Теорема Штейна – Стрёмберга

В математике теорема Стейна-Стрёмберга или неравенство Стейна-Стрёмберга является результатом теории меры, касающимся максимального оператора Харди-Литтлвуда . Результат является основополагающим при изучении проблемы дифференцирования интегралов . Результат назван в честь математиков Элиаса М. Штейна и Яна-Олова Стрёмберга .

Формулировка теоремы

Пусть λ ^н обозначим n - мерную меру Лебега на n -мерном евклидовом пространстве R ^н и пусть M обозначает максимальный оператор Харди–Литтлвуда: для функции f : R ^н → Р , Мф : Р ^н → R определяется формулой

$Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{\lambda ^{n}{\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}|f(y)|\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(y),$

где B _r ( x ) обозначает открытый шар радиуса r x центром с . Тогда для каждого p > 1 существует константа C _p > 0 такая, что для всех натуральных чисел n и функций f ∈ L ^п ( Р ^н ; Р ),

$\|Mf\|_{L^{p}}\leq C_{p}\|f\|_{L^{p}}.$

В общем случае максимальный оператор M называется оператором сильного типа ( p , p ), если

$\|Mf\|_{L^{p}}\leq C_{p,n}\|f\|_{L^{p}}$

для всех f ∈ L ^п ( Р ^н ; Р ). Таким образом, теорема Стейна–Стрёмберга — это утверждение о том, что максимальный оператор Харди–Литтлвуда имеет сильный тип ( p , p ) равномерно по размерности n .

Ссылки

• Штейн, Элиас М .; Стрёмберг, Ян-Олов (1983). «Поведение максимальных функций в R ^н для больших n » . Ark. Mat . 21 (2): 259–269. doi : 10.1007/BF02384314 . MR 727348
• Тишер, Ярослав (1988). «Теорема дифференцирования для гауссовских мер в гильбертовом пространстве». Пер. амер. Математика. Соц . 308 (2): 655–666. дои : 10.2307/2001096 . МИСТЕР 951621