Модель Пламмера

Модель Пламмера или сфера Пламмера представляет собой закон плотности, который впервые был использован Х.К. Пламмером для соответствия наблюдениям шаровых скоплений . Сейчас его часто используют в качестве игрушечной модели при N-телами моделировании звездных систем .

Описание модели

Закон плотности модели Пламмера

Трехмерный профиль плотности Пламмера определяется выражением $$\rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{5}/{2}},$$ где $M_{0}$ — общая масса скопления, а — радиус Пламмера , масштабный параметр, определяющий размер ядра скопления. Соответствующий потенциал $$\Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},$$ где G — Ньютона постоянная гравитационная . Дисперсия скорости $$\sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}}.$$

Изотропная функция распределения имеет вид $$f({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {24{\sqrt {2}}}{7\pi ^{3}}}{\frac {a^{2}}{G^{5}M_{0}^{4}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},$$ если $E<0$, и $f({\vec {x}},{\vec {v}})=0$ иначе, где ${\textstyle E({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)}$ это удельная энергия .

Характеристики

Масса, заключенная в радиусе $r$ дается $$M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.$$

Многие другие свойства модели Пламмера описаны в Хервига Дейонге . обширной статье

Радиус ядра $r_{c}$, где поверхностная плотность падает до половины своего центрального значения, находится на уровне ${\textstyle r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.64a}$.

полумассы Радиус $r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\approx 1.3a.$

Вириальный радиус $r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\approx 1.7a$.

Двумерная поверхностная плотность равна: $$\Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^{2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2}}}={\frac {M_{0}a^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}},$$ и, следовательно, двухмерный прогнозируемый профиль массы: $$M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a^{2}+R^{2}}}.$$

В астрономии удобно определять двумерный радиус полумассы, который представляет собой радиус, при котором двумерный проецируемый профиль массы составляет половину общей массы: $M(R_{1/2})=M_{0}/2$.

Для профиля Пламмера: $R_{1/2}=a$.

Скорость убегания в любой точке равна $$v_{\rm {esc}}(r)={\sqrt {-2\Phi (r)}}={\sqrt {12}}\,\sigma (r),$$

Для связанных орбит радиальные точки поворота орбиты характеризуются удельной энергией ${\textstyle E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)}$ и удельный угловой момент $L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|$ задаются положительными корнями кубического уравнения $$R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2}\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,$$ где $R={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}$, так что $r={\sqrt {R^{2}-a^{2}}}$. Это уравнение имеет три вещественных корня, $R$: два положительных и один отрицательный, учитывая, что $L<L_{c}(E)$, где $L_{c}(E)$ - удельный угловой момент для круговой орбиты при той же энергии. Здесь $L_{c}$ может быть вычислено из единственного действительного корня дискриминанта кубического уравнения , которое само по себе является другим кубическим уравнением $${\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\underline {L}}_{c}^{2}+\left(12{\underline {E}}^{3}{\underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\underline {L}}_{c}+\left(8{\underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline {a}}^{2}\right)=0,$$ где подчеркнутые параметры безразмерны в единицах Хенона, определяемых как ${\underline {E}}=Er_{V}/(GM_{0})$, ${\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V}}}$, и ${\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16$.

Приложения

Модель Пламмера наиболее близко подходит к представлению наблюдаемых профилей плотности звездных скоплений. , хотя быстрый спад плотности на больших радиусах ( $\rho \rightarrow r^{-5}$) не является хорошим описанием этих систем.

Поведение плотности вблизи центра не соответствует наблюдениям эллиптических галактик, которые обычно демонстрируют расходящуюся центральную плотность.

Легкость, с которой сфера Пламмера может быть реализована как модель Монте-Карло, сделала ее любимым выбором экспериментаторов с N телами , несмотря на недостаток реализма модели.