Теорема Бухдала

Эволюция центрального давления в зависимости от компактности (радиус по массе) для «звезды» с однородной плотностью. Это центральное давление расходится на границе Бухдала.

В общей теории относительности теорема Бухдала , названная в честь Ганса Адольфа Бухдала , уточняет представление о том, что существует максимальная устойчивая плотность обычной гравитирующей материи. Это дает неравенство между массой и радиусом, которое должно удовлетворяться для статических, сферически-симметричных конфигураций материи при определенных условиях. В частности, для радиуса площади $R$, масса $M$ должен удовлетворить

$M<{\frac {4Rc^{2}}{9G}}$

где $G$ гравитационная постоянная и $c$ это скорость света . Это неравенство часто называют границей Бухдала . Эту границу исторически также называли пределом Шварцшильда, поскольку Карл Шварцшильд впервые заметил , что она существует в частном случае жидкости постоянной плотности. Однако эту терминологию не следует путать с радиусом Шварцшильда , который заметно меньше радиуса на границе Бухдала.

Теорема

Учитывая статическое, сферически симметричное решение уравнений Эйнштейна (без космологической постоянной ) с материей, ограниченной радиусом площадей $R$ которая ведет себя как идеальная жидкость с плотностью , не увеличивающейся наружу. (Радиус площади $R$ соответствует сфере с площадью поверхности $4\pi R^{2}$. В искривленном пространстве-времени собственный радиус такой сферы не обязательно равен $R$.) Предполагается дополнительно, что плотность и давление не могут быть отрицательными. Масса этого раствора должна удовлетворять

$M<{\frac {4Rc^{2}}{9G}}$

Для доказательства теоремы Бухдал использует уравнение Толмана-Оппенгеймера-Волкова (TOV) .

Значение

Теорема Бухдала полезна при поиске альтернатив черным дырам . Такие попытки часто вдохновляются информационным парадоксом ; способ объяснить (частично) темную материю ; или критиковать то, что наблюдения за черными дырами основаны на исключении известных астрофизических альтернатив (таких как нейтронные звезды ), а не на прямых доказательствах. Однако для обеспечения жизнеспособной альтернативы иногда необходимо, чтобы объект был чрезвычайно компактным и, в частности, нарушал неравенство Бухдала. Это означает, что одно из предположений теоремы Бухдала должно быть неверным. Схема классификации может быть построена на основе того, какие предположения нарушаются.

Особые случаи

Несжимаемая жидкость

Особый случай несжимаемой жидкости или постоянной плотности. $\rho (r)=\rho _{*}$ для $r<R$, является исторически важным примером, поскольку в 1916 году Шварцшильд впервые отметил, что масса не может превышать значения ${\frac {4Rc^{2}}{9G}}$ для заданного радиуса $R$ или центральное давление стало бы бесконечным. Это также особенно понятный пример. Внутри звезды можно найти.

$m(r)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho _{*}$

и используя TOV-уравнение

$p(r)=\rho _{*}c^{2}{\frac {R{\sqrt {R-2GM/c^{2}}}-{\sqrt {R^{3}-2GMr^{2}/c^{2}}}}{{\sqrt {R^{3}-2GMr^{2}/c^{2}}}-3R{\sqrt {R-2GM/c^{2}}}}}$

такое, что центральное давление, $p(0)$, расходится как $R\to 9GM/4c^{2}$.

Расширения

Расширения теоремы Бухдала обычно либо ослабляют предположения по данному вопросу, либо относительно симметрии проблемы. Например, введением анизотропной материи или вращение. Кроме того, можно рассмотреть аналоги теоремы Бухдала и в других теориях гравитации.