Уравнение Тейлора – Гольдштейна

Уравнение Тейлора-Гольдштейна — это обыкновенное дифференциальное уравнение, используемое в области геофизической гидродинамики и, в более общем плане, в гидродинамике при наличии квази -двумерных потоков. ^{[ 1 ]} Он описывает динамику неустойчивости Кельвина -Гельмгольца , подверженную действию сил плавучести (например, гравитации), для устойчиво стратифицированных жидкостей в бездиссипативном пределе . Или, в более общем смысле, динамика внутренних волн при наличии (непрерывного) расслоения по плотности и сдвигового течения . Уравнение Тейлора-Гольдштейна получено из двумерных уравнений Эйлера с использованием приближения Буссинеска . ^{[ 2 ]}

Уравнение названо в честь Г. И. Тейлора и С. Гольдштейна , которые вывели уравнение независимо друг от друга в 1931 г. Третий независимый вывод, также в 1931 г., был сделан Б. Хаурвицем. ^{[ 2 ]}

Формулировка

Уравнение получено путем решения линеаризованной версии уравнения Навье – Стокса в присутствии гравитации. $g$ и средний градиент плотности (с длиной градиента $L_{\rho }$ ), для поля скорости возмущения

\mathbf {u} =\left[U(z)+u'(x,z,t),0,w'(x,z,t)\right],\,

где $(U(z),0,0)$ – невозмущенный или основной поток. Скорость возмущения имеет волнообразное решение $\mathbf {u} '\propto \exp(i\alpha (x-ct))$ ( реальная часть понятна). Используя эти знания и функции потока представление $u_{x}'=d{\tilde {\phi }}/dz,u_{z}'=-i\alpha {\tilde {\phi }}$ для течения получается следующая размерная форма уравнения Тейлора–Гольдштейна:

(U-c)^{2}\left({d^{2}{\tilde {\phi }} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}{\tilde {\phi }}\right)+\left[N^{2}-(U-c){d^{2}U \over dz^{2}}\right]{\tilde {\phi }}=0,

где $N={\sqrt {g \over L_{\rho }}}$ обозначает частоту Брента–Вяйсяля . Параметр собственного значения задачи $c$ . Если мнимая часть скорости волны $c$ положительно, то течение неустойчиво и малое возмущение, вносимое в систему, усиливается во времени.

Заметим, что чисто мнимая частота Брента–Вяйсяля $N$ приводит к потоку, который всегда неустойчив. Эта неустойчивость известна как неустойчивость Рэлея-Тейлора .

Граничные условия прилипания

Соответствующими граничными условиями в случае граничных условий прилипания вверху и внизу канала являются: $z=z_{1}$ и $z=z_{2}:$

\alpha {\tilde {\phi }}={d{\tilde {\phi }} \over dz}=0\quad {\text{ at }}z=z_{1}{\text{ and }}z=z_{2}.

Примечания

^ Кунду, П.Дж. (1990), Механика жидкости , Нью-Йорк: Academic Press, ISBN 0-12-178253-0
^ Перейти обратно: ^а ^б Крейк (1988 , стр. 27–28)

Ссылки

Крейк, ADD (1988), Волновые взаимодействия и потоки жидкости , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36829-4

[1] Кунду, П.Дж. (1990), Механика жидкости , Нью-Йорк: Academic Press, ISBN 0-12-178253-0

[Craik_27_28-2] Перейти обратно: ^а ^б Крейк (1988 , стр. 27–28)

[ 1 ]

[ 2 ]