Сингулярное возмущение

В математике задача сингулярного возмущения — это задача, содержащая небольшой параметр, который нельзя аппроксимировать, установив значение параметра равным нулю. Точнее, решение не может быть равномерно аппроксимировано асимптотическим разложением

$\varphi (x)\approx \sum _{n=0}^{N}\delta _{n}(\varepsilon )\psi _{n}(x)\,$

как $\varepsilon \to 0$. Здесь $\varepsilon$ – малый параметр задачи и $\delta _{n}(\varepsilon )$ представляют собой последовательность функций $\varepsilon$ возрастающего порядка, например $\delta _{n}(\varepsilon )=\varepsilon ^{n}$. В этом отличие от обычных задач на возмущения, для которых можно получить равномерное приближение такого вида. Сингулярно возмущенные задачи обычно характеризуются динамикой, действующей в нескольких масштабах. Ниже приведены несколько классов сингулярных возмущений.

Термин «сингулярное возмущение» был придуман в 1940-х годах Куртом Отто Фридрихсом и Вольфгангом Р. Васовым .

Методы анализа

Возмущенная задача, решение которой можно аппроксимировать во всей области задачи, будь то пространство или время, одним асимптотическим разложением, имеет регулярное возмущение . Чаще всего в приложениях приемлемое приближение к регулярно возмущаемой задаче находится простой заменой малого параметра $\varepsilon$ нулем везде в постановке задачи. Это соответствует взятию только первого члена разложения, что дает приближение, которое, возможно, медленно, сходится к истинному решению как $\varepsilon$ уменьшается. Решение сингулярно возмущенной задачи не может быть аппроксимировано таким образом: как видно из приведенных ниже примеров, сингулярное возмущение обычно возникает, когда малый параметр задачи умножает ее старший оператор. Таким образом, наивное принятие параметра равным нулю меняет саму природу проблемы. В случае дифференциальных уравнений граничные условия не могут быть удовлетворены; в алгебраических уравнениях возможное число решений уменьшается.

Теория сингулярных возмущений — это богатая и постоянная область исследований математиков, физиков и других исследователей. Методов решения проблем в этой области много. К наиболее основным из них относятся метод согласованных асимптотических разложений и аппроксимация ВКБ для пространственных задач, а со временем — метод Пуанкаре–Линдстедта , метод множественных масштабов и периодического усреднения . Большой популярностью также пользуются численные методы решения сингулярных задач возмущений.

Книги по сингулярным возмущениям в ОДУ и УЧП см., например, в книге Холмс « Введение в методы возмущений» . Хинч, Методы возмущений или Бендер и Орзаг , Передовые математические методы для ученых и инженеров .

Примеры сингулярных пертурбативных задач

Каждый из примеров, описанных ниже, показывает, как наивный анализ возмущений, предполагающий, что проблема является регулярной, а не сингулярной, терпит неудачу. Некоторые показывают, как проблему можно решить более сложными сингулярными методами.

Исчезающие коэффициенты в обыкновенных дифференциальных уравнениях

Дифференциальные уравнения, содержащие небольшой параметр, который предварительно умножает член высшего порядка, обычно имеют пограничные слои, поэтому решение развивается в двух разных масштабах. Например, рассмотрим краевую задачу

${\begin{matrix}\varepsilon u^{\prime \prime }(x)+u^{\prime }(x)=-e^{-x},\ \ 0<x<1\\u(0)=0,\ \ u(1)=1.\end{matrix}}$

Ее решение, когда $\varepsilon =0.1$ представляет собой сплошную кривую, показанную ниже. Обратите внимание, что решение быстро меняется вблизи начала координат. Если мы наивно установим $\varepsilon =0$, мы получим решение, помеченное ниже как «внешнее», которое не моделирует пограничный слой, для которого x близко к нулю. Более подробную информацию о том, как получить равномерно допустимое приближение, см. в разделе « Метод согласованных асимптотических разложений» .

Примеры во времени

Робот-манипулятор с электрическим приводом может иметь более медленную механическую динамику и более быструю электрическую динамику, таким образом демонстрируя два временных масштаба. В таких случаях мы можем разделить систему на две подсистемы: одна соответствует более быстрой динамике, а другая — более медленной, а затем спроектировать контроллеры для каждой из них отдельно. С помощью метода сингулярного возмущения мы можем сделать эти две подсистемы независимыми друг от друга, тем самым упростив задачу управления.

Рассмотрим класс систем, описываемых следующей системой уравнений:

${\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{1}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,$

$\varepsilon {\dot {x}}_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2})+\varepsilon g_{2}(x_{1},x_{2},\varepsilon ),\,$

$x_{1}(0)=a_{1},x_{2}(0)=a_{2},\,$

с $0<\varepsilon \ll 1$. Второе уравнение показывает, что динамика $x_{2}$ намного быстрее, чем у $x_{1}$. Теорема Тихонова утверждает, что при правильных условиях в системе она изначально и очень быстро аппроксимирует решение уравнений

${\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2}),\,$

$f_{2}(x_{1},x_{2})=0,\,$

$x_{1}(0)=a_{1},\,$

на некотором интервале времени и что, поскольку $\varepsilon$ уменьшается к нулю, система будет ближе к решению на том же интервале.

Примеры в космосе

В механике жидкости свойства слегка вязкой жидкости резко различаются снаружи и внутри узкого пограничного слоя . Таким образом, жидкость имеет несколько пространственных масштабов.

Реакционно-диффузионные системы , в которых один реагент диффундирует гораздо медленнее другого, могут образовывать пространственные структуры, отмеченные областями, где реагент существует, и областями, где его нет, с резкими переходами между ними. В экологии модели хищник-жертва, такие как

$u_{t}=\varepsilon u_{xx}+uf(u)-vg(u),\,$

$v_{t}=v_{xx}+vh(u),\,$

где $u$ это добыча и $v$ является хищником, демонстрируют такие закономерности.

Алгебраические уравнения

Рассмотрим задачу нахождения всех корней многочлена $p(x)=\varepsilon x^{3}-x^{2}+1$. В пределе $\varepsilon \to 0$, эта кубика вырождается в квадратичную $1-x^{2}$ с корнями в $x=\pm 1$. Подстановка регулярного ряда теории возмущений

$x(\varepsilon )=x_{0}+\varepsilon x_{1}+\varepsilon ^{2}x_{2}+\cdots$

в уравнении и приравнивая равные степени $\varepsilon$ дает поправки только к этим двум корням:

$x(\varepsilon )=\pm 1+{\frac {1}{2}}\varepsilon \pm {\frac {5}{8}}\varepsilon ^{2}+\cdots .$

Чтобы найти другой корень, необходимо использовать анализ сингулярных возмущений. Тогда нам придется иметь дело с тем фактом, что уравнение вырождается в квадратное, когда мы допускаем $\varepsilon$ стремятся к нулю, в этом пределе один из корней уходит в бесконечность. Чтобы этот корень не стал невидимым для пертурбативного анализа, мы должны изменить масштаб $x$ чтобы отслеживать этот экранирующий корень, чтобы с точки зрения масштабированных переменных он не ускользал. Мы определяем масштабированную переменную $y=x\varepsilon ^{\nu }$ где показатель степени $\nu$ будет выбран таким образом, чтобы мы масштабировали достаточно быстро, чтобы корень имел конечное значение $y$ в пределе $\varepsilon$ до нуля, но так, чтобы он не схлопывался до нуля там, где окажутся два других корня. С точки зрения $y$ у нас есть

$y^{3}-\varepsilon ^{\nu -1}y^{2}+\varepsilon ^{3\nu -1}=0.$

Мы можем видеть это для $\nu <1$ тот $y^{3}$ преобладают члены низших степеней, а при $\nu =1$ оно становится таким же доминирующим, как и $y^{2}$ срок, в то время как они оба доминируют в оставшемся сроке. Эта точка, в которой член высшего порядка больше не будет исчезать в пределе $\varepsilon$ к нулю, став равным доминантом по отношению к другому члену, называется значительной дегенерацией; это дает правильное масштабирование, чтобы сделать видимым оставшийся корень. Этот выбор дает

$y^{3}-y^{2}+\varepsilon ^{2}=0.$

Подстановка ряда возмущений

$y(\varepsilon )=y_{0}+\varepsilon ^{2}y_{1}+\varepsilon ^{4}y_{2}+\cdots$

урожайность

$y_{0}^{3}-y_{0}^{2}=0.$

Затем нас интересует корень в $y_{0}=1$; двойной корень в $y_{0}=0$ — это два корня, которые мы нашли выше, которые схлопываются до нуля в пределе бесконечного масштабирования. Вычисление первых нескольких членов ряда дает

$x(\varepsilon )={\frac {y(\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {1}{\varepsilon }}-\varepsilon -2\varepsilon ^{3}+\cdots .$