Неустойчивость Плато – Рэлея

Три примера отделения капель для разных жидкостей: (слева) вода, (в центре) глицерин, (справа) раствор ПЭГ в воде.

В гидродинамике неустойчивость Плато -Релея , часто называемая просто неустойчивостью Рэлея , объясняет, почему и как падающий поток жидкости разбивается на более мелкие пакеты с одинаковым объемом, но меньшей площадью поверхности. Это связано с неустойчивостью Рэлея-Тейлора и является частью более широкой ветви гидродинамики, связанной с разрывом жидкостной нити . Эта нестабильность жидкости используется при разработке особого типа струйной технологии , при которой струя жидкости превращается в устойчивый поток капель .

Движущая сила неустойчивости Плато – Рэлея заключается в том, что жидкости в силу своего поверхностного натяжения стремятся минимизировать площадь своей поверхности. Недавно был проделан значительный объем работы над окончательным профилем сжатия путем анализа его самоподобными решениями. ^[1]^[2]

История

Неустойчивость Плато – Рэлея названа в честь Плато Джозефа и лорда Рэлея . В 1873 году Плато экспериментально обнаружил, что вертикально падающий поток воды разбивается на капли, если его длина превышает диаметр примерно в 3,13–3,18 раза, который, как он заметил, близок к $π$ . ^[3]^[4] Позже Рэлей теоретически показал, что вертикально падающий столб невязкой жидкости круглого сечения должен разбиться на капли, если его длина превышает длину окружности, которая действительно в $π$ раз превышает его диаметр. ^[5]

Теория

Промежуточная стадия распада струи на капли. Показаны радиусы кривизны в осевом направлении. Уравнение для радиуса потока: $R(z)=R_{0}+A_{k}\cos(kz)$ , где $R_{0}$ – радиус невозмущенного потока, $A_{k}$ – амплитуда возмущения, $\scriptstyle z$ - расстояние вдоль оси потока, а $k$ это волновое число

Объяснение этой неустойчивости начинается с существования крошечных возмущений в потоке. ^[6]^[7] Они присутствуют всегда, независимо от того, насколько плавным является поток (например, в жидкостном сопле возникает вибрация потока жидкости из-за трения между соплом и потоком жидкости). Если возмущения разложить на синусоидальные компоненты, мы обнаружим, что некоторые компоненты со временем растут, а другие со временем затухают. Среди тех, которые растут со временем, некоторые растут быстрее, чем другие. Распадается или растет компонент, а также скорость его роста полностью зависит от его волнового числа (меры количества пиков и впадин на единицу длины) и радиуса исходного цилиндрического потока. Диаграмма справа показывает преувеличение одного компонента.

Предполагая, что все возможные компоненты изначально существуют примерно с равными (но незначительными) амплитудами, размер конечных капель можно предсказать, определив по волновому числу, какой компонент растет быстрее всего. С течением времени именно компонент с максимальной скоростью роста станет доминировать и в конечном итоге станет тем, кто дробит поток на капли. ^[8]

Хотя полное понимание того, как это происходит, требует математических разработок (см. ссылки ^[6]^[8]), диаграмма может дать концептуальное понимание. Обратите внимание на две показанные полосы, опоясывающие поток: одну на пике, а другую на впадине волны. У желоба радиус потока меньше, следовательно, согласно уравнению Юнга-Лапласа, давление за счет поверхностного натяжения увеличивается. Точно так же на пике радиус потока больше, и по тем же причинам давление из-за поверхностного натяжения уменьшается. Если бы это был единственный эффект, мы бы ожидали, что более высокое давление во впадине выдавит жидкость в область более низкого давления на пике. Таким образом мы видим, как волна растет по амплитуде с течением времени.

Но на уравнение Юнга-Лапласа влияют две отдельные компоненты радиуса. В данном случае это уже обсуждавшийся радиус самого потока. Другой — радиус кривизны самой волны. Подобранные дуги на диаграмме показывают их пик и минимум. Обратите внимание, что радиус кривизны желоба на самом деле отрицательный, а это означает, что, согласно Юнгу-Лапласу, он фактически снижает давление во впадине. Точно так же радиус кривизны на пике положителен и увеличивает давление в этой области. Влияние этих компонентов противоположно влиянию радиуса самого потока.

Оба эффекта, как правило, не компенсируются. Один из них будет иметь большую величину, чем другой, в зависимости от волнового числа и начального радиуса потока. Когда волновое число таково, что радиус кривизны волны доминирует над радиусом потока, такие компоненты со временем будут затухать. Когда влияние радиуса потока доминирует над влиянием кривизны волны, такие компоненты растут экспоненциально со временем.

Когда все математические расчеты выполнены, обнаруживается, что нестабильными компонентами (то есть компонентами, растущими со временем) являются только те, у которых произведение волнового числа на начальный радиус меньше единицы ( $kR_{0}<1$ ). Быстрее всего растет компонент, волновое число которого удовлетворяет уравнению ^[8]

kR_{0}\simeq 0.697.

Примеры

Поток дождевой воды из навеса. Среди сил, управляющих образованием капель: неустойчивость Плато–Релея, поверхностное натяжение , сцепление , сила Ван-дер-Ваальса .

Вода капает из крана/крана

Особым случаем является образование мелких капель при капании воды из крана. Когда часть воды начинает отделяться от крана, образуется горловина, а затем растягивается. Если диаметр крана достаточно велик, горлышко не втягивается обратно, оно испытывает нестабильность Плато-Релея и схлопывается в небольшую каплю.

Мочеиспускание

Другой повседневный пример нестабильности Плато-Релея возникает при мочеиспускании, особенно у мужчин стоя. ^[9]^[10] Примерно через 15 см (6 дюймов) струя мочи становится нестабильной, разбиваясь на капли, что приводит к значительному разбрызгиванию при ударе о поверхность. Напротив, если струя контактирует с поверхностью, находясь в стабильном состоянии (например, при мочеиспускании прямо на писсуар или стену), обратный разбрызгивание практически полностью исключается.

Струйная печать

непрерывного действия Струйные принтеры (в отличие от струйных принтеров с каплей по требованию) генерируют цилиндрический поток чернил, который распадается на капли, прежде чем испачкать бумагу для принтера. Регулируя размер капель с помощью настраиваемых колебаний температуры или давления и придавая электрический заряд чернилам, струйные принтеры затем управляют потоком капель с помощью электростатики, формируя определенные узоры на бумаге для принтера. ^[11]

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б Папагеоргиу, Д.Т. (1995). «О разрыве вязких жидких нитей». Физика жидкостей . 7 (7): 1529–1544. Бибкод : 1995PhFl....7.1529P . CiteSeerX 10.1.1.407.478 . дои : 10.1063/1.868540 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Эггерс, Дж. (1997). «Нелинейная динамика и распад течений на свободной поверхности». Обзоры современной физики . 69 (3): 865–930. arXiv : чао-дин/9612025 . Бибкод : 1997РвМП...69..865Е . дои : 10.1103/RevModPhys.69.865 .
^ Плато, Дж. (1873). Экспериментальная и теоретическая статика жидкостей, на которые действуют только молекулярные силы [ Экспериментальная и теоретическая статика жидкостей, на которые действуют только молекулярные силы ] (на французском языке). Полет. 2. Париж, Франция: Готье-Виллар. п. 261 . Из стр. 261: «Поэтому мы можем утверждать, помимо любого теоретического результата, что предел устойчивости цилиндра находится между значениями 3,13 и 3,18,…» (Таким образом, можно утверждать, помимо любого теоретического результата, что предел устойчивости цилиндра лежит между значениями 3,13 и 3,18,…)
^ Замедление нестабильности плато-рэлея: отличительная характеристика идеально смачивающих жидкостей, Джон Маккуан. Проверено 19 января 2007 г.
^ Луо, Юн (2005) «Функциональные наноструктуры на основе упорядоченных пористых шаблонов», доктор философии. диссертация, Университет Мартина Лютера (Галле-Виттенберг, Германия), глава 2, стр.23. Проверено 19 января 2007 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Пьер-Жиль де Женн ; Франсуаза Брошар-Вайарт; Дэвид Кере (2002). Капиллярные и смачивающие явления — капли, пузыри, жемчужины, волны . Алекс Райзингер (пер.). Спрингер. ISBN 978-0-387-00592-8 .
^ Уайт, Харви Э. (1948). Современная физика колледжа . ван Ностранд. ISBN 978-0-442-29401-4 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Джон В.М. Буш (май 2004 г.). «Конспекты лекций MIT по поверхностному натяжению, лекция 5» (PDF) . Массачусетский технологический институт . Проверено 1 апреля 2007 г.
^ Динамика писсуара: тактическое руководство , Splash Lab.
↑ Университетские физики изучают выплескивание мочи и предлагают лучшие тактики для мужчин (с видео) , Боб Йирка, Phys.org, 7 ноября 2013 г.
^ [1] «Струйная печать - физика управления жидкими струями и каплями», Грэм Д. Мартин, Стивен Д. Хоат и Ян М. Хатчингс, 2008, J. Phys.: Conf. Сер

Внешние ссылки

Нестабильность Плато – Рэлея - трехмерное моделирование кинетики решетки по методу Монте-Карло.
Неустойчивость столба воды Савара – Плато – Рэлея – Адаптивное численное моделирование
Лекция Массачусетского технологического института о падающих струях жидкости, включая PDF-форму о нестабильности Плато-Релея, вполне математическая.

[Papageorgiou1995-1] Перейти обратно: ^а ^б Папагеоргиу, Д.Т. (1995). «О разрыве вязких жидких нитей». Физика жидкостей . 7 (7): 1529–1544. Бибкод : 1995PhFl....7.1529P . CiteSeerX 10.1.1.407.478 . дои : 10.1063/1.868540 .

[Eggers1997-2] Перейти обратно: ^а ^б Эггерс, Дж. (1997). «Нелинейная динамика и распад течений на свободной поверхности». Обзоры современной физики . 69 (3): 865–930. arXiv : чао-дин/9612025 . Бибкод : 1997РвМП...69..865Е . дои : 10.1103/RevModPhys.69.865 .

[3] Плато, Дж. (1873). Экспериментальная и теоретическая статика жидкостей, на которые действуют только молекулярные силы [ Экспериментальная и теоретическая статика жидкостей, на которые действуют только молекулярные силы ] (на французском языке). Полет. 2. Париж, Франция: Готье-Виллар. п. 261 . Из стр. 261: «Поэтому мы можем утверждать, помимо любого теоретического результата, что предел устойчивости цилиндра находится между значениями 3,13 и 3,18,…» (Таким образом, можно утверждать, помимо любого теоретического результата, что предел устойчивости цилиндра лежит между значениями 3,13 и 3,18,…)

[4] Замедление нестабильности плато-рэлея: отличительная характеристика идеально смачивающих жидкостей, Джон Маккуан. Проверено 19 января 2007 г.

[5] Луо, Юн (2005) «Функциональные наноструктуры на основе упорядоченных пористых шаблонов», доктор философии. диссертация, Университет Мартина Лютера (Галле-Виттенберг, Германия), глава 2, стр.23. Проверено 19 января 2007 г.

[cwp-6] Перейти обратно: ^а ^б Пьер-Жиль де Женн ; Франсуаза Брошар-Вайарт; Дэвид Кере (2002). Капиллярные и смачивающие явления — капли, пузыри, жемчужины, волны . Алекс Райзингер (пер.). Спрингер. ISBN 978-0-387-00592-8 .

[white-7] Уайт, Харви Э. (1948). Современная физика колледжа . ван Ностранд. ISBN 978-0-442-29401-4 .

[MIT5-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с Джон В.М. Буш (май 2004 г.). «Конспекты лекций MIT по поверхностному натяжению, лекция 5» (PDF) . Массачусетский технологический институт . Проверено 1 апреля 2007 г.

[9] Динамика писсуара: тактическое руководство , Splash Lab.

[10] Университетские физики изучают выплескивание мочи и предлагают лучшие тактики для мужчин (с видео) , Боб Йирка, Phys.org, 7 ноября 2013 г.

[11] [1] «Струйная печать - физика управления жидкими струями и каплями», Грэм Д. Мартин, Стивен Д. Хоат и Ян М. Хатчингс, 2008, J. Phys.: Conf. Сер

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]