Разрыв жидкой нити

Разрыв жидкостной нити — это процесс, при котором одна масса жидкости распадается на несколько более мелких жидкостных масс. Процесс характеризуется удлинением жидкой массы с образованием тонких нитевидных участков между более крупными узелками жидкости. Нитевидные области продолжают истончаться, пока не сломаются, образуя отдельные капли жидкости.

Разрыв нити происходит там, где две жидкости или жидкость в вакууме образуют свободную поверхность с поверхностной энергией . Если площадь поверхности превышает минимум, необходимый для содержания объема жидкости, система имеет избыток поверхностной энергии . Система, не находящаяся в состоянии минимальной энергии, будет пытаться перестроиться, чтобы перейти к состоянию с более низкой энергией, что приведет к распаду жидкости на меньшие массы, чтобы минимизировать поверхностную энергию системы за счет уменьшения площади поверхности. Точный результат процесса разрушения резьбы зависит от поверхностного натяжения , вязкости , плотности и диаметра разрушаемой нити.

История

Изучение образования капель имеет долгую историю, начиная с работы Леонардо да Винчи, который писал: ^[1]

«Как вода обладает прочностью сама по себе и сцеплением между своими частицами. […] Это видно в процессе отделения капли от остатка, причем этот остаток растягивается настолько далеко, насколько это возможно, под тяжестью расширяющейся капли. это; и после того, как капля была отделена от этой массы, масса возвращается вверх с движением, противоречащим природе тяжелых вещей».

Таким образом, он правильно объяснил падение капель силой тяжести, а механизм, вызывающий разрыв нити, — сцеплением молекул воды.

Первый правильный анализ разрушения жидкой нити был качественно проведен Томасом Юнгом и математически Пьером-Симоном Лапласом между 1804 и 1805 годами. ^[2]^[3] Они правильно объяснили причину разрыва нити свойствами поверхностного натяжения . Более того, они также пришли к выводу о важности средней кривизны в создании избыточного давления в потоке жидкости. Благодаря своему анализу они показали, что поверхностное натяжение может вести себя двумя способами: эластичным механизмом, который может поддерживать висящую каплю, и механизмом давления, обусловленным капиллярным давлением , которое способствует разрыву нити.

В 1820-х годах итальянский физик и инженер-гидротехник Джорджио Бидоне изучал деформацию струй воды, выходящих из отверстий различной формы. ^[4] В 1833 году Феликс Савар провел экспериментальную работу, используя стробоскопический метод для количественного измерения разрушения нити. ^[5]Он отметил, что расставание — это спонтанный процесс, происходящий без внешних раздражителей. Эта работа позволила ему определить, что капли образуются из струи, вытекающей из резервуара с определенной скоростью, обратно пропорциональной радиусу сопла и пропорциональной давлению в резервуаре. Эти наблюдения облегчили работу Джозефа Плато , который установил связь между распадом струи и поверхностной энергией . ^[6] Плато смог определить наиболее нестабильную длину волны возмущения в потоке жидкости, которая позже была пересмотрена лордом Рэлеем для учета динамики струи.

Поскольку возмущение поверхности становится большим, необходимо применять нелинейную теорию. Поведение струй при больших возмущениях экспериментально исследовали Магнус и Ленард . ^[7]^[8] Их эксперименты помогли охарактеризовать капли-спутники, капли, которые образуются в дополнение к большой основной капле, благодаря использованию высокоскоростной фотографии. Высокоскоростная фотография в настоящее время является стандартным методом экспериментального анализа разрыва нити.

С появлением большей вычислительной мощности численное моделирование начало заменять экспериментальные усилия в качестве основного средства понимания распада жидкости. Однако остается трудность в точном отслеживании свободной поверхности многих жидкостей из-за ее сложного поведения. Наибольший успех был достигнут с жидкостями низкой и высокой вязкости, где метод граничного интеграла можно использовать , поскольку функция Грина для обоих случаев известна. Доммермут и Юэ, как и Шулькес, охарактеризовали безвихревое невязкое течение с помощью этого метода. ^[9]^[10] Янгрен и Акривос рассмотрели поведение пузырька в жидкости высокой вязкости. ^[11] Стоун и Лил расширили эту первоначальную работу, чтобы рассмотреть динамику отдельных капель. ^[12] Для жидкостей средней вязкости требуется полное моделирование с использованием уравнений Навье-Стокса с методами определения свободной поверхности, такими как заданный уровень и объем жидкости. Самая ранняя работа с полным моделированием Навье-Стокса была выполнена Фроммом и сосредоточилась на технологии струйной печати . ^[13] Такое моделирование остается активной областью исследований.

Физический механизм разрыва нити

Процесс, которому подвергается текучая нить или струя, разрушающаяся от большей массы к меньшей массе.

Процесс разрушения жидкой нити или струи начинается с развития малых возмущений на свободной поверхности жидкости. Это известно как линейная теория разрыва жидкостной нити. Эти возмущения всегда присутствуют и могут быть вызваны многочисленными источниками, включая вибрации контейнера с жидкостью или неравномерность напряжения сдвига на свободной поверхности. В общем случае эти возмущения принимают произвольную форму и поэтому их трудно рассматривать строго. Поэтому полезно выполнить преобразование Фурье возмущений, чтобы разложить произвольные возмущения на возмущения различных одиночных длин волн на поверхности нити. При этом это позволяет определить, какие длины волн возмущения будут расти, а какие затухать со временем. ^[14]

Рост и затухание длин волн можно определить, исследуя изменение давления, которое длина волны возмущения оказывает на внутреннюю часть жидкостной нити. Изменения внутреннего давления резьбы вызываются капиллярным давлением по мере деформации свободной поверхности резьбы. Капиллярное давление является функцией средней кривизны границы раздела в данном месте на поверхности, то есть давление зависит от двух радиусов кривизны, которые придают форму поверхности. В утонченной области текучей нити, подвергающейся разрушению, первый радиус кривизны меньше, чем радиус кривизны в утолщенной области, что приводит к градиенту давления, который будет стремиться вытеснить жидкость из утонченной области в утолщенную. Однако второй радиус кривизны остается важным для процесса распада. Для некоторых длин волн возмущений эффект второго радиуса кривизны может преодолеть эффект давления первого радиуса кривизны, вызывая большее давление в утолщенных областях, чем в утонченных областях. Это вытолкнет жидкость обратно к истонченным участкам и приведет к возврату нити к ее первоначальной, ненарушенной форме. Однако для других длин волн возмущений капиллярное давление, индуцированное вторым радиусом кривизны, будет усиливать давление первого радиуса кривизны. Это приведет к перемещению жидкости из утонченных областей в утолщенные и еще больше будет способствовать разрыву резьбы.

Радиусы кривизны резьбы, подвергающейся разрушению. Синий цвет представляет первый радиус кривизны, а красный — второй радиус кривизны в утонченных и утолщенных местах.

Таким образом, длина волны возмущения является критическим параметром при определении того, распадется ли данная нить жидкости на более мелкие массы жидкости. Строгое математическое исследование длин волн возмущений может привести к установлению соотношения, показывающего, какие длины волн стабильны для данной нити, а также какие длины волн возмущений будут расти наиболее быстро. Размер жидкостных масс, возникающих в результате разрыва жидкостной нити, можно аппроксимировать длинами волн наиболее быстро растущих возмущений.

Нелинейное поведение

Хотя линейная теория полезна при рассмотрении роста небольших возмущений на свободной поверхности, когда возмущения достигают значительной амплитуды, нелинейные эффекты начинают доминировать в поведении распада. Нелинейное поведение нити определяет ее окончательный разрыв и в конечном итоге определяет конечную форму и количество образующихся жидких масс.

Нелинейность улавливается за счет использования самоподобия . Самоподобие предполагает, что поведение жидкой нити при приближении радиуса к нулю такое же, как и поведение жидкой нити, когда она имеет некоторый конечный радиус. Детальное понимание нелинейного поведения потоков требует использования асимптотических разложений для создания соответствующего поведения масштабирования. Было найдено множество решений нелинейного поведения жидкостных потоков, основанных на силах, которые имеют значение в конкретных обстоятельствах. ^[15]^[16]^[17]

Важные параметры

То, как жидкая нить или струя разрушается, определяется несколькими параметрами, среди которых число Рейнольдса , число Вебера , число Онезорге и длина волны возмущений . Хотя эти числа являются обычными в механике жидкостей, параметры, выбранные в качестве масштабов, должны соответствовать разрыву резьбы. Чаще всего в качестве масштаба длины выбирают радиус резьбы жидкости, а за скорость чаще всего принимают скорость движения объемной жидкости. Однако эти масштабы могут меняться в зависимости от особенностей рассматриваемой задачи.

Число Рейнольдса представляет собой соотношение между эффектами инерции и вязкости внутри резьбы. При больших числах Рейнольдса эффекты движения нити намного сильнее вязкой диссипации. Вязкость оказывает лишь минимальное демпфирующее воздействие на резьбу. При малых числах Рейнольдса вязкая диссипация велика, и любые возмущения быстро затухают в нити.

Число Вебера — это соотношение между эффектами инерции и поверхностного натяжения внутри резьбы. Когда число Вебера велико, инерция нити велика, что препятствует поверхностному натяжению сглаживать изогнутые поверхности. Для малых чисел Вебера изменения капиллярного давления из-за поверхностных возмущений велики, и поверхностное натяжение доминирует над поведением резьбы.

Число Онезорге представляет собой соотношение между эффектами вязкости и поверхностного натяжения внутри нити. Поскольку это устраняет эффекты инерции и необходимость шкалы скоростей, часто удобнее выражать масштабные отношения через число Онезорге, а не через число Рейнольдса и Вебера по отдельности.

Длина волны возмущения представляет собой характерную длину возмущения на поверхности струи в предположении, что любое произвольное возмущение можно разложить с помощью преобразования Фурье на его составляющие компоненты. Длина волны возмущения имеет решающее значение для определения того, будет ли конкретное возмущение расти или затухать со временем.

Особые случаи

Линейная стабильность невязких жидкостей

Линейная стабильность жидкостей низкой вязкости была впервые получена Плато в 1873 году. ^[14] Однако его решение стало известно как неустойчивость Рэлея-Плато из-за расширения теории лорда Рэлея на жидкости с вязкостью. Неустойчивость Рэлея-Плато часто используется в качестве вводного примера гидродинамической устойчивости, а также анализа возмущений.

Плато рассматривал устойчивость потока жидкости при наличии только эффектов инерции и поверхностного натяжения. Разложив произвольное возмущение на свободной поверхности на его составляющие гармоники/длины волн, он смог вывести условие устойчивости струи с точки зрения возмущения:

\omega ^{2}={\frac {\sigma k}{\rho a^{2}}}{\frac {I_{1}(ka)}{I_{0}(ka)}}\left(1-k^{2}a^{2}\right),

где ω — скорость роста возмущения, σ — поверхностное натяжение жидкости, k — волновое число возмущения, ρ — плотность жидкости, a — начальный радиус невозмущенной жидкости, а I — модифицированная Бесселя функция первый вид. Вычислив скорость роста как функцию волнового числа, можно определить, что наиболее быстро растущая длина волны возмущения возникает при:

\lambda _{\text{max}}\approx 9.02a.

Длина волны максимальной нестабильности увеличивается с увеличением радиуса жидкостной нити. Важно отметить, что нестабильные режимы возможны только в том случае, если:

ka<1.

Линейная устойчивость вязких жидкостей

Рейнольдс, а затем и Томотика расширили работу Плато, включив в нее рассмотрение линейной устойчивости вязких нитей. Рэлей решил вопрос об устойчивости вязкой нити вязкости. $\mu _{A}$ без присутствия внешней жидкости. ^[18]Tomokita решила вопрос устойчивости жидкостной резьбы в присутствии внешней жидкости с собственной вязкостью. $\mu _{B}$ . ^[19]Он рассмотрел три случая, когда вязкость жидкой нити много больше вязкости внешней среды, вязкость внешней среды много больше вязкости жидкой нити и общий случай, когда жидкости имеют произвольную вязкость.

Жидкая нить высокой вязкости

Для предельного случая, когда текучая нить значительно более вязкая, чем внешняя среда, вязкость внешней среды полностью падает со скоростью роста. Таким образом, скорость роста становится функцией только начального радиуса нити, длины волны возмущения, поверхностного натяжения нити и вязкости нити.

\omega ={\frac {\sigma \left(k^{2}a^{2}-1\right)}{2a\mu _{A}}}{\frac {1}{k^{2}a^{2}+1-k^{2}a^{2}I_{0}^{2}(ka)/I_{1}^{2}(ka)}}

Построив график, можно обнаружить, что самые длинные волны являются наиболее нестабильными. Не менее важно отметить, что вязкость жидкой нити не влияет на то, какие длины волн будут стабильными. Вязкость лишь уменьшает скорость роста или затухания данного возмущения со временем.

Примерами применения этого случая являются ситуации, когда практически любая жидкость подвергается разрушению нити/струи в воздушной среде.

Внешняя жидкость очень вязкая

Для предельного случая, когда внешняя среда жидкой нити значительно более вязкая, чем сама нить, вязкость жидкой нити полностью падает из-за скорости роста возмущения. Таким образом, скорость роста становится лишь функцией начального радиуса нити, длины волны возмущения, поверхностного натяжения нити, вязкости внешней среды и функций Бесселя второго порядка второго рода.

\omega ={\frac {\sigma \left(1-k^{2}a^{2}\right)}{2a\mu _{B}}}{\frac {1}{k^{2}a^{2}+1-k^{2}a^{2}K_{0}^{2}(ka)/K_{1}^{2}(ka)}}

Если бы нужно было построить график скорости роста как функцию длины волны возмущения, можно было бы обнаружить, что наиболее нестабильные длины волн снова возникают при самых длинных волнах и что вязкость внешней среды будет действовать только для уменьшения того, насколько быстро будет расти возмущение или распад во времени.

Примерами таких случаев могут быть случаи, когда пузырьки газа попадают в жидкость или когда вода попадает в мед.

Общий случай – произвольный коэффициент вязкости

Общий случай для двух вязких жидкостей решить напрямую гораздо сложнее. Томотика выразил свое решение так:

\omega ={\frac {\sigma \left(1-k^{2}a^{2}\right)}{2a\mu _{B}}}\Phi (ka)

где $\Phi$ был определен как:

{\begin{aligned}\Phi (ka)={}&{\frac {N(ka)}{D(ka)}}\\N(ka)={}&I_{1}(ka)\Delta _{1}-\{kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)\}\Delta _{2}\\D(ka)={}&{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}\{kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)\}\Delta _{1}-{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}\left\{\left(k^{2}a^{2}+1\right)I_{1}(ka)-kaI_{0}(ka)\right\}\Delta _{2}\\&-\{kaK_{0}(ka)+K_{1}(ka)\}\Delta _{3}-\left\{\left(k^{2}a^{2}+1\right)K_{1}(ka)+kaK_{0}(ka)\right\}\Delta _{4}\end{aligned}}

The $\Delta$ коэффициенты проще всего выразить как определители следующих матриц:

{\begin{aligned}\Delta _{1}&={\begin{vmatrix}kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{2}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)&-K_{0}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{3}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)&I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{4}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)&I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&{\frac {\mu _{a}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&K_{1}(ka)\end{vmatrix}}\end{aligned}}

Полученное решение остается функцией вязкости нити и внешней среды, а также длины волны возмущения. Наиболее нестабильное сочетание вязкости и возмущения имеет место, когда $\mu _{A}/\mu _{B}\approx 0.28$ с $\lambda \approx 10.66a$ .

Для большинства применений использование общего случая не является необходимым, поскольку две рассматриваемые жидкости имеют существенно разные вязкости, что позволяет использовать один из предельных случаев. Однако в некоторых случаях, таких как смешивание масел или масел и воды, может потребоваться использование общего случая.

Формирование капли спутника

Вода течет из крана, образуя как одну большую каплю, так и несколько капель-спутников.

Спутниковые капли, также известные как вторичные капли, представляют собой капли, образующиеся в процессе разрыва нити в дополнение к большой основной капле. Капли возникают, когда нить, с помощью которой основная капля висит на большей массе жидкости, сама отрывается от массы жидкости. Жидкость, содержащаяся в нити, может оставаться единой массой или распадаться из-за возмущений отдачи, возникающих в ней при отрыве основной капли. Хотя образование капель-сателлитов можно предсказать на основе свойств жидкости, их точное местоположение и объем предсказать невозможно. ^[20]^[21]

В целом вторичные капли являются нежелательным явлением, особенно в тех случаях, когда важно точное осаждение капель. Образование капель-сателлитов определяется нелинейной динамикой задачи вблизи финальных стадий разрушения нити.

Примеры

В повседневной жизни существуют многочисленные примеры разрыва текучих нитей. Это одно из наиболее распространенных явлений механики жидкости, с которым приходится сталкиваться, и поэтому большинство людей мало задумываются об этом процессе.

Поток из крана

Капающая вода – обычное явление. Когда вода выходит из крана, нить, прикрепленная к крану, начинает сужаться вниз, в конечном итоге до такой степени, что основная капля отрывается от поверхности. ^[22] Нить не может достаточно быстро втянуться в кран, чтобы предотвратить разрыв, и поэтому распадается на несколько небольших капель-сателлитов. ^[22]

Пузырьки воздуха

Пузырьки воздуха — еще одно распространенное явление распада. Когда воздух попадает в резервуар с жидкостью, например в аквариум, нить снова сужается у основания, образуя пузырь. Выдувание пузырей из соломинки в стакан ведет себя примерно так же.

Эксперимент с падением высоты звука

Эксперимент с падением пека — это известный эксперимент по разрушению жидкости с использованием смолы с высокой вязкостью. Скорость распада замедлилась до такой степени, что с 1927 года выпало всего 11 капель.

Капли меда

Мед достаточно вязкий, поэтому поверхностные возмущения, приводящие к распаду, практически полностью гасятся медовыми нитями. Это приводит к образованию длинных нитей меда, а не отдельных капель.

Ссылки

^ да Винчи, Леонардо (1958). Маккарди, Эдвард (ред.). Записные книжки Леонардо да Винчи . Том. 2. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Джордж Бразиллер. п. 748 .
^ де Лаплас, PS (1805 г.). Mechanique Celeste Дополнение к X Libre . Париж: Курьер.
^ Янг, Т. (1805 г.). «Очерк сцепления жидкостей» . Философские труды Лондонского королевского общества . 95 : 65–87. дои : 10.1098/rstl.1805.0005 . S2CID 116124581 .
^
См.:
- Бидоне, Джордж (1822). Эксперименты с различными случаями сжатия жидкой нити и примечания о том, как учитывать сокращение при расчете истечения отверстий ] (на французском языке). Турин (Италия): Imprimerie Royale.
- Бидоне, Джордж (1830). «Опыты по форме и направлению нитей и потоков воды, выходящих из различных отверстий» . Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino (на французском языке). 34 :229–363.
^ Савар, Феликс (1833). «Мемуары о виде струй жидкости, выходящих из круглых отверстий в тонкой стене» . Анналы химии и физики . 2-я серия (на французском языке). 53 : 337–386.
^ Плато, Дж. (1850). «О пределе устойчивости жидкостного цилиндра» . Анналы физики и химии . 2-я серия (на немецком языке). 80 (8): 566–569. Бибкод : 1850АнП...156..566П . дои : 10.1002/andp.18501560808 .
^ Магнус, Г. (1859). «Гидравлические исследования; часть вторая» [Гидравлические исследования; вторая часть]. Анналы физики и химии . 2-я серия (на немецком языке). 106 (1): 1–32. Бибкод : 1859АнП...182....1М . дои : 10.1002/andp.18591820102 .
^ Ленард, Филипп (1887). «О колебаниях падающих капель». Анналы физики и химии . 3-я серия (на немецком языке). 30 (2): 209–243. Бибкод : 1887АнП...266..209Л . дои : 10.1002/andp.18872660202 .
^ Доммермут, генеральный директор; Юэ ДКП (1987). «Численное моделирование нелинейных осесимметричных течений со свободной поверхностью». Журнал механики жидкости . 178 : 195–219. Бибкод : 1987JFM...178..195D . дои : 10.1017/s0022112087001186 .
^ Шулькес, RMS (1994). «Эволюция капиллярных фонтанов». Журнал механики жидкости . 261 : 223–252. Бибкод : 1994JFM...261..223S . дои : 10.1017/s0022112094000327 .
^ Янгрен, ГК; Акривос А (1975). «Стоксово течение мимо частицы произвольной формы: численный метод решения». Журнал механики жидкости . 69 (2): 377–403. Бибкод : 1975JFM....69..377Y . дои : 10.1017/s0022112075001486 .
^ Стоун, штат Ха; Леал Л.Г. (1989). «Расслабление и разрушение первоначально расширенной капли в спокойной жидкости» (PDF) . Журнал механики жидкости . 198 : 399. Бибкод : 1989JFM...198..399S . дои : 10.1017/s0022112089000194 .
^ Фромм, Дж. Э. (1984). «Численный расчет гидродинамики самолетов, сбрасываемых по требованию». Журнал исследований и разработок IBM . 28 (3): 322–333. дои : 10.1147/rd.283.0322 .
^ Jump up to: ^а ^б Плато, Дж (1850 г.). «О пределах устойчивости жидкостного цилиндра» . Анналы физики . 80 (8): 566–569. Бибкод : 1850АнП...156..566П . дои : 10.1002/andp.18501560808 .
^ Тинг, Л; Келлер Дж.Б. (1990). «Тонкие струи и тонкие листы с поверхностным натяжением». SIAM Journal по прикладной математике . 50 (6): 1533–1546. дои : 10.1137/0150090 .
^ Папагеоргиу, Д.Т. (1995). «О разрыве вязких жидких нитей». Физика жидкостей . 7 (7): 1529–1544. Бибкод : 1995PhFl....7.1529P . CiteSeerX 10.1.1.407.478 . дои : 10.1063/1.868540 .
^ Листер-младший; Стоун ХА (1998). «Капиллярный разрыв вязкой нити, окруженной другой вязкой жидкостью». Физика жидкостей . 10 (11): 2758–2764. Бибкод : 1998PhFl...10.2758L . дои : 10.1063/1.869799 .
^ Рэлей, лорд (1892). «XVI. О неустойчивости цилиндра с вязкой жидкостью под действием капиллярных сил» . Философский журнал . 34 (207): 145–154. дои : 10.1080/14786449208620301 .
^ Томотика, С (1935). «О неустойчивости цилиндрической резьбы вязкой жидкости, окруженной другой вязкой жидкостью» . Труды Лондонского королевского общества А. 150 (870): 322–337. Бибкод : 1935РСПСА.150..322Т . дои : 10.1098/rspa.1935.0104 .
^ Сингх, Гаурав (20 января 2013 г.). «Формирование спутниковой капли» . Проверено 18 ноября 2013 г.
^ Хендерсон, Д; Притчард В; Смолка Линда (1997). «Об отщипывании подвесной капли вязкой жидкости». Физика жидкостей . 9 (11): 3188. Бибкод : 1997PhFl....9.3188H . дои : 10.1063/1.869435 .
^ Jump up to: ^а ^б «Разрыв жидкостной струи» . Оптический путь . 12 декабря 2012 г. Проверено 29 сентября 2021 г.

[1] да Винчи, Леонардо (1958). Маккарди, Эдвард (ред.). Записные книжки Леонардо да Винчи . Том. 2. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Джордж Бразиллер. п. 748 .

[2] де Лаплас, PS (1805 г.). Mechanique Celeste Дополнение к X Libre . Париж: Курьер.

[3] Янг, Т. (1805 г.). «Очерк сцепления жидкостей» . Философские труды Лондонского королевского общества . 95 : 65–87. дои : 10.1098/rstl.1805.0005 . S2CID 116124581 .

[4] См.:
Бидоне, Джордж (1822). Эксперименты с различными случаями сжатия жидкой нити и примечания о том, как учитывать сокращение при расчете истечения отверстий ] (на французском языке). Турин (Италия): Imprimerie Royale.
Бидоне, Джордж (1830). «Опыты по форме и направлению нитей и потоков воды, выходящих из различных отверстий» . Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino (на французском языке). 34 :229–363.

[5] Бидоне, Джордж (1822). Эксперименты с различными случаями сжатия жидкой нити и примечания о том, как учитывать сокращение при расчете истечения отверстий ] (на французском языке). Турин (Италия): Imprimerie Royale.

[6] Бидоне, Джордж (1830). «Опыты по форме и направлению нитей и потоков воды, выходящих из различных отверстий» . Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino (на французском языке). 34 :229–363.

[5] Савар, Феликс (1833). «Мемуары о виде струй жидкости, выходящих из круглых отверстий в тонкой стене» . Анналы химии и физики . 2-я серия (на французском языке). 53 : 337–386.

[6] Плато, Дж. (1850). «О пределе устойчивости жидкостного цилиндра» . Анналы физики и химии . 2-я серия (на немецком языке). 80 (8): 566–569. Бибкод : 1850АнП...156..566П . дои : 10.1002/andp.18501560808 .

[7] Магнус, Г. (1859). «Гидравлические исследования; часть вторая» [Гидравлические исследования; вторая часть]. Анналы физики и химии . 2-я серия (на немецком языке). 106 (1): 1–32. Бибкод : 1859АнП...182....1М . дои : 10.1002/andp.18591820102 .

[8] Ленард, Филипп (1887). «О колебаниях падающих капель». Анналы физики и химии . 3-я серия (на немецком языке). 30 (2): 209–243. Бибкод : 1887АнП...266..209Л . дои : 10.1002/andp.18872660202 .

[9] Доммермут, генеральный директор; Юэ ДКП (1987). «Численное моделирование нелинейных осесимметричных течений со свободной поверхностью». Журнал механики жидкости . 178 : 195–219. Бибкод : 1987JFM...178..195D . дои : 10.1017/s0022112087001186 .

[10] Шулькес, RMS (1994). «Эволюция капиллярных фонтанов». Журнал механики жидкости . 261 : 223–252. Бибкод : 1994JFM...261..223S . дои : 10.1017/s0022112094000327 .

[11] Янгрен, ГК; Акривос А (1975). «Стоксово течение мимо частицы произвольной формы: численный метод решения». Журнал механики жидкости . 69 (2): 377–403. Бибкод : 1975JFM....69..377Y . дои : 10.1017/s0022112075001486 .

[12] Стоун, штат Ха; Леал Л.Г. (1989). «Расслабление и разрушение первоначально расширенной капли в спокойной жидкости» (PDF) . Журнал механики жидкости . 198 : 399. Бибкод : 1989JFM...198..399S . дои : 10.1017/s0022112089000194 .

[13] Фромм, Дж. Э. (1984). «Численный расчет гидродинамики самолетов, сбрасываемых по требованию». Журнал исследований и разработок IBM . 28 (3): 322–333. дои : 10.1147/rd.283.0322 .

[auto-14] Jump up to: ^а ^б Плато, Дж (1850 г.). «О пределах устойчивости жидкостного цилиндра» . Анналы физики . 80 (8): 566–569. Бибкод : 1850АнП...156..566П . дои : 10.1002/andp.18501560808 .

[15] Тинг, Л; Келлер Дж.Б. (1990). «Тонкие струи и тонкие листы с поверхностным натяжением». SIAM Journal по прикладной математике . 50 (6): 1533–1546. дои : 10.1137/0150090 .

[16] Папагеоргиу, Д.Т. (1995). «О разрыве вязких жидких нитей». Физика жидкостей . 7 (7): 1529–1544. Бибкод : 1995PhFl....7.1529P . CiteSeerX 10.1.1.407.478 . дои : 10.1063/1.868540 .

[17] Листер-младший; Стоун ХА (1998). «Капиллярный разрыв вязкой нити, окруженной другой вязкой жидкостью». Физика жидкостей . 10 (11): 2758–2764. Бибкод : 1998PhFl...10.2758L . дои : 10.1063/1.869799 .

[18] Рэлей, лорд (1892). «XVI. О неустойчивости цилиндра с вязкой жидкостью под действием капиллярных сил» . Философский журнал . 34 (207): 145–154. дои : 10.1080/14786449208620301 .

[19] Томотика, С (1935). «О неустойчивости цилиндрической резьбы вязкой жидкости, окруженной другой вязкой жидкостью» . Труды Лондонского королевского общества А. 150 (870): 322–337. Бибкод : 1935РСПСА.150..322Т . дои : 10.1098/rspa.1935.0104 .

[20] Сингх, Гаурав (20 января 2013 г.). «Формирование спутниковой капли» . Проверено 18 ноября 2013 г.

[21] Хендерсон, Д; Притчард В; Смолка Линда (1997). «Об отщипывании подвесной капли вязкой жидкости». Физика жидкостей . 9 (11): 3188. Бибкод : 1997PhFl....9.3188H . дои : 10.1063/1.869435 .

[Liquid_Jet_Breakup-22] Jump up to: ^а ^б «Разрыв жидкостной струи» . Оптический путь . 12 декабря 2012 г. Проверено 29 сентября 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]