Согласованность высшего порядка

В квантовой оптике корреляционные функции используются для характеристики статистических и когерентных свойств (способности волн интерферировать) электромагнитного излучения , такого как оптический свет . Когерентность более высокого порядка или n когерентность -го порядка (для любого положительного целого числа n > 1) расширяет концепцию когерентности на квантовую оптику и эксперименты по совпадениям. Он используется для того, чтобы отличить оптические эксперименты, требующие квантовомеханического описания, от тех, для которых достаточно классических полей.

Классические оптические эксперименты, такие как эксперимент Юнга с двумя щелями и интерферометрия Маха-Цендера, характеризуются когерентностью только первого порядка. 1956 года Эксперимент Хэнбери Брауна и Твисса выявил другой тип корреляции между полями, а именно корреляцию интенсивностей, которая соответствует когерентности второго порядка. Когерентные волны имеют четко выраженное постоянное фазовое соотношение. Функции когерентности, введенные Роем Глаубером и другими в 1960-х годах, отражают математическую основу интуиции, определяя корреляцию между компонентами электрического поля как когерентность. Эти корреляции между компонентами электрического поля могут быть измерены до произвольных порядков, что приводит к концепции разных порядков или степеней когерентности .

Порядки когерентности можно измерить с помощью классических корреляционных функций или с помощью квантового аналога этих функций, которые принимают в качестве входных данных квантовомеханическое описание операторов электрического поля. Основной механизм и описание физических процессов фундаментально различны, поскольку квантовая интерференция имеет дело с интерференцией возможных историй, а классическая интерференция связана с интерференцией физических волн.

Аналогичные соображения применимы и к другим волнообразным системам. На примере случая корреляций Бозе-Эйнштейна в физике конденсированного состояния .

Введение

Когерентность первого порядка

Нормализованная корреляционная функция первого порядка записывается как:

$\gamma ^{(1)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right\rangle }{\left[\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle \right]^{\frac {1}{2}}}},$

где $\langle \cdots \rangle$ обозначает (статистическое) среднее значение по ансамблю. Для нестационарных состояний, таких как импульсы, ансамбль состоит из множества импульсов. Когда мы имеем дело со стационарными состояниями, где статистические свойства не меняются со временем, можно заменить среднее по ансамблю средним по времени. Если ограничиться плоскопараллельными друг другу волнами, то $\mathbf {r} =z$.

В этом случае результат для стационарных состояний не будет зависеть от $t_{1}$, но по задержке $\tau =t_{1}-t_{2}$ (или $\tau =t_{1}-t_{2}={\frac {z_{1}-z_{2}}{c}}$ если $z_{1}\neq z_{2}$).

Это позволяет нам написать упрощенную форму

$\gamma ^{(1)}(\tau )={\frac {\left\langle E^{*}(t)E(t+\tau )\right\rangle }{\left\langle \left|E(t)\right|^{2}\right\rangle }},$

где мы теперь усреднили по t .

Это график абсолютного значения g ⁽¹⁾ как функция задержки, нормированной на длину когерентности τ/τ _c . Синяя кривая соответствует когерентному состоянию (идеальный лазер или одна частота). Красная кривая соответствует лоренцевому хаотическому свету (например, уширению столкновений). Зеленая кривая соответствует гауссовскому хаотическому свету (например, доплеровскому уширению).

В оптических интерферометрах, таких как интерферометр Майкельсона , интерферометр Маха – Цендера или интерферометр Саньяка , электрическое поле разделяется на два компонента, вводится временная задержка в один из компонентов, а затем рекомбинируется их. Интенсивность результирующего поля измеряется как функция временной задержки. В этом конкретном случае, когда используются две равные входные интенсивности, видимость результирующей интерференционной картины определяется выражением:

${\begin{aligned}\nu &=\left|\gamma ^{(1)}(\tau )\right|\\\nu &=\left|\gamma ^{(1)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|\end{aligned}}$

где второе выражение предполагает объединение двух точек пространства-времени из поля. Видимость колеблется от нуля для некогерентных электрических полей до единицы для когерентных электрических полей. Все, что находится между ними, описывается как частично связное.

В целом, $\gamma ^{(1)}(0)=1$ и $\gamma ^{(1)}(\tau )=\gamma ^{(1)}(-\tau )^{*}$.

Для света одной частоты (точечного источника):

$\gamma ^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau }$

Для лоренцева хаотического света (например, уширение столкновения):

$\gamma ^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {|\tau |}{\tau _{c}}}}$

Для гауссовского хаотического света (например, доплеровского расширения):

$\gamma ^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {\tau }{\tau _{c}}}\right)^{2}}$

Здесь, $\omega _{0}$ центральная частота света и $\tau _{c}$ — время когерентности света.

Классическое описание эксперимента с двумя щелями.

Основная статья: Эксперимент с двумя щелями

Рисунок 1. Принципиальная схема установки эксперимента Юнга с двумя щелями.

В эксперименте с двумя щелями, первоначально проведенном Томасом Янгом в 1801 году, свет от источника света проходит через два отверстия, разделенных некоторым расстоянием, а экран помещается на некотором расстоянии от отверстий, где наблюдается интерференция между световыми волнами. (рис. 1). Эксперимент Янга с двумя щелями демонстрирует зависимость интерференции от когерентности, в частности от корреляции первого порядка. Этот эксперимент эквивалентен интерферометру Маха-Цендера с оговоркой, что эксперимент Юнга с двумя щелями касается пространственной когерентности, в то время как интерферометр Маха-Цендера основан на временной когерентности.

Интенсивность, измеренная в позиции $\mathbf {r}$ во время $t$ является

$\langle I\rangle =\langle |E^{+}(\mathbf {r} ,t)|^{2}\rangle =\langle I\rangle =I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|\cos {\phi (x_{1},x_{2})}$.

Световое поле имеет наивысшую степень когерентности, когда соответствующая интерференционная картина имеет максимальную контрастность на экране. Контраст границ определяется как $V={\frac {I_{\rm {max}}-I_{\rm {min}}}{I_{\rm {max}}+I_{\rm {min}}}}$.

Классически, $I_{\rm {min}}^{\rm {max}}=I_{1}+I_{2}\pm 2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|$ и, следовательно, $V={\frac {2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|}{I_{1}+I_{2}}}$. Поскольку согласованность – это способность мешать видимости, и согласованность связаны между собой:

$|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|=1$ означает высочайший контраст, полную согласованность

$0<|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|<1$ означает частичную видимость границ, частичную согласованность

$|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|=0$ означает отсутствие контраста, полную бессвязность.

Квантовое описание эксперимента с двумя щелями

Классически электрическое поле в позиции $\mathbf {r}$, представляет собой сумму компонентов электрического поля в двух точечных отверстиях. $\mathbf {r} _{1}$ и $\mathbf {r} _{2}$ прежние времена $t_{1},t_{2}$ респектабельно, т.е. $E^{+}(\mathbf {r} ,t)=E^{+}(\mathbf {r_{1}} ,t_{1})+E^{+}(\mathbf {r} _{2},t_{2})$. Соответственно, в квантовом описании аналогично связаны операторы электрического поля: ${\hat {E}}^{+}(\mathbf {r} ,t)={\hat {E}}^{+}(\mathbf {r_{1}} ,t_{1})+{\hat {E}}^{+}(\mathbf {r} _{2},t_{2})$. Это подразумевает

$I=\mathrm {Tr} [\rho {\hat {E}}^{-}(\mathbf {r} ,t){\hat {E}}^{+}(\mathbf {r} ,t)]=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|g^{(1)}(x_{1},x_{2})|\cos \phi (x_{1},x_{2})$.

Интенсивность колеблется в зависимости от положения, т.е. квантовомеханическая обработка также предсказывает появление интерференционных полос. Более того, в соответствии с интуитивным пониманием когерентности, т.е. способности интерференции, интерференционные картины зависят от корреляционной функции первого порядка $g^{(1)}$. Сравнивая это с классической интенсивностью, отметим, что единственное отличие состоит в том, что классическая нормированная корреляция $\gamma ^{(1)}$ теперь заменена квантовой корреляцией $g^{(1)}$. Даже вычисления здесь поразительно похожи на те, которые можно было бы выполнить классически. Однако возникающая при этом квантовая интерференция принципиально отличается от классической интерференции электромагнитных волн. Квантовая интерференция возникает, когда пересекаются две возможные истории, учитывая определенное начальное и конечное состояние. В этом эксперименте, учитывая начальное состояние фотона перед отверстием и его конечное состояние на экране, две возможные истории соответствуют двум отверстиям, через которые фотон мог пройти. Следовательно, с квантовой механики здесь фотон интерферирует сам с собой. Однако такое взаимодействие разных историй происходит только тогда, когда у наблюдателя нет конкретного способа определить, какая из разных историй действительно произошла. Если наблюдать, как система определяет путь фотона, то в среднем интерференция амплитуд исчезнет.

Когерентность второго порядка

Участок г ⁽²⁾ как функция задержки, нормированной на длину когерентности τ/τ _c . Синяя кривая соответствует когерентному состоянию (идеальный лазер или одна частота). Красная кривая соответствует лоренцевому хаотическому свету (например, уширению столкновений). Зеленая кривая соответствует гауссовскому хаотическому свету (например, доплеровскому уширению). Хаотический свет является суперпуассоновским и сгруппированным.

Нормализованная корреляционная функция второго порядка записывается как:

$g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right\rangle }{\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle }}$

Обратите внимание, что это не обобщение когерентности первого порядка.

Если электрические поля считать классическими, мы можем переупорядочить их, чтобы выразить $g^{(2)}$ по интенсивности. Плоскопараллельная волна в стационарном состоянии будет иметь

$g^{(2)}(\tau )={\frac {\left\langle I(t)I(t+\tau )\right\rangle }{\left\langle I(t)\right\rangle ^{2}}}$

Приведенное выше выражение является четным, $g^{(2)}(\tau )=g^{(2)}(-\tau )$. Для классических полей можно применить неравенство Коши – Шварца к интенсивностям в приведенном выше выражении (поскольку они являются действительными числами), чтобы показать, что $g^{(2)}(\tau )\leq g^{(2)}(0)$. Неравенство $\left\langle I(t)I(t)\right\rangle -{\left\langle I(t)\right\rangle }^{2}=\left\langle {\left[I(t)-\left\langle I(t)\right\rangle \right]}^{2}\right\rangle \geq 0$ показывает, что $1\leq g^{(2)}(0)\leq \infty$. Предполагая независимость интенсивностей, когда $\tau \to +\infty$ приводит к $g^{(2)}(+\infty )=1$. Тем не менее, когерентность второго порядка для среднего по полосам дополнительных выходных сигналов интерферометра когерентного состояния составляет всего 0,5 (хотя $g^{(2)}=1$ для каждого выхода). И $g^{(2)}$ (рассчитанный на основе средних значений) может быть уменьшен до нуля при применении к сигналу надлежащего уровня различающего триггера (в пределах диапазона когерентности).

Говорят, что свет сгруппирован, если $g^{(2)}(\tau )<g^{(2)}(0)$ и антигруппированный, если $g^{(2)}(\tau )>g^{(2)}(0)$.

• Хаотический свет всех видов из соотношения Зигерта : $g^{(2)}(\tau )=1+\left|g^{(1)}(\tau )\right|^{2}$.

Обратите внимание, что эффект Хэнбери Брауна и Твисса использует этот факт для нахождения $\left|g^{(1)}(\tau )\right|$ из измерения $g^{(2)}(\tau )$.

• Свет одной частоты: $g^{(2)}(\tau )=1$.

• В случае антигруппировки фотонов для $\tau =0$ у нас есть $g^{(2)}(0)=0$ для одиночного источника фотонов, потому что

  $g^{(2)}(0)={\frac {\left\langle n(n-1)\right\rangle }{\left\langle n\right\rangle ^{2}}},$

  где $n$ — наблюдаемое число фотонов.

Обобщение

Электрическое поле $E(\mathbf {r} ,t)$ можно разделить на положительную и отрицательную частотные составляющие. $E(\mathbf {r} ,t)=E^{+}(\mathbf {r} ,t)+E^{-}(\mathbf {r} ,t)$. Любой из двух частотных компонентов содержит всю физическую информацию о волне. Классическая корреляционная функция первого, второго и n- го порядка определяется следующим образом:

$G_{c}^{(1)}(x_{1},x_{2})=\langle E^{-}(x_{1})E^{+}(x_{2})\rangle$,

$G_{c}^{(2)}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\langle E^{-}(x_{1})E^{-}(x_{2})E^{+}(x_{3})E^{+}(x_{4})\rangle$,

$G_{c}^{(n)}(x_{1},x_{2},...,x_{2n})=\langle E^{-}(x_{1})...E^{-}(x_{n})E^{+}(x_{n+1})...E^{+}(x_{2n})\rangle$,

где $x_{i}$ представляет $(\mathbf {r} _{i},t_{i})$. В то время как приказ о $E^{+}(\mathbf {r} ,t)$ и $E^{-}(\mathbf {r} ,t)$, не имеет значения в классическом случае, поскольку они являются просто числами и, следовательно, коммутируют, упорядочение жизненно важно в квантовом аналоге этих корреляционных функций. Корреляционная функция первого порядка, измеренная в одно и то же время и в одном и том же положении, дает нам интенсивность, т.е. $G_{c}^{(1)}(x_{1},x_{1})=I$. Классическая нормированная корреляционная функция n- го порядка определяется путем деления корреляционной функции n -го порядка на все соответствующие интенсивности:

$\gamma ^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})={\frac {G_{c}^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})}{G_{c}^{(1)}(x_{1},x_{1})...G^{(1)}(x_{n},x_{n})}}$.

Квантовое описание

В квантовой механике положительная и отрицательная частотные составляющие электрического поля заменяются операторами ${\hat {E}}^{+}$ и ${\hat {E}}^{-}$ соответственно. На Гейзенберга фотографии

${\hat {E}}^{+}=i\sum \limits _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar \omega _{k}}{2\epsilon _{0}V}}}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\mu }e^{i\mathbf {k} .\mathbf {r} }\mathbf {e} _{\mathbf {k} ,\mu }$,

где $\mathbf {k}$ – вектор поляризации , $\mathbf {e} _{\mathbf {k} ,\mu }$ - единичный вектор, перпендикулярный $\mathbf {k}$, с $\mu$ обозначая один из двух векторов, перпендикулярных вектору поляризации, $\omega _{k}$ - частота моды и $V$ это объем. порядка Квантовая корреляционная функция n-го определяется как:

$G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\mathrm {Tr} [{\hat {\rho }}{\hat {E}}^{-}(x_{1})...{\hat {E}}^{-}(x_{n}){\hat {E}}^{+}(x_{n+1})...{\hat {E}}^{+}(x_{2n})]$.

Порядок ${\hat {E}}^{+}$ и ${\hat {E}}^{-}$ операторы имеют значение. Это происходит потому, что положительная и отрицательная частота ( ${\hat {E}}^{+}$ и ${\hat {E}}^{-}$) компоненты пропорциональны операторам уничтожения и создания соответственно, и ${\hat {a}}$ и ${\hat {a}}^{\dagger }$ не ездите на работу. Когда операторы записаны в порядке, показанном в приведенном выше уравнении, говорят, что они находятся в нормальном порядке. Впоследствии нормализованная корреляционная функция n- го порядка определяется как:

$g^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})={\frac {G^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})}{G^{(1)}(x_{1},x_{1})...G^{(1)}(x_{n},x_{n})}}$

Поле называется когерентным m -го порядка, если нормированная корреляционная функция m- го порядка равна единице. Это определение справедливо для обоих $\gamma ^{(m)}$ и $g^{(m)}$.

Примеры

Эксперимент Хэнбери Брауна и Твисса

Основная статья: Хэнбери Браун и эффект Твисса

Рисунок 2. Схематическая диаграмма установки для оригинального эксперимента Хэнбери Брауна и Твисса.

В эксперименте Хэнбери Брауна и Твисса (рис. 2) световой луч разделяется с помощью светоделителя, а затем детектируется детекторами, расположенными на равном расстоянии от светоделителя. В дальнейшем сигнал, измеряемый вторым детектором, задерживается на время $\tau$ и подсчитывается степень совпадения между исходным и задержанным сигналом. Этот эксперимент коррелирует интенсивности, $|E^{+}(\mathbf {r} ,t+\tau )E^{+}(\mathbf {r} ,t)|^{2}$, а не электрические поля и, следовательно, измеряет корреляционную функцию второго порядка

$G_{c}^{(2)}(t,t+\tau ,t+\tau ,t)=\langle E^{-}(t)E^{-}(t+\tau )E^{+}(t+\tau )E^{+}(t)\rangle$.

В предположении стационарной статистики в данной позиции нормированная корреляционная функция равна

$g^{(2)}={\frac {\langle {\hat {E}}^{-}(0){\hat {E}}^{-}(\tau ){\hat {E}}^{+}(\tau ){\hat {E}}^{+}(0)\rangle }{\langle {\hat {E}}^{-}(0){\hat {E}}^{+}(0)\rangle \langle {\hat {E}}^{-}(\tau ){\hat {E}}^{+}(\tau )\rangle }}$

$g^{(2)}$ здесь измеряется вероятность совпадения двух фотонов, обнаруженных с разницей во времени $\tau$.

Для всех разновидностей хаотического света имеет место следующая связь между когерентностями первого и второго порядка:

$g^{(2)}(\tau )=1+|g^{(1)}(\tau )|^{2}$.

Это соотношение справедливо как для классических, так и для квантовых корреляционных функций. Более того, как $|g^{(1)}(\tau )|$ всегда принимает значение от 0 до 1 для хаотического светового луча, $1\leq g^{(2)}\leq 2$. Источником света, который использовали Хэнбери Браун и Твисс, был хаотичный звездный свет. Хэнбери Браун и Твисс использовали этот результат для вычисления когерентности первого порядка на основе измерения когерентности второго порядка. Наблюдаемая кривая когерентности второго порядка имела вид, показанный на рисунке 2.

Для гауссовского источника света $g^{(1)}=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {\pi }{2}}({\frac {\tau }{\tau _{0}}})^{2}}$. Часто источник гауссовского света хаотичен и, следовательно,

Рисунок 3. Когерентность второго порядка звездного света, измеренная в эксперименте Хэнбери Брауна и Твисса, в зависимости от временной задержки, вносимой между сигналами. $\tau /\tau _{0}$, где $\tau _{0}$ длина когерентности.

$g^{(2)}(\tau )=1+e^{-{\frac {\pi }{2}}({\frac {\tau }{\tau _{0}}})^{2}}$.

Эта модель соответствует наблюдению, сделанному Хэнбери Брауном и Твиссом с использованием звездного света, как показано на рисунке 3. Если бы вместо звездного света в той же установке использовался тепловой свет, то мы бы увидели другую функцию для когерентности второго порядка. Тепловой свет можно смоделировать как лоренцев спектр мощности, сосредоточенный вокруг частоты. $\omega _{0}$, что означает $\langle E^{*}(0)E(\tau )\rangle =E_{0}^{2}e^{-|\tau |/\tau _{0}}$, где $\tau _{0}$ – длина когерентности луча. Соответственно, $g^{(1)}=e^{-i\omega _{0}\tau -|\tau |/\tau _{0}}$ и $g^{(2)}(\tau )=1+e^{-2|\tau |/\tau _{0}}$. Когерентность второго порядка для звездного (гауссова), теплового (лоренцева) и когерентного света показана на рисунке 4. Обратите внимание, что когда луч звездного/теплового света является когерентным первого порядка, т.е. $g^{(1)}(0)=1$когерентность второго порядка равна 2, что означает, что при нулевой временной задержке хаотический свет справа является когерентным первого порядка, но не когерентным второго порядка.

Квантовое описание

Классически мы можем думать о луче света как о распределении вероятностей, зависящем от амплитуд мод: $P(\{\alpha _{k}\})$ и в этом случае корреляционная функция второго порядка

$G^{(2)}(\tau ,0)=\langle E^{-}(\tau )E^{+}(\tau )E^{-}(0)E^{+}(0)\rangle \int P(\{\alpha _{k}\})E^{*}(\tau )E(\tau )E^{*}(0)E(0)d\{\alpha _{k}\}$.

Если предположить, что квантовое состояние установки

$\rho =\int d\{\alpha _{k}\}P(\{\alpha _{k}\})|\{\alpha _{k}\}\rangle \langle \{\alpha _{k}\}|$,

тогда квантовомеханическая корреляционная функция,

$G^{(2)}(\tau ,0)=Tr[\rho {\hat {E}}^{-}(\tau ){\hat {E}}^{+}(\tau ){\hat {E}}^{-}(0){\hat {E}}^{+}(0)]=\int P(\{\alpha _{k}\})E^{*}(\tau )E(\tau )E^{*}(0)E(0)d\{\alpha _{k}\}$,

что совпадает с классическим результатом.

Рисунок 4. Когерентность второго порядка для теплового, звездного и когерентного света как функция временной задержки. $\tau _{0}$ – длина когерентности светового луча.

Как и в случае с экспериментом Юнга с двумя щелями, классическое и квантовое описания приводят к одному и тому же результату, но это не означает, что два описания эквивалентны. Классически лучи света приходят в виде электромагнитной волны и интерферируют по принципу суперпозиции. Квантовое описание не так просто. Чтобы понять тонкости квантового описания, предположим, что фотоны из источника испускаются независимо друг от друга в источнике и что фотоны не расщепляются светоделителем. Когда интенсивность источника установлена ​​очень низкой, так что в любой момент времени может быть обнаружен только один фотон, учитывая тот факт, что могут быть случайные совпадения, статистически независимые от времени, счетчик совпадений не должен меняться с изменением учитывая разницу во времени. Однако, как показано на рисунке 3, для звездного света $g^{(2)}(\tau )=1+e^{-2|\tau |/\tau _{0}}$, поэтому без каких-либо задержек $g^{(2)}(0)=2$ и с большой задержкой по времени $\lim _{\tau \rightarrow \infty }g^{(2)}(\tau )=1$. Следовательно, даже когда задержки не было, фотоны от источника приходили парами! Этот эффект называется группировкой фотонов. Более того, если бы вместо хаотического света в источнике использовался лазерный свет, то когерентность второго порядка не зависела бы от временной задержки. Эксперимент HBT позволяет провести фундаментальное различие в способе излучения фотонов из лазера по сравнению с естественным источником света. Такое различие не отражено в классическом описании интерференции волн.

Математические свойства

Для целей стандартных оптических экспериментов когерентность — это просто когерентность первого порядка, а когерентность более высокого порядка обычно игнорируется. Когерентность более высокого порядка измеряется в экспериментах по подсчету совпадений фотонов. Корреляционная интерферометрия использует когерентности четвертого порядка и выше для выполнения звездных измерений. Мы можем подумать о $G^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})$ как средняя частота совпадений обнаружения $n$ фотоны в $x_{1},...,x_{n}$ позиции. Физически эти скорости всегда положительны и, следовательно, $G^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})\geq 0$.

m- го порядка когерентные поля

Поле называется когерентным m- го порядка, если существует функция $E(x)$ такие, что все корреляционные функции для $n<m$ факторизовать. Условно это означает

$G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\prod \limits _{j=1}^{n}E^{*}(j)E^{*}(j+1)$

Эта факторизуемость всех $n<m$ корреляционные функции подразумевают, что $|G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})|^{2}=\prod \limits _{j=1}^{2n}G^{(1)}(x_{j},x_{j})$. Как $g^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})$ было определено как ${\frac {G^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})}{\prod \limits _{j=1}^{n}G^{(1)}(x_{j},x_{j})}}$, отсюда следует, что $|g^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})|=1$ для $n<m$, если поле m -когерентно. Для m -когерентного поля $m$ Обнаруженные фотоны будут обнаружены статистически независимо друг от друга.

Верхние границы

Учитывая верхнюю границу количества фотонов, которые могут присутствовать в поле, существует верхняя граница M -й когерентности, которую может иметь поле. Это потому, что ${\hat {E}}^{+}$ пропорционален оператору уничтожения. Чтобы убедиться в этом, начните со смешанного состояния поля. $\sum \limits _{n,m}c_{n,m}|n\rangle \langle m|$. Если эта сумма имеет верхний предел по n , m т.е. $M>n,m$, $\mathrm {Tr} [\rho {\hat {E}}^{+}(x_{1})...{\hat {E}}^{+}(x_{p})]$ пропорционально

$\mathrm {Tr} [\sum \limits _{n,m}c_{n,m}{\hat {a}}...({\text{p times}})...{\hat {a}}|n\rangle \langle m|]=\sum \limits _{n,m}c_{n,m}\langle m|{\hat {a}}...({\text{p times}})...{\hat {a}}|n\rangle =0$

для $p>m$. Этот результат был бы неинтуитивным в классическом описании, но, к счастью, такой случай не имеет классического аналога, поскольку мы не можем установить верхнюю границу числа фотонов в классическом случае.

Стационарность статистики

Имея дело с классической оптикой, физики часто исходят из предположения, что статистика системы стационарна. Это означает, что, хотя наблюдения могут колебаться, основная статистика системы остается постоянной с течением времени. Квантовый аналог стационарной статистики состоит в том, чтобы потребовать, чтобы оператор плотности, содержащий информацию о волновой функции, коммутировал с гамильтонианом. Благодаря уравнению Шрёдингера ${\frac {d\rho }{dt}}={\frac {-i}{h}}[H,\rho ]$Стационарная статистика подразумевает, что оператор плотности не зависит от времени. Следовательно, в $G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})$, благодаря цикличности следа, мы можем преобразовать временную независимость оператора плотности в картине Шредингера к временной независимости ${\hat {E}}^{+}$ и ${\hat {E}}^{-}$, на картинке Гейзенберга, дающей нам

$G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\mathrm {Tr} [{\hat {\rho }}{\hat {E}}^{-}(x_{1},t)....{\hat {E}}^{-}(x_{n},t){\hat {E}}^{+}(x_{n+1},t)...{\hat {E}}^{+}(x_{2n,t})]$ $=\mathrm {Tr} [{\hat {\rho }}{\hat {E}}^{-}(x_{1},t+\tau )....{\hat {E}}^{-}(x_{n},t+\tau ){\hat {E}}^{+}(x_{n+1},t+\tau )...{\hat {E}}^{+}(x_{2n},t+\tau )]$.

Это означает, что в предположении, что основная статистика системы стационарна, корреляционные функции n- го порядка не изменяются, когда каждый раз аргумент преобразуется на одну и ту же величину. Другими словами, вместо того, чтобы рассматривать фактическое время, корреляционная функция касается только $2n-1$ разницы во времени.

Когерентные состояния

Когерентное состояние — это квантовомеханические состояния, которые обладают максимальной когерентностью и имеют наиболее «классическое» поведение. Когерентное состояние определяется как квантовомеханическое состояние, которое является собственным состоянием оператора электрического поля. ${\hat {E}}^{+}$. Как ${\hat {E}}^{+}$ прямо пропорционально оператору уничтожения, когерентное состояние является собственным состоянием оператора уничтожения. Учитывая когерентное состояние $|\alpha \rangle$,

$G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\mathrm {Tr} [\sum \limits _{n,m}c_{n,m}{\hat {a}}...{\hat {a}}|\alpha \rangle \langle \alpha |]=\langle \alpha |{\hat {a}}...({\text{p times}})...{\hat {a}}|\alpha \rangle =1$.

Следовательно, когерентные состояния имеют все порядки когерентности, отличные от нуля.