Хариш-Чандры c -функция

В математике оператором Хариш-Чандры c -функция — это функция, связанная с переплетения между двумя основными представлениями серий , которая появляется в мере Планшереля для полупростых групп Ли . Хариш-Чандра ( 1958а , 1958b ) ввел ее частный случай, определенный в терминах асимптотического поведения зональной сферической функции группы Ли , а Хариш-Чандра ( 1970 ) ввел более общую с -функцию, названную функцией Хариш-Чандры ( обобщенная ) C -функция . Гиндикин и Карпелевич ( 1962 , 1969 ) представили формулу Гиндикина-Карпелевича -функции Хариш-Чандры , формулу произведения для c .

Формула Гиндикина–Карпелевича

c-функция имеет обобщение c _w (λ), зависящее от элемента w группы Вейля . Уникальный элемент наибольшей длины s ₀ — единственный элемент, содержащий камеру Вейля. ${\mathfrak {a}}_{+}^{*}$ на $-{\mathfrak {a}}_{+}^{*}$. По интегральной формуле Хариш-Чандры c _{s 0} Хариш-Чандры является c -функцией :

$c(\lambda )=c_{s_{0}}(\lambda ).$

-функции С в общем случае определяются уравнением

$\displaystyle A(s,\lambda )\xi _{0}=c_{s}(\lambda )\xi _{0},$

где ξ ₀ — постоянная функция 1 в L ² ( К / М ). Свойство коцикла переплетающих операторов подразумевает аналогичное мультипликативное свойство для c -функций:

$c_{s_{1}s_{2}}(\lambda )=c_{s_{1}}(s_{2}\lambda )c_{s_{2}}(\lambda )$

предоставил

$\ell (s_{1}s_{2})=\ell (s_{1})+\ell (s_{2}).$

Это сводит вычисление c _s к случаю, когда s = s _α , отражение в (простом) корне α, так называемое «понижение первого ранга» Гиндикина и Карпелевича (1962) . Фактически в интеграле участвует только замкнутая связная подгруппа G ^а соответствующую подалгебре Ли, порожденной ${\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }$ где α лежит в Σ ₀ ⁺ . Тогда Г ^а — вещественная полупростая группа Ли вещественного ранга один, т. е. dim A ^а = 1, и c _s Хариш-Чандры — это просто c -функция группы G ^а . В этом случае c -функция может быть вычислена напрямую и определяется выражением

$c_{s_{\alpha }}(\lambda )=c_{0}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0}))},$

где

$c_{0}=2^{m_{\alpha }/2+m_{2\alpha }}\Gamma \left({1 \over 2}(m_{\alpha }+m_{2\alpha }+1)\right)$

и α0 ₌ α/〈α,α〉.

Общая формула Гиндикина–Карпелевича для c (λ) является непосредственным следствием этой формулы и мультипликативных свойств c _s (λ) следующим образом:

$c(\lambda )=c_{0}\prod _{\alpha \in \Sigma _{0}^{+}}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0}))},$

где константа c ₀ выбрана так, что c (–iρ)=1 ( Хельгасон 2000 , стр.447).

Мера Планшереля

-функция c появляется в теореме Планшереля для сферических функций , а мера Планшереля равна 1/ c ² раз меру Лебега.

p-адические группы Ли

-функция существует Аналогичная c для p -адических групп Ли. Макдональд ( 1968 , 1971 ) и Ленглендс (1971) нашли аналогичную формулу произведения для c -функции p -адической группы Ли.

Ссылки

• Кон, Лесли (1974), Аналитическая теория C-функции Хариш-Чандры , Конспект лекций по математике, том. 429, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0064335 , ISBN.  978-3-540-07017-7 , МР   0422509
• Доран, Роберт С.; Варадараджан, В.С., ред. (2000), «Математическое наследие Хариш-Чандры», Труды специальной сессии AMS по теории представлений и некоммутативному гармоническому анализу, состоявшейся в память о Хариш-Чандре по случаю 75-летия со дня его рождения в Балтиморе, Мэриленд. , 9–10 января 1998 г. , Труды симпозиумов по чистой математике, вып. 68, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. xii+551, ISBN.  978-0-8218-1197-9 , МР   1767886
• Гиндикин, С.Г.; Карпелевич Ф. И. (1962), "Мера Планшереля для симметричных римановых пространств неположительной кривизны", Сов. матем. Докл. , 3 : 962–965, ISSN   0002-3264 , МР   0150239
• Гиндикин, С.Г.; Карпелевич, Ф. И. (1969) [1966], «Об интеграле, связанном с римановыми симметричными пространствами неположительной кривизны» , Двенадцать статей по функциональному анализу и геометрии , переводы Американского математического общества, том. 85, стр. 249–258, ISBN.  978-0-8218-1785-8 , МР   0222219
• Хариш-Чандра (1958a), «Сферические функции в полупростой группе Ли. I», American Journal of Mathematics , 80 (2): 241–310, doi : 10.2307/2372786 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2372786 , MR   0094407
• Хариш-Чандра (1958b), «Сферические функции в полупростой группе Ли II», American Journal of Mathematics , 80 (3), The Johns Hopkins University Press: 553–613, doi : 10.2307/2372772 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2372772
• Хариш-Чандра (1970), «Гармонический анализ полупростых групп Ли», Бюллетень Американского математического общества , 76 (3): 529–551, doi : 10.1090/S0002-9904-1970-12442-9 , ISSN   0002-9904 , МР   0257282
• Хельгасон, Сигурдур (1994), «С-функция Хариш-Чандры. Математическая жемчужина» , в Таннер, Элизабет А.; Уилсон, Радж (ред.), Некомпактные группы Ли и некоторые их приложения (Сан-Антонио, Техас, 1993) , NATO Adv. наук. Инст. Сер. С Математика. Физ. наук, том. 429, Дордрехт: Клювер Акад. Публикация, стр. 55–67, ISBN.  978-0-7923-2787-5 , MR   1306516 , перепечатано в ( Доран и Варадараджан, 2000 г. )
• Хельгасон, Сигурдур (2000) [1984], Группы и геометрический анализ , Математические обзоры и монографии, том. 83, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-2673-7 , МР   1790156
• Кнапп, Энтони В. (2003), «Формула Гиндикина-Карпелевича и сплетающие операторы» , в книге Гиндикин, С.Г. (ред.), Группы Ли и симметрические пространства. Памяти Ф. И. Карпелевича , амер. Математика. Соц. Перевод Сер. 2, том. 210, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 145–159, ISBN.  978-0-8218-3472-5 , МР   2018359
• Ленглендс, Роберт П. (1971) [1967], Продукты Эйлера , издательство Йельского университета, ISBN  978-0-300-01395-5 , МР   0419366
• Макдональд, И.Г. (1968), «Сферические функции в p-адической группе Шевалле», Бюллетень Американского математического общества , 74 (3): 520–525, doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11989-5 , ISSN   0002-9904 , МР   0222089
• Макдональд, И.Г. (1971), Сферические функции на группе p-адического типа , конспекты лекций Института Рамануджана, том. 2, Институт Рамануджана, Центр перспективных исследований в области математики, Мадрасский университет, Мадрас, MR   0435301
• Уоллах, Нолан Р. (1975), «Об обобщенных C-функциях Хариш-Чандры», American Journal of Mathematics , 97 (2): 386–403, doi : 10.2307/2373718 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373718 , MR   0399357