Мотивическая дзета-функция

В алгебраической геометрии мотивная дзета-функция гладкого алгебраического многообразия $X$ формальный степенной ряд :

$Z(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }[X^{(n)}]t^{n}$

Здесь $X^{(n)}$ это $n$-я симметричная степень $X$, то есть частное $X^{n}$ действием симметрической группы $S_{n}$, и $[X^{(n)}]$ это класс $X^{(n)}$ в кольце мотивов (см. ниже).

Если основное поле конечно и применить считающую меру к $Z(X,t)$, можно получить локальную дзета- функцию $X$.

Если основное поле представляет собой комплексные числа к и $Z(X,t)$, получается $1/(1-t)^{\chi (X)}$.

Мотивационные меры

Мотивная мера – это карта $\mu$ из множества схем конечного типа над полем $k$ к коммутативному кольцу $A$, удовлетворяющий трем свойствам

$\mu (X)\,$ зависит только от класса изоморфизма $X$,

$\mu (X)=\mu (Z)+\mu (X\setminus Z)$ если $Z$ представляет собой закрытую подсхему $X$,

$\mu (X_{1}\times X_{2})=\mu (X_{1})\mu (X_{2})$.

Например, если $k$ является конечным полем и $A={\mathbb {Z} }$ — кольцо целых чисел, то $\mu (X)=\#(X(k))$ определяет мотивационную меру, счетную меру .

Если основным полем являются комплексные числа, то эйлерова характеристика с компактными носителями определяет мотивирующую меру со значениями в целых числах.

Дзета-функция по мотивной мере $\mu$ является формальным степенным рядом в $A[[t]]$ данный

$Z_{\mu }(X,t)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (X^{(n)})t^{n}$.

Существует универсальная мотивационная мера . Он принимает значения в K-кольце многообразий, $A=K(V)$, которое представляет собой кольцо, порожденное символами $[X]$, для всех сортов $X$, с учетом отношений

$[X']=[X]\,$ если $X'$ и $X$ изоморфны,

$[X]=[Z]+[X\setminus Z]$ если $Z$ является закрытым подмногообразием $X$,

$[X_{1}\times X_{2}]=[X_{1}]\cdot [X_{2}]$.

Универсальная мотивная мера порождает мотивную дзета-функцию.

Примеры

Позволять $\mathbb {L} =[{\mathbb {A} }^{1}]$ обозначим класс аффинной прямой .

$Z({\mathbb {A} },t)={\frac {1}{1-{\mathbb {L} }t}}$

$Z({\mathbb {A} }^{n},t)={\frac {1}{1-{\mathbb {L} }^{n}t}}$

$Z({\mathbb {P} }^{n},t)=\prod _{i=0}^{n}{\frac {1}{1-{\mathbb {L} }^{i}t}}$

Если $X$ — гладкая проективная кривая рода неприводимая $g$ допускающий линейное расслоение степени 1, а мотивная мера принимает значения в поле, в котором ${\mathbb {L} }$ обратимо, то

$Z(X,t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-{\mathbb {L} }t)}}\,,$

где $P(t)$ является полиномом степени $2g$. Таким образом, в данном случае мотивная дзета-функция рациональна . В более высоком измерении мотивная дзета-функция не всегда рациональна.

Если $S$ — гладкая поверхность над алгебраически замкнутым полем характеристики $0$, то производящая функция по мотивам Гильберта схем $S$ может быть выражено через мотивную дзета-функцию по Гетше формуле

$\sum _{n=0}^{\infty }[S^{[n]}]t^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }Z(S,{\mathbb {L} }^{m-1}t^{m})$

Здесь $S^{[n]}$ представляет собой схему Гильберта длины $n$ подсхемы $S$. Для аффинной плоскости эта формула дает

$\sum _{n=0}^{\infty }[({\mathbb {A} }^{2})^{[n]}]t^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-{\mathbb {L} }^{m+1}t^{m}}}$

По сути, это функция распределения .