Модель Ван Хиле

В математическом образовании модель Ван Хиле представляет собой теорию, описывающую, как учащиеся изучают геометрию . Теория зародилась в 1957 году в докторских диссертациях Дины ван Хиле-Гелдоф и Пьера ван Хиле (жены и мужа) в Утрехтском университете , в Нидерландах . Советы провели исследование этой теории в 1960-х годах и включили свои открытия в свои учебные программы. Американские исследователи провели несколько крупных исследований теории Ван Хиле в конце 1970-х и начале 1980-х годов, придя к выводу, что низкий уровень знаний Ван Хиле у студентов затрудняет достижение успеха на курсах геометрии, ориентированных на доказательства , и порекомендовали улучшить подготовку в более ранних классах. Пьер ван Хиле опубликовал «Структуру и понимание» в 1986 году, дополнительно описав свою теорию. Модель оказала большое влияние на учебные программы по геометрии во всем мире благодаря акценту на анализе свойств и классификации форм в младших классах. В Соединенных Штатах эта теория повлияла на геометрическую часть Стандартов, опубликованных Национальным советом учителей математики , и на Общие основные стандарты .

Уровни Ван Хиле

Учащийся заучивается наизусть оперировать [математическими] отношениями, которых он не понимает и происхождения которых он не видит… Поэтому система отношений представляет собой самостоятельную конструкцию, не имеющую связи с другими переживаниями ребенка. Это означает, что ученик знает только то, чему его научили и что из этого выведено. Он не научился устанавливать связи между системой и чувственным миром. Он не будет знать, как применить полученные знания в новой ситуации. - Пьер ван Хиле, 1959 г.

Самая известная часть модели Ван Хиле — это пять уровней, которые Ван Хилес постулировал для описания того, как дети учатся рассуждать в геометрии. Нельзя ожидать, что студенты смогут доказать геометрические теоремы, пока они не приобретут обширное понимание систем взаимосвязей между геометрическими идеями. Эти системы нельзя выучить наизусть, их необходимо развивать посредством знакомства, переживая многочисленные примеры и контрпримеры, различные свойства геометрических фигур, отношения между свойствами и то, как эти свойства упорядочены. Пять уровней, постулированные ван Хилесом, описывают, как студенты продвигаются к этому пониманию.

Пять уровней Ван Хиле иногда неправильно понимают как описание того, как учащиеся понимают классификацию форм, но на самом деле эти уровни описывают то, как учащиеся рассуждают о формах и других геометрических идеях. Пьер ван Хиле заметил, что его ученики имеют тенденцию к «плато» в определенных точках своего понимания геометрии, и определил эти точки плато как уровни . В общем, эти уровни являются продуктом опыта и обучения, а не возраста. Это контрастирует с Пиаже теорией когнитивного развития , которая зависит от возраста. Ребенок должен иметь достаточный опыт (в классе или где-то еще) с этими геометрическими идеями, чтобы перейти на более высокий уровень сложности. Благодаря богатому опыту дети могут достичь 2-го уровня в начальной школе. Не имея такого опыта, многие взрослые (включая учителей) остаются на уровне 1 всю свою жизнь, даже если они проходят формальный курс геометрии в средней школе. Уровни следующие:

Дети на уровне 0 часто говорят, что все эти фигуры — треугольники, кроме буквы E, которая слишком «тонкая». Они могут сказать, что F «перевернуто». Учащиеся уровня 1 поймут, что только E и F являются правильными треугольниками.

Уровень 0. Визуализация : на этом уровне внимание ребенка сосредоточено на отдельных формах, которые ребенок учится классифицировать, оценивая их целостный вид. Дети просто говорят: «Это круг», обычно без дальнейшего описания. Дети определяют прототипы основных геометрических фигур ( треугольник , круг , квадрат ). Эти визуальные прототипы затем используются для идентификации других форм. Форма — это круг, потому что она похожа на солнце; форма — это прямоугольник, потому что она похожа на дверь или коробку; и так далее. Квадрат кажется формой, отличной от прямоугольника, а ромб не похож на другие параллелограммы, поэтому в сознании ребенка эти фигуры классифицируются совершенно отдельно. Дети рассматривают фигуры целостно, не анализируя их свойств. Если форма недостаточно похожа на свой прототип, ребенок может отказаться от классификации. Таким образом, дети на этом этапе могут отказаться называть тонкий клиновидный треугольник (со сторонами 1, 20, 20 или 20, 20, 39) «треугольником», потому что по форме он сильно отличается от треугольника. равносторонний треугольник , который является обычным прототипом «треугольника». Если горизонтальное основание треугольника находится сверху, а противоположная вершина внизу, ребенок может признать его треугольником, но заявить, что он «перевернут». Формы с закругленными или неполными сторонами могут быть приняты как «треугольники», если они имеют целостное сходство с равносторонним треугольником. Квадраты называются «ромбами» и не признаются квадратами, если их стороны ориентированы под углом 45° к горизонтали. Дети на этом уровне часто верят, что что-то верно, основываясь на одном-единственном примере.

Уровень 1. Анализ : на этом уровне формы становятся носителями своих свойств. Объектами мышления являются классы форм, которые ребенок научился анализировать как обладающие свойствами. Человек на этом уровне может сказать: «У квадрата 4 равные стороны и 4 равных угла. Его диагонали равны и перпендикулярны и делят друг друга пополам». Свойства важнее внешнего вида формы. Если на доске нарисована фигура и учитель утверждает, что у нее должны быть равные стороны и углы, ученики признают, что это квадрат, даже если он плохо нарисован. Недвижимость на этом уровне еще не заказана. Дети могут обсуждать свойства основных фигур и узнавать их по этим свойствам, но, как правило, не допускают совпадения категорий, поскольку каждое свойство они понимают изолированно от других. Например, они по-прежнему будут настаивать на том, что « квадрат — это не прямоугольник ». (Они могут вводить посторонние свойства для поддержки таких убеждений, например, определять прямоугольник как фигуру, у которой одна пара сторон длиннее, чем другая пара сторон.) Дети начинают замечать многие свойства фигур, но не видят взаимосвязей между ними. характеристики; поэтому они не могут свести список свойств к краткому определению с необходимыми и достаточными условиями. Обычно они рассуждают индуктивно на нескольких примерах, но не могут еще рассуждать дедуктивно , потому что не понимают, как связаны свойства фигур.

Уровень 2. Абстракция . На этом уровне свойства упорядочены. Объектами мышления являются геометрические свойства, которые ученик научился связывать дедуктивным путем. Учащийся понимает, что свойства взаимосвязаны и один набор свойств может подразумевать другое свойство. Учащиеся могут рассуждать, используя простые аргументы о геометрических фигурах. Учащийся этого уровня может сказать: « Равнобедренные треугольники симметричны, поэтому их углы при основании должны быть равны». Учащиеся узнают взаимосвязи между типами фигур. Они признают, что все квадраты являются прямоугольниками, но не все прямоугольники являются квадратами, и понимают, почему квадраты являются разновидностью прямоугольников, основываясь на понимании свойств каждого из них. Они могут сказать, возможно или нет, чтобы прямоугольник был, например, ромбом. Они понимают необходимые и достаточные условия и могут писать краткие определения. Однако они еще не понимают внутреннего смысла дедукции. Они не могут следовать сложной аргументации, понять место определений или осознать необходимость аксиом, поэтому они еще не могут понять роль формальных геометрических доказательств.

Уровень 3. Дедукция : учащиеся на этом уровне понимают значение дедукции. Объектом размышлений являются дедуктивные рассуждения (простые доказательства), которые ученик учится объединять в систему формальных доказательств ( евклидова геометрия ). Учащиеся могут строить геометрические доказательства на уровне средней школы и понимать их смысл. Они понимают роль неопределенных терминов, определений, аксиом и теорем в евклидовой геометрии. Однако студенты на этом уровне полагают, что аксиомы и определения фиксированы, а не произвольны, поэтому они еще не могут представить себе неевклидову геометрию . Геометрические идеи до сих пор понимаются как объекты на евклидовой плоскости.

Уровень 4. Строгость : на этом уровне геометрия понимается на уровне математика. Студенты понимают, что определения произвольны и не обязательно относятся к какой-либо конкретной реализации. Объектом мышления являются дедуктивные геометрические системы, для которых обучающийся сравнивает аксиоматические системы . Учащиеся могут с пониманием изучать неевклидову геометрию . Люди могут понять дисциплину геометрии и то, чем она философски отличается от нематематических исследований.

Американские исследователи изменили нумерацию уровней с 1 на 5, чтобы добавить «Уровень 0», который описывал маленьких детей, которые вообще не могли распознавать формы. Обе системы нумерации используются до сих пор. Некоторые исследователи также дают разные названия уровням.

Свойства уровней

Уровни Ван Хиле имеют пять свойств:

1. Фиксированная последовательность : уровни иерархичны. Студенты не могут «пропустить» уровень. Ван Хилес утверждают, что большая часть трудностей, с которыми сталкиваются студенты-геометристы, связана с обучением на уровне дедукции, когда они еще не достигли уровня абстракции.

2. Смежность : свойства, присущие на одном уровне, становятся внешними на следующем. (Свойства присутствуют на уровне визуализации, но учащийся еще не осознает их до уровня анализа. Свойства на самом деле связаны на уровне анализа, но учащиеся еще не осознают взаимосвязей явно.)

3. Различие : каждый уровень имеет свои языковые символы и сеть связей. Значение лингвистического символа — это нечто большее, чем его явное определение; он включает в себя переживания, которые говорящий связывает с данным символом. То, что может быть «правильным» на одном уровне, не обязательно будет правильным на другом уровне. На уровне 0 квадрат — это что-то похожее на коробку. На уровне 2 квадрат представляет собой особый тип прямоугольника. Ни один из этих вариантов не является правильным описанием значения слова «квадрат» для человека, рассуждающего на Уровне 1. Если учащемуся просто вручают определение и связанные с ним свойства, не позволяя развить значимый опыт работы с этим понятием, он не будет уметь применять эти знания за пределами ситуаций, используемых на уроке.

4. Разделение : учитель, рассуждающий на одном уровне, говорит на другом «языке» ученика на более низком уровне, препятствуя пониманию. Когда учитель говорит о «квадрате», он имеет в виду особый тип прямоугольника. Учащийся уровня 0 или 1 не будет одинаково понимать этот термин. Ученик не понимает учителя, а учитель не понимает, как рассуждает ученик, часто делая вывод, что ответы ученика просто «неправильные». Ван Хилес считали, что это свойство было одной из основных причин неудач в геометрии. Учителя считают, что они выражают свои мысли ясно и логично, но их рассуждения на уровне 3 или 4 непонятны учащимся на более низких уровнях, а учителя не понимают мыслительные процессы своих учеников. В идеале учителю и ученикам нужен общий опыт, связанный с изучением языка.

5. Достижение : Ван Хилес рекомендовал пять этапов перевода студентов с одного уровня на другой по заданной теме:

• Информация или запрос : студенты знакомятся с материалом и начинают раскрывать его структуру. Учителя представляют новую идею и позволяют ученикам работать с новой концепцией. Если учащиеся почувствуют структуру новой концепции аналогичным образом, они смогут вести о ней содержательные беседы. (Учитель может сказать: «Это ромб. Нарисуйте на бумаге еще несколько ромбов».)
• Направляемая или направленная ориентация : учащиеся выполняют задания, которые позволяют им исследовать неявные отношения. Учителя предлагают мероприятия довольно управляемого характера, которые позволяют учащимся ознакомиться со свойствами новой концепции, которую учитель хочет, чтобы они усвоили. (Учитель может спросить: «Что произойдет, если вы вырежете и сложите ромб по диагонали? по другой диагонали?» и так далее, после чего следует обсуждение.)
• Объяснение : учащиеся выражают то, что они обнаружили, и вводится словарный запас. Опыт учащихся связан с общими языковыми символами. Ван Хилес считают, что учить словарный запас выгоднее после того, как у студентов будет возможность ознакомиться с этой концепцией. Открытия сделаны максимально откровенными. (Учитель может сказать: «Вот свойства, которые мы заметили, и некоторая связанная с ними лексика для вещей, которые вы открыли. Давайте обсудим, что они означают».)
• Свободная ориентация : учащиеся выполняют более сложные задания, что позволяет им освоить сеть связей в материале. Они знают изучаемые свойства, но им необходимо развивать беглость навигации в сети взаимоотношений в различных ситуациях. Этот вид деятельности гораздо более открыт, чем управляемая ориентация. Эти задачи не будут иметь установленных процедур их решения. Проблемы могут быть более сложными и требовать более свободного изучения для поиска решений. (Учитель может сказать: «Как можно построить ромб, если у него только две стороны?» и другие задачи, для решения которых ученики не усвоили фиксированную процедуру.)
• Интеграция : учащиеся суммируют то, что они узнали, и запоминают. Учитель может дать учащимся обзор всего, что они узнали. Важно, чтобы на этом этапе учитель не представлял никакого нового материала, а только кратко излагал то, что уже было изучено. Учитель также может дать задание запомнить изученные принципы и словарный запас для будущей работы, возможно, с помощью дополнительных упражнений. (Учитель может сказать: «Вот краткое изложение того, что мы узнали. Запишите это в свою тетрадь и выполните эти упражнения в качестве домашнего задания».) Сторонники модели ван Хиле отмечают, что традиционное обучение часто включает только этот последний этап, который объясняет, почему студенты не усваивают материал.

Для докторской диссертации Дина ван Хиле-Гелдоф провела обучающий эксперимент с 12-летними детьми в средней школе Монтессори в Нидерландах. Она сообщила, что, используя этот метод, ей удалось повысить уровень учащихся с уровня 0 до уровня 1 за 20 уроков и с уровня 1 до уровня 2 за 50 уроков.

Исследовать

Используя уровни Ван Хиле в качестве критерия, почти половина студентов-геометристов попадают на курс, на котором их шансы на успех составляют всего 50 на 50. — Залман Усыскин, 1982 г.

Исследователи обнаружили, что уровень Ван Хиле у американских студентов низкий. Европейские исследователи обнаружили аналогичные результаты для европейских студентов. Многие, а возможно, и большинство американских студентов не достигают уровня дедукции даже после успешного завершения школьного курса геометрии, ориентированного на доказательства. вероятно, потому, что материал заучивается наизусть, как утверждали ван Хилес. По-видимому, это связано с тем, что американские курсы геометрии для средней школы предполагают, что учащиеся уже достигли как минимум уровня 2 и готовы перейти на уровень 3, тогда как многие старшеклассники все еще находятся на уровне 1 или даже уровне 0. См. свойство «Фиксированная последовательность» выше.

Критика и модификации теории

Уровни прерывисты, как определено в свойствах выше, но исследователи спорят о том, насколько дискретны эти уровни на самом деле. Исследования показали, что многие дети рассуждают на нескольких уровнях или промежуточных уровнях, что противоречит теории. Дети также продвигаются по уровням с разной скоростью для разных концепций, в зависимости от их знакомства с предметом. Поэтому они могут рассуждать на одном уровне об определенных формах, но на другом уровне о других формах.

Некоторые исследователи обнаружили, что многие дети на уровне визуализации не рассуждают полностью целостно, а могут сосредоточиться на одном атрибуте, например, на равных сторонах квадрата или округлости круга. Они предложили переименовать этот уровень в синкретический уровень. Были предложены и другие модификации, например, определение подуровней между основными уровнями, хотя ни одна из этих модификаций еще не завоевала популярность.

Дальнейшее чтение

• Уровни геометрического понимания Ван Хиле, Маргерит Мейсон
• Развитие понимания геометрических фигур у маленьких детей Мэри Энн Ганнибал

Внешние ссылки

• Уровни геометрического понимания Ван Хиле — PDF-файл с часто задаваемыми вопросами о модели Ван Хиле с библиографией
• Связь теории Ван Хиле с обучением — занятия, основанные на теории Ван Хиле.
• Развитие пространственного и геометрического мышления: важность обучения.
• Уровни Ван Хиле и достижения по геометрии в средней школе - большое исследование в Чикаго, 1982 г., анализирующее модель Ван Хиле и ее значение для понимания достижений американских старшеклассников по геометрии.
• Основы геометрии K – 12 — Презентация PowerPoint
• Модель геометрического мышления Ван Хиле. Краткое изложение основных аспектов модели Ван Хиле.
• Международная конференция «Теория Ван Хиле в математическом образовании», Хорватия. Организаторы: Задарский университет, Департамент подготовки учителей и HUNI - Hrvatska udruga nastavnika istraživača (Хорватская ассоциация педагогов-исследователей). Профессиональные лекции и семинары включали тематические материалы об аспектах исследования действий, аспектах уровней теории Ван Хиле в функциях и тестовых предложениях для использования в хорватской государственной школе.