Бесконечный лапласиан

В математике бесконечность Лапласа (или $L^{\infty }$-Лапласа) — оператор частных дифференциальных операций 2-го порядка , обычно сокращенно обозначаемый $\Delta _{\infty }$. Альтернативно он определяется для функции $u:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$ переменных $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$, к

$\Delta _{\infty }u=\langle Du,D^{2}u\,Du\rangle =\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}$

или

$\Delta _{\infty }u={\frac {\langle Du,D^{2}u\,Du\rangle }{|Du|^{2}}}={\frac {1}{|Du|^{2}}}\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}},$

где $Du$ обозначает вектор градиента , $D^{2}u$ обозначает матрицу Гессе , а $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ обозначает евклидово скалярное произведение .Первая версия позволяет избежать сингулярности, возникающей при исчезновении градиента, а вторая версия является однородной нулевого порядка по градиенту. Условно второй вариант — это вторая производная по направлению градиента . В случае бесконечного уравнения Лапласа $\Delta _{\infty }u=0$, эти два определения эквивалентны.

Хотя в уравнение входят вторые производные, обычно (обобщенные) решения не являются дважды дифференцируемыми, о чем свидетельствует известное решение Аронссона. $u(x,y)=|x|^{4/3}-|y|^{4/3}$. По этой причине правильным понятием растворов является понятие вязкости растворов .

Вязкостные решения уравнения $\Delta _{\infty }u=0$ также известны как бесконечные гармонические функции . Эта терминология возникла из-за того, что бесконечный оператор Лапласа впервые возник при изучении абсолютных минимизаторов для $\|Du\|_{L^{\infty }}$, и его можно рассматривать в определенном смысле как предел p-лапласиана как $p\rightarrow \infty$. Совсем недавно вязкостные решения уравнения Лапласа на бесконечности были отождествлены с функциями выигрыша из в перетягивание каната рандомизированных игр . Точка зрения теории игр значительно улучшила понимание самого уравнения в частных производных .

Дискретная версия и теория игр

Определяющее свойство обычного $L^{2}$- гармонические функции – это свойство среднего значения . У этого есть естественная и важная дискретная версия: вещественная функция. $f$ на конечном или бесконечном графе $G(V,E)$ является дискретной гармоникой на подмножестве $U\subseteq V$ если

$f(x)={\frac {1}{\deg(x)}}\sum _{y\sim x}f(y)$

для всех $x\in U$. Аналогично, исчезающая вторая производная в направлении градиента имеет естественную дискретную версию:

$f(x)={\frac {\sup\{f(y):y\sim x\}+\inf\{f(y):y\sim x\}}{2}}$.

В этом уравнении мы использовали sup и inf вместо max и min, потому что график $G(V,E)$ не обязательно должен быть локально конечным (т. е. иметь конечные степени): ключевым примером является случай, когда $V(G)$ это набор точек в области в $\mathbb {R} ^{d}$, и $(x,y)\in E(G)$ если их евклидово расстояние не более $\epsilon$. Важность этого примера заключается в следующем.

Рассмотрим ограниченное открытое множество $D\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ с гладкой границей $\partial D$, и непрерывная функция $f:\partial D\longrightarrow \mathbb {R}$. В $L^{2}$-случай аппроксимация гармонического расширения f на D задается с помощью решетки $\mathbb {Z} _{\epsilon }^{d}$ с небольшим размером ячейки $\epsilon$, позволяя $G_{\epsilon }(V,E)=D\cap \mathbb {Z} _{\epsilon }^{d}$ и $\partial V\subset V$ — набор вершин со степенью меньше 2d , принимая естественное приближение $f_{\epsilon }:\partial V\longrightarrow \mathbb {R}$, а затем взяв уникальное дискретное гармоническое расширение $f_{\epsilon }$ к В. ​Однако на примерах легко убедиться, что это не работает для $L^{\infty }$-случай. Вместо этого, как оказывается, следует взять непрерывный граф со всеми ребрами длины не более $\epsilon$, упомянутый выше.

Теперь вероятностный взгляд на $L^{2}$-гармоническое продолжение $f_{\epsilon }$ от $\partial V$ к $V$ это что

$f_{\epsilon }(x)=\mathbb {E} {\big [}f_{\epsilon }(X_{\tau })\,|\,X_{0}=x{\big ]}$,

где $X_{0},X_{1},\dots$ это простое случайное блуждание по $G_{\epsilon }(V,E)$ началось в $X_{0}=x$, и $\tau$ это удара время $\partial V$.

Для $L^{\infty }$- В данном случае нам нужна теория игр . Токен запускается в местоположении $x\in V(G)$, и $f:\partial V\longrightarrow \mathbb {R}$ дано. Играют два игрока, в каждый ход они подбрасывают честную монету, и победитель может переместить жетон любому соседу текущей локации. Игра заканчивается, когда жетон достигает $\partial V$ в какое-то время $\tau$ и расположение $X_{\tau }$, после чего первый игрок получает сумму $f(X_{\tau })$ от второго игрока. Следовательно, первый игрок хочет максимизировать $f(X_{\tau })$, а второй игрок хочет минимизировать его. Если оба игрока играют оптимально (что имеет четко определенное значение в теории игр), ожидаемый выигрыш $\mathbb {E} [f(X_{\tau })\,|\,X_{0}=x]$ для первого игрока является дискретной бесконечной гармонической функцией, как определено выше.

Существует также подход теории игр к p-лапласиану , интерполирующий между простым случайным блужданием и вышеупомянутой случайной игрой в перетягивание каната.

Источники

• Бэррон, Эммануэль Николас; Эванс, Лоуренс К .; Дженсен, Роберт (2008), «Бесконечность Лапласа, уравнение Аронссона и их обобщения» (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 360 (1): 77–101, doi : 10.1090/S0002-9947-07-04338- 3 , ISSN   0002-9947
• Перес, Юваль; Шрамм, Одед ; Шеффилд, Скотт; Уилсон, Дэвид Б. (2009), «Перетягивание каната и бесконечный лапласиан», Журнал Американского математического общества , 22 (1): 167–210, arXiv : math/0605002v2 , Bibcode : 2009JAMS... 22..167P , doi : 10.1090/s0894-0347-08-00606-1 , MR   2449057 , S2CID   15472459 .