Циммерт набор

В математике множество Циммерта — это набор натуральных чисел, связанных со структурой частных гиперболического трехмерного пространства по группе Бьянки .

Определение

Зафиксируйте целое число d и пусть D — дискриминант мнимого квадратичного поля Q (√- d ). Множество Циммерта Z ( d ) — это набор натуральных чисел n таких, что 4 n ² <-D-3 и n ≠ 2; D — квадратичный невычет всех нечетных простых чисел в d ; n нечетно, если D не конгруэнтно 5 по модулю 8. Мощность Z ( d ) можно обозначить через z ( d ).

Свойство

кроме конечного Для всех d, , мы имеем z ( d ) > 1: действительно, это верно для всех d > 10. ⁴⁷⁶ .

Приложение

Обозначим через Γ _d группу Бьянки PSL(2, O _d ), где O _d — кольцо целых чисел . Как подгруппа PSL(2, C ), существует действие Γ _d на гиперболическом 3-пространстве H ₃ с фундаментальной областью определения . Это теорема, согласно которой существует лишь конечное число значений d, для которых Γ _d может содержать арифметическую подгруппу G, для которой фактор H ₃ / G является дополнением зацепления . Для получения результатов в этом направлении используются множества Циммерта: z ( d ) — нижняя оценка ранга наибольшего свободного фактора Γ _d и поэтому из приведенного выше результата следует, что почти все группы Бианки имеют нециклические свободные факторы.

Ссылки

• Маклахлан, Колин; Рид, Алан В. (2003). Арифметика гиперболических 3-многообразий . Тексты для аспирантов по математике . Том. 219. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-98386-4 . Збл   1025.57001 .