p -лапласиан

В математике p - лапласиан , или p -оператор Лапласа , представляет собой квазилинейный эллиптический оператор в частных производных 2-го порядка. Это нелинейное обобщение оператора Лапласа , где $p$ разрешено превышать $1<p<\infty$ . Это написано как

\Delta _{p}u:=\nabla \cdot (|\nabla u|^{p-2}\nabla u).

Где $|\nabla u|^{p-2}$ определяется как

\quad |\nabla u|^{p-2}=\left[\textstyle \left({\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)^{2}\right]^{\frac {p-2}{2}}

В частном случае, когда $p=2$ , этот оператор сводится к обычному лапласиану . ^[1] В общем случае решения уравнений, включающих p -лапласиан, не имеют вторых производных в классическом смысле, поэтому решения этих уравнений следует понимать как слабые решения . Например, мы говорим, что функция u, принадлежащая пространству Соболева $W^{1,p}(\Omega )$ является слабым решением

\Delta _{p}u=0{\mbox{ in }}\Omega

если для каждой тестовой функции $\varphi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ у нас есть

\int _{\Omega }|\nabla u|^{p-2}\nabla u\cdot \nabla \varphi \,dx=0

где $\cdot$ обозначает стандартное скалярное произведение .

Энергетическая формулировка

Слабое решение p -уравнения Лапласа с граничными условиями Дирихле

{\begin{cases}-\Delta _{p}u=f&{\mbox{ in }}\Omega \\u=g&{\mbox{ on }}\partial \Omega \end{cases}}

в домене $\Omega \subset \mathbb {R} ^{N}$ – минимизатор энергетического функционала

J(u)={\frac {1}{p}}\,\int _{\Omega }|\nabla u|^{p}\,dx-\int _{\Omega }f\,u\,dx

среди всех функций в пространстве Соболева $W^{1,p}(\Omega )$ удовлетворяющий граничным условиям в следовом смысле. ^[1] В частном случае $f=1,g=0$ и $\Omega$ является шаром радиуса 1, слабое решение приведенной выше задачи может быть вычислено явно и определяется выражением

u(x)=C\,\left(1-|x|^{\frac {p}{p-1}}\right)

где $C$ — подходящая константа, зависящая от размерности $N$ и дальше $p$ только. Обратите внимание, что для $p>2$ решение не является дважды дифференцируемым в классическом смысле.