спустя, как и Виллерс (1941), Энгельгардт (1954) и Фрич-Фэй (1966). Численное решение с произвольной точностью было дано Айзенбергером (1991).

222 года спустя, после ошибки Эйлера в 1778 году, в 2000 году, Элишаков вновь обратился к этой знаменитой проблеме и впервые получил решения в замкнутой форме для задач самовыпучивания, прибегнув к полуобратному методу. В его монографии рассмотрен ряд других проблем.

См. также

• коробление
• Изгибающий момент
• Критическая нагрузка Эйлера
• Гибка
• Теория пучка Эйлера – Бернулли

Внешние ссылки

• Расширенная тема по выпучиванию колонны, открытый курс MIT
• Подробный вывод самовыпучивания в онлайн-справке Opera Magistris v3.7, глава 15, раздел 2.2.4.1, ISBN   978-2-8399-0932-7 .