Путаница обратного

Путаница обратного , также называемая ошибкой условной вероятности или обратной ошибкой , представляет собой логическую ошибку , при которой условная вероятность приравнивается к ее обратной; то есть, учитывая два события A и B , вероятность события A при условии, что произошло B, предполагается примерно такой же, как вероятность B при условии A , хотя фактически нет никаких доказательств этого предположения. ^[1]^[2] Более формально P ( A | B предполагается, что ) примерно равно P ( B | A ).

Примеры

Пример 1

Родственник размер	Злокачественный	Доброкачественный	Общий
Тест позитивный	0.8 (истинно положительный)	9.9 (ложноположительный)	10.7
Тест отрицательный	0.2 (ложноотрицательный)	89.1 (истинно отрицательный)	89.3
Общий	1	99	100

В одном исследовании врачей попросили оценить вероятность злокачественного новообразования с априорной вероятностью возникновения 1%. Тест может обнаружить 80% злокачественных новообразований и имеет 10% ложноположительных результатов. Какова вероятность злокачественного новообразования при положительном результате теста? ^[3] Примерно 95 из 100 врачей ответили, что вероятность злокачественного новообразования составит около 75%, по-видимому, потому, что врачи считали, что вероятность злокачественного новообразования при положительном результате теста примерно такая же, как вероятность положительного результата теста при наличии злокачественного новообразования. ^[4]

Правильная вероятность злокачественного новообразования при положительном результате теста, как указано выше, составляет 7,5%, что определяется теоремой Байеса :

{\begin{aligned}&{}\qquad P({\text{malignant}}|{\text{positive}})\\[8pt]&={\frac {P({\text{positive}}|{\text{malignant}})P({\text{malignant}})}{P({\text{positive}}|{\text{malignant}})P({\text{malignant}})+P({\text{positive}}|{\text{benign}})P({\text{benign}})}}\\[8pt]&={\frac {(0.80\cdot 0.01)}{(0.80\cdot 0.01)+(0.10\cdot 0.99)}}=0.075\end{aligned}}

Другие примеры путаницы включают в себя:

Потребители тяжелых наркотиков склонны употреблять марихуану ; следовательно, потребители марихуаны склонны употреблять тяжелые наркотики (первая вероятность — употребление марихуаны с учетом употребления тяжелых наркотиков, вторая — употребление тяжелых наркотиков с учетом употребления марихуаны). ^[5]
Большинство несчастных случаев происходит в пределах 25 миль от дома; поэтому вы в большей безопасности, когда находитесь далеко от дома. ^[5]
Террористы, как правило, имеют инженерное образование; Итак, у инженеров есть склонность к терроризму. ^[6]

Чтобы узнать о других ошибках условной вероятности, см. « Проблему Монти Холла и ошибку базовой ставки» . Сравните с незаконным обращением .

Пример 2

Родственник размер (%)	Больной	Хорошо	Общий
Тест позитивный	0.99 (истинно положительный)	0.99 (ложноположительный)	1.98
Тест отрицательный	0.01 (ложноотрицательный)	98.01 (истинно отрицательный)	98.02
Общий	1	99	100

Чтобы выявить лиц с серьезным заболеванием в ранней излечимой форме, можно рассмотреть возможность проведения скрининга большой группы людей. Хотя польза от таких скринингов очевидна, аргументом против таких скринингов являются нарушения, вызванные ложноположительными результатами скрининга: если при первоначальном тесте ошибочно будет обнаружено, что у человека, не страдающего этим заболеванием, оно, скорее всего, будет расстроено, и даже если он впоследствии они пройдут более тщательное обследование, и им сообщат, что с ними все в порядке, но их жизнь все равно может пострадать. Если они предпримут ненужное лечение этого заболевания, им могут навредить побочные эффекты и затраты на лечение.

Масштабы этой проблемы лучше всего можно понять с точки зрения условных вероятностей.

Предположим, 1% группы страдает этим заболеванием, а остальные чувствуют себя хорошо. Случайно выбрав человека,

P({\text{ill}})=1\%=0.01{\text{ and }}P({\text{well}})=99\%=0.99.

Предположим, что когда скрининговый тест применяется к человеку, не имеющему заболевания, существует 1%-ная вероятность получения ложноположительного результата (и, следовательно, 99%-ная вероятность получения истинно отрицательного результата, число, известное как специфичность теста ). ), т.е.

P({\text{positive}}|{\text{well}})=1\%,{\text{ and }}P({\text{negative}}|{\text{well}})=99\%.

Наконец, предположим, что когда тест применяется к человеку, страдающему этим заболеванием, существует 1%-ная вероятность получения ложноотрицательного результата (и 99%-ная вероятность получения истинно положительного результата, известная как чувствительность теста ), т.е.

P({\text{negative}}|{\text{ill}})=1\%{\text{ and }}P({\text{positive}}|{\text{ill}})=99\%.

Расчеты

Доля лиц во всей группе, которые здоровы и имеют отрицательный результат теста (истинно отрицательный результат):

P({\text{well}}\cap {\text{negative}})=P({\text{well}})\times P({\text{negative}}|{\text{well}})=99\%\times 99\%=98.01\%.

Доля людей во всей группе, которые больны и имеют положительный результат теста (истинно положительный):

P({\text{ill}}\cap {\text{positive}})=P({\text{ill}})\times P({\text{positive}}|{\text{ill}})=1\%\times 99\%=0.99\%.

Доля лиц во всей группе, имеющих ложноположительные результаты:

P({\text{well}}\cap {\text{positive}})=P({\text{well}})\times P({\text{positive}}|{\text{well}})=99\%\times 1\%=0.99\%.

Доля лиц во всей группе, имеющих ложноотрицательные результаты:

P({\text{ill}}\cap {\text{negative}})=P({\text{ill}})\times P({\text{negative}}|{\text{ill}})=1\%\times 1\%=0.01\%.

Кроме того, доля лиц во всей группе с положительным результатом теста:

{\begin{aligned}P({\text{positive}})&{}=P({\text{well }}\cap {\text{ positive}})+P({\text{ill}}\cap {\text{positive}})\\&{}=0.99\%+0.99\%=1.98\%.\end{aligned}}

Наконец, вероятность того, что человек действительно болен заболеванием, при условии, что результат теста положительный:

P({\text{ill}}|{\text{positive}})={\frac {P({\text{ill}}\cap {\text{positive}})}{P({\text{positive}})}}={\frac {0.99\%}{1.98\%}}=50\%.

Заключение

В этом примере должно быть легко связать разницу между условными вероятностями P (положительная | ill), которая при предполагаемых вероятностях равна 99 %, и P (ill | положительная), которая равна 50 %: первая — это вероятность того, что у человека, у которого есть заболевание, положительный результат теста; второй — это вероятность того, что человек с положительным результатом теста действительно болен этим заболеванием. Таким образом, с учетом вероятностей, выбранных в этом примере, примерно такое же количество людей получают преимущества раннего лечения, как и те, кто страдает от ложноположительных результатов; эти положительные и отрицательные эффекты затем можно учитывать при принятии решения о проведении скрининга или, если возможно, о корректировке критериев тестирования, чтобы уменьшить количество ложноположительных результатов (возможно, за счет большего количества ложноотрицательных результатов).

См. также

Ссылки

^ Плус, Скотт (1993). Психология суждений и принятия решений . стр. 131–134. ISBN 978-0-07-050477-6 . ^{[ нужна полная цитата ]}
^ Вильжубер, Гаэль; Мандель, Дэвид (2002). «Обратная ошибка: учет отклонений от теоремы Байеса и принципа аддитивности» . Память и познание . 30 (5): 171–178. дои : 10.3758/BF03195278 . ПМИД 12035879 .
^ Эдди, Дэвид М. (1982). «Вероятностные рассуждения в клинической медицине: проблемы и возможности». В Канеман, Д .; Слович, П. ; Тверский, А. (ред.). Суждение в условиях неопределенности: эвристика и предвзятость . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 249–267. ISBN 0-521-24064-6 . Описание упрощено, как у Plous (1993) .
^ Эдди (1982 , стр. 253). «К сожалению, большинство врачей (примерно 95 из 100 в неофициальной выборке, взятой автором) неверно истолковывают утверждения о точности теста и оценивают P(ca|pos) примерно в 75%».
^ Jump up to: ^а ^б Хасти, Рид ; Робин Доус (2001). Рациональный выбор в нестабильном мире . стр. 122–123. ISBN 978-0-7619-2275-9 . ^{[ нужна полная цитата ]}
^ см. «Из инженеров получаются хорошие террористы?» . Слэшдот . 3 апреля 2008 г. Проверено 25 апреля 2008 г.

[1] Плус, Скотт (1993). Психология суждений и принятия решений . стр. 131–134. ISBN 978-0-07-050477-6 . ^{[ нужна полная цитата ]}

[2] Вильжубер, Гаэль; Мандель, Дэвид (2002). «Обратная ошибка: учет отклонений от теоремы Байеса и принципа аддитивности» . Память и познание . 30 (5): 171–178. дои : 10.3758/BF03195278 . ПМИД 12035879 .

[3] Эдди, Дэвид М. (1982). «Вероятностные рассуждения в клинической медицине: проблемы и возможности». В Канеман, Д .; Слович, П. ; Тверский, А. (ред.). Суждение в условиях неопределенности: эвристика и предвзятость . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 249–267. ISBN 0-521-24064-6 . Описание упрощено, как у Plous (1993) .

[4] Эдди (1982 , стр. 253). «К сожалению, большинство врачей (примерно 95 из 100 в неофициальной выборке, взятой автором) неверно истолковывают утверждения о точности теста и оценивают P(ca|pos) примерно в 75%».

[HD-5] Jump up to: ^а ^б Хасти, Рид ; Робин Доус (2001). Рациональный выбор в нестабильном мире . стр. 122–123. ISBN 978-0-7619-2275-9 . ^{[ нужна полная цитата ]}

[6] см. «Из инженеров получаются хорошие террористы?» . Слэшдот . 3 апреля 2008 г. Проверено 25 апреля 2008 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]