Теорема Акса – Кохена

Теорема Экса-Кохена , названная в честь Джеймса Экса и Саймона Б. Кохена , утверждает, что для каждого положительного целого числа d существует конечное множество Y _d простых чисел, такое, что если p — любое простое число, не входящее в Y _d, то каждый однородный многочлен от степень d по p-адическим числам по крайней мере d ² + 1 переменная имеет нетривиальный ноль. ^[1]

Доказательство теоремы [ править ]

В доказательстве теоремы широко используются методы математической логики , например теории моделей .

Сначала доказывается теорема Сержа Ланга , утверждающая, что аналогичная теорема верна для поля F _p (( t )) формальных рядов Лорана над конечным полем F _p с $Y_{d}=\varnothing$ . Другими словами, каждый однородный полином степени d, имеющий более d ² переменных имеет нетривиальный нуль (поэтому F _p (( t )) является C ₂ полем ).

Затем показано, что если два поля с гензелевыми значениями имеют эквивалентные группы нормирования и поля вычетов, а поля вычетов имеют характеристику 0, то они элементарно эквивалентны (что означает, что предложение первого порядка истинно для одного тогда и только тогда, когда оно истинно для другой).

Затем это применимо к двум полям: одно задается ультрапроизведением по всем простым числам полей F _p (( t )) и другое задается ультрапроизведением по всем простым числам p -адических полей Q _p .Оба поля вычетов задаются ультрапроизведением над полями F _p , поэтому они изоморфны и имеют характеристику 0, а обе группы значений одинаковы, поэтому ультрапроизведения элементарно эквивалентны. (Ультрапродукты используются для того, чтобы поле вычетов имело характеристику 0; поля вычетов F _p (( t ))и Q _p оба имеют ненулевую характеристику p .)

Элементарная эквивалентность этих ультрапроизведений означает, что для любого предложения на языке значащих полей существует конечное множество Y исключительных простых чисел, такое, что для любого p, не входящего в это множество, предложение истинно для F _p (( t )), если и только если это верно для поля p -адических чисел. Применяя это к предложению о том, что каждый непостоянный однородный полином степени d по крайней мере в d ²Переменные +1 представляют собой 0, и, используя теорему Ланга, можно получить теорему Экса – Кохена.

Альтернативное доказательство [ править ]

Ян Денеф нашел чисто геометрическое доказательство гипотезы Жана-Луи Кольо-Телена, обобщающей теорему Экса – Кохена. ^[2]^[3]

Исключительные простые числа [ править ]

Эмиль Артин выдвинул гипотезу об этой теореме, исходя из того, что конечное исключительное множество Y _d пусто (т. е. все p -адические поля суть C ₂ ), но Гай Терджанян ^[4] нашел следующий 2-адический контрпример для d = 4. Определим

G(x)=G(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum x_{i}^{4}-\sum _{i\,<\,j}x_{i}^{2}x_{j}^{2}-x_{1}x_{2}x_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3}).

Тогда G обладает тем свойством, что он равен 1 по модулю 4, если какой-то x нечетен, и 0 по модулю 16 в противном случае. Отсюда легко следует, что однородная форма

г ( Икс ) + г ( у ) + г ( z ) + 4 г ( ты ) + 4 г ( v ) + 4 г ( ш )

степени d = 4 в 18 > d ² переменные не имеют нетривиальных нулей над 2-адическими целыми числами.

Позже Терджанян ^[5] показал, что для каждого простого числа p и кратного d > 2 числа p ( p − 1) существует форма над p -адическими числами степени d с более чем d ² переменные, но нет нетривиальных нулей. Другими словами, для всех d > 2 Y _d содержит все простые числа p такие, что p ( p − 1) делит d .

Браун (1978) дал явную, но очень широкую оценку для исключительного набора простых чисел p . Если степень d равна 1, 2 или 3, исключительное множество пусто. Хит-Браун (2010) показал, что если d = 5 исключительное множество ограничено 13, а Вули (2008) показал, что при d = 7 исключительное множество ограничено 883, а при d = 11 оно ограничено 8053.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Джеймс Акс и Саймон Кохен, Диофантовы проблемы над локальными полями I. , Американский журнал математики, 87 , страницы 605–630, (1965)
^ Денеф, Ян. «Доказательство гипотезы Кольо-Телена» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 11 апреля 2017 года.
^ Денеф, Ян (2016), Геометрические доказательства теорем Акса – Кохена и Эрсова , arXiv : 1601.03607 , Bibcode : 2016arXiv160103607D
^ Терджанян, Гай (1966). «Контрпример к гипотезе Артина». Доклады Академии наук, серия АВ (на французском языке). 262 : А612. Збл 0133.29705 .
^ Гай Терджанян, Анизотропные формы p -adiques. (На французском языке) Журнал чистой и прикладной математики, 313 (1980), страницы 217–220.

Ссылки [ править ]

Браун, Скотт Шори (1978), «Границы принципов переноса для алгебраически замкнутых и полных дискретнозначных полей» , Мемуары Американского математического общества , 15 (204), doi : 10.1090/memo/0204 , ISBN 978-0-8218-2204-3 , ISSN 0065-9266 , МР 0494980
Чанг, CC ; Кейслер, Х. Джером (1989). Теория моделей (третье изд.). Эльзевир . ISBN 978-0-7204-0692-4 . (Следствие 5.4.19)
Хит-Браун, Д.Р. (2010), «Нули p-адических форм», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 100 (2): 560–584, arXiv : 0805.0534 , doi : 10.1112/plms/pdp043 , ISSN 0024-6115 , МР 2595750 , С2КИД 6594042
Вули, Тревор Д. (2008), «Гипотеза Артина о септических и унидетических формах», Acta Arithmetica , 133 (1): 25–35, Бибкод : 2008AcAri.133...25W , doi : 10.4064/aa133-1-2 , ISSN 0065-1036 , МР 2413363

[1] Джеймс Акс и Саймон Кохен, Диофантовы проблемы над локальными полями I. , Американский журнал математики, 87 , страницы 605–630, (1965)

[2] Денеф, Ян. «Доказательство гипотезы Кольо-Телена» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 11 апреля 2017 года.

[3] Денеф, Ян (2016), Геометрические доказательства теорем Акса – Кохена и Эрсова , arXiv : 1601.03607 , Bibcode : 2016arXiv160103607D

[4] Терджанян, Гай (1966). «Контрпример к гипотезе Артина». Доклады Академии наук, серия АВ (на французском языке). 262 : А612. Збл 0133.29705 .

[5] Гай Терджанян, Анизотропные формы p -adiques. (На французском языке) Журнал чистой и прикладной математики, 313 (1980), страницы 217–220.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]