Метод цепных дробей

Метод цепных дробей — метод, разработанный специально для решения интегральных уравнений квантовой теории рассеяния, таких как уравнение Липпмана–Швингера или уравнение Фаддеева . Его изобрели Горачек и Сасакава. ^{[ 1 ]} в 1983 году. Целью метода является решение интегрального уравнения

|\psi \rangle =|\phi \rangle +G_{0}V|\psi \rangle

итеративно и построить сходящую цепную дробь для Т-матрицы

T=\langle \phi |V|\psi \rangle .

Метод имеет два варианта. В первом из них (обозначаемом MCFV) мы строим аппроксимации оператора потенциальной энергии $V$ в виде сепарабельной функции ранга 1, 2, 3... Второй вариант (метод MCFG ^{[ 2 ]}) строит аппроксимации конечного ранга оператора Грина . Аппроксимации строятся в подпространстве Крылова, построенном по вектору $|\phi \rangle$ с действием оператора $A=G_{0}V$ . Таким образом, этот метод можно понимать как суммирование (в целом расходящихся) рядов Борна с помощью аппроксимаций Паде . Он также тесно связан с вариационным принципом Швингера . В целом метод требует такого же объема численной работы, как и расчет членов ряда Борна, но обеспечивает гораздо более быструю сходимость результатов.

Алгоритм MCFV

Вывод метода происходит следующим образом. Сначала введем ранг один (сепарабельный) приближение к потенциалу

V={\frac {V|\phi \rangle \langle \phi |V}{\langle \phi |V|\phi \rangle }}+V_{1}.

Интегральное уравнение для части потенциала первого ранга легко разрешимо. Таким образом, полное решение исходной задачи можно выразить как

|\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {T}{\langle \phi |V|\phi \rangle }}|\psi _{1}\rangle ,\qquad T={\frac {\langle \phi |V|\phi \rangle ^{2}}{\langle \phi |V|\phi \rangle -\langle \phi |V|\psi _{1}\rangle }},

с точки зрения новой функции $|\psi _{1}\rangle$ . Эта функция является решением модифицированного уравнения Липпмана – Швингера.

|\psi _{1}\rangle =|\phi _{1}\rangle +G_{0}V_{1}|\psi _{1}\rangle ,

с $|\phi _{1}\rangle =G_{0}V|\phi \rangle .$ Оставшийся потенциальный срок $V_{1}$ прозрачен для входящей волны

V_{1}|\phi \rangle =\langle \phi |V_{1}=0,

т.е. это более слабый оператор, чем исходный. Новая задача, полученная таким образом для $|\psi _{1}\rangle$ имеет ту же форму, что и исходная, и мы можем повторить процедуру. Это приводит к повторяющимся отношениям

V_{i}=V_{i-1}-{\frac {V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle \langle \phi _{i-1}|V_{i-1}}{\langle \phi _{i-1}|V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle }}

|\phi _{i}\rangle =G_{0}V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle .

Можно показать, что Т-матрицу исходной задачи можно выразить в виде цепной дроби

T={\cfrac {\beta _{0}^{2}}{\beta _{0}-\gamma _{1}-{\cfrac {\beta _{1}^{2}}{\beta _{1}-\gamma _{2}-{\cfrac {\beta _{2}^{2}}{\beta _{2}-\gamma _{3}-\ddots }}}}}},

где мы определили

\beta _{i}=\langle \phi _{i-1}|V_{i-1}|\phi _{i-1}\rangle ,\qquad \gamma _{i}=\langle \phi _{i-1}|V_{i-1}|\phi _{i}\rangle .

В практических расчетах бесконечную цепную дробь заменяют конечной, полагая, что

\beta _{N}=\beta _{N+1}=\dots =0,\qquad \gamma _{N}=\gamma _{N+1}=\dots =0.

Это эквивалентно предположению, что решение остатка

|\psi _{N}\rangle =|\phi _{N}\rangle +G_{0}V_{N}|\psi _{N}\rangle ,

ничтожно мало. Это правдоподобное предположение, поскольку потенциал остатка $V_{N}$ есть все векторы $|\phi _{i}\rangle ,i=0,1,\ldots ,N-1$ в своем нулевом пространстве , и можно показать, что этот потенциал сходится к нулю, а цепная дробь сходится к точной Т-матрице.

Алгоритм MCFG

Второй вариант ^{[ 2 ]} метода строят аппроксимации оператора Грина

G_{i+1}=G_{i}-{\frac {|\phi _{i+1}\rangle \langle \phi _{i+1}|}{\langle \phi _{i}|V|\phi _{i+1}\rangle }},

теперь с векторами

|\phi _{i+1}\rangle =G_{i}V|\phi _{i}\rangle .

Цепная дробь для Т-матрицы теперь также сохраняется, но с немного другим определением коэффициентов. $\beta _{i},\gamma _{i}$ . ^{[ 2 ]}

Свойства и связь с другими методами

Выражения для Т-матрицы, полученные обоими методами, можно отнести к определенному классу вариационных принципов. В случае первой итерации метода MCFV мы получаем тот же результат, что и из вариационного принципа Швингера с пробной функцией. $|\psi \rangle =|\phi \rangle$ . Более высокие итерации с N -членами в непрерывной дроби воспроизводят ровно 2 N члена (2 N + 1) ряда Борна для метода MCFV (или MCFG) соответственно. Метод апробирован на расчете столкновений электронов атома водорода в статически-обменном приближении. В этом случае метод воспроизводит точные результаты для сечения рассеяния по 6 значащим разрядам за 4 итерации. Также можно показать, что оба метода точно воспроизводят решение уравнения Липпмана-Швингера с потенциалом, заданным оператором конечного ранга . Тогда количество итераций будет равно рангу потенциала. Метод успешно применяется для решения задач как в ядерной, так и в ядерной сферах. ^{[ 3 ]} и молекулярная физика . ^{[ 4 ]}

Ссылки

^ Горачек, Ю. ; Сасакава, Т. (1983). «Метод цепных дробей с применением к атомной физике». Физический обзор А. 28 (4): 2151–2156. дои : 10.1103/PhysRevA.28.2151 . ISSN 0556-2791 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Горачек Ю.; Сасакава, Т. (1984). «Метод цепных дробей с применением к атомной физике. II». Физический обзор А. 30 (5): 2274–2277. дои : 10.1103/PhysRevA.30.2274 . ISSN 0556-2791 .
^ Сасакава Т. «Модели и методы в физике немногих тел», под редакцией Феррейры, Фонсека, Стерит, Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, 1987 г.
^ Рибейро, служба скорой помощи; Мачадо, Лео; Ли, М.-Т.; Брескансин, LM (2001). «Применение метода цепных дробей к рассеянию электронов на многоатомных молекулах». Компьютерная физика. Коммуникации . 136 (1–2): 117–125. дои : 10.1016/S0010-4655(01)00151-5 . ISSN 0010-4655 .

[HoráčekSasakawa1983-1] Горачек, Ю. ; Сасакава, Т. (1983). «Метод цепных дробей с применением к атомной физике». Физический обзор А. 28 (4): 2151–2156. дои : 10.1103/PhysRevA.28.2151 . ISSN 0556-2791 .

[hs84-2] Jump up to: ^а ^б ^с Горачек Ю.; Сасакава, Т. (1984). «Метод цепных дробей с применением к атомной физике. II». Физический обзор А. 30 (5): 2274–2277. дои : 10.1103/PhysRevA.30.2274 . ISSN 0556-2791 .

[3] Сасакава Т. «Модели и методы в физике немногих тел», под редакцией Феррейры, Фонсека, Стерит, Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, 1987 г.

[RibeiroMachado2001-4] Рибейро, служба скорой помощи; Мачадо, Лео; Ли, М.-Т.; Брескансин, LM (2001). «Применение метода цепных дробей к рассеянию электронов на многоатомных молекулах». Компьютерная физика. Коммуникации . 136 (1–2): 117–125. дои : 10.1016/S0010-4655(01)00151-5 . ISSN 0010-4655 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]