Эластичность функции

В математике — эластичность или точечная эластичность положительной дифференцируемой функции f положительной переменной (положительный вход, положительный выход). ^[1] в точке а определяется как ^[2]

Ef(a)={\frac {a}{f(a)}}f'(a)

=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac {a}{f(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{f(a)}}{\frac {a}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {1-{\frac {f(x)}{f(a)}}}{1-{\frac {x}{a}}}}\approx {\frac {\%\Delta f(a)}{\%\Delta a}}

или эквивалентно

Ef(x)={\frac {d\log f(x)}{d\log x}}.

Таким образом, это отношение относительного (процентного) изменения выходных данных функции. $f(x)$ относительно относительного изменения его входа $x$ , для бесконечно малых изменений от точки $(a,f(a))$ . Эквивалентно, это отношение бесконечно малого изменения логарифма функции к бесконечно малому изменению логарифма аргумента. В литературе также существуют обобщения на случаи с несколькими входами и несколькими выходами. ^[3]^[4]

Эластичность функции является постоянной $\alpha$ тогда и только тогда, когда функция имеет вид $f(x)=Cx^{\alpha }$ для постоянного $C>0$ .

Эластичность в точке — это предел эластичности дуги между двумя точками, когда расстояние между этими двумя точками приближается к нулю.

Концепция эластичности широко используется в экономике и анализе метаболического контроля (MCA); см. в разделе «Эластичность (экономика)» и «Коэффициент эластичности» Подробности соответственно.

Правила

Правила определения эластичности произведений и коэффициентов проще, чем для деривативов. ^[5] Пусть f, g дифференцируемы. Затем ^[2]

E(f(x)\cdot g(x))=Ef(x)+Eg(x)

E{\frac {f(x)}{g(x)}}=Ef(x)-Eg(x)

E(f(x)+g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))+g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)+g(x)}}

E(f(x)-g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))-g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)-g(x)}}

Производную можно выразить через эластичность как

Df(x)={\frac {Ef(x)\cdot f(x)}{x}}

Пусть a и b — константы. Затем

E(a)=0\

E(a\cdot f(x))=Ef(x)

,

E(bx^{a})=a\

.

Оценка точечной эластичности

В экономике ценовая эластичность спроса относится к эластичности функции спроса Q ( P ) и может быть выражена как (dQ/dP)/(Q(P)/P) или отношение значения предельной функции (dQ/dP) к значению средней функции (Q(P)/P). Это соотношение обеспечивает простой способ определить, является ли кривая спроса эластичной или неэластичной в определенной точке. Во-первых, предположим, что кто-то следует обычному в математике соглашению о построении независимой переменной (P) горизонтально, а зависимой переменной (Q) вертикально. Тогда наклон линии, касательной к кривой в этой точке, является значением предельной функции в этой точке. Наклон луча, проведенного из начала координат через точку, является значением средней функции. Если абсолютное значение наклона касательной больше наклона луча, то функция в точке эластична; если наклон секущей больше абсолютного значения наклона касательной, то кривая в этой точке неэластична. ^[6] Если касательная линия продлена до горизонтальной оси, проблема заключается просто в сравнении углов, образованных линиями и горизонтальной осью. Если предельный угол больше среднего угла, то функция эластична в точке; если предельный угол меньше среднего угла, то функция в этой точке неэластична. Однако если следовать соглашению, принятому экономистами, и отобразить независимую переменную P на вертикальной оси, а зависимую переменную Q на горизонтальной оси, то будут применяться противоположные правила.

Ту же графическую процедуру можно применить к функции снабжения или другим функциям.

Полуэластичность

Полуэластичность (или полуэластичность) дает процентное изменение f(x) в терминах изменения (не в процентном отношении) x . Алгебраически полуэластичность S функции f в точке x равна ^[7]^[8]

Sf(x)={\frac {1}{f(x)}}f'(x)={\frac {d\ln f(x)}{dx}}

Полуэластичность будет постоянной для экспоненциальных функций вида $f(x)=C\alpha ^{x}$ с,

\ln {f}=\ln {C\alpha ^{x}}=\ln {C}+x\ln {\alpha }\implies {\frac {d\ln {f}}{dx}}=\ln {\alpha }.

Примером полуэластичности является модифицированная дюрация при торговле облигациями.

В литературе иногда используется противоположное определение. То есть термин «полуэластичность» также иногда используется для обозначения изменения (не в процентном отношении) f(x) в терминах процентного изменения x. ^[9] что было бы

{\frac {df(x)}{d\ln(x)}}={\frac {df(x)}{dx}}x

См. также

Ссылки

^ Эластичность также можно определить, если входные и/или выходные данные постоянно отрицательны или просто находятся вдали от любых точек, где входные или выходные данные равны нулю, но на практике эластичность используется для положительных величин.
^ Jump up to: ^а ^б Сидсетер, Кнут ; Хаммонд, Питер (1995). Математика для экономического анализа . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл. стр. 173–175 . ISBN 013583600X .
^ Зеленюк, Валентин (2013). «Примечание об эквивалентности при измерении отдачи от масштаба» . Международный журнал бизнеса и экономики . 12 (1): 85–89 и см. ссылки там.
^ Зеленюк, Валентин (2013). «Масштабная мера эластичности для функции направленного расстояния и ее двойственной функции: теория и оценка DEA» . Европейский журнал операционных исследований . 228 (3): 592–600. дои : 10.1016/j.ejor.2013.01.012 .
^ Вудс, Дж. Х.; Сауро, Ее Величество (апрель 1997 г.). «Эластичность в анализе метаболического контроля: алгебраический вывод упрощенных выражений» . Компьютерные приложения в биологических науках . 13 (2): 123–30. дои : 10.1093/биоинформатика/13.2.123 . ПМИД 9146958 .
^ Чан; Уэйнрайт (2005). Фундаментальные методы математической экономики (4-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. стр. 192–193. ISBN 0070109109 .
^ Вулдридж, Джеффри (2003). Вводная эконометрика: современный подход (2-е изд.). Юго-Западный. п. 656. ИСБН 0-324-11364-1 .
^ Уайт, Лоуренс Генри (1999). Теория денежных институтов . Молден: Блэквелл. п. 148. ИСБН 0-631-21214-0 .
^ «Stata 17 помогает увеличить прибыль» .

Дальнейшее чтение

Нивергельт, Ив (1983). «Концепция эластичности в экономике». Обзор СИАМ . 25 (2): 261–265. дои : 10.1137/1025049 .

[1] Эластичность также можно определить, если входные и/или выходные данные постоянно отрицательны или просто находятся вдали от любых точек, где входные или выходные данные равны нулю, но на практике эластичность используется для положительных величин.

[sydsaeter-2] Jump up to: ^а ^б Сидсетер, Кнут ; Хаммонд, Питер (1995). Математика для экономического анализа . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл. стр. 173–175 . ISBN 013583600X .

[3] Зеленюк, Валентин (2013). «Примечание об эквивалентности при измерении отдачи от масштаба» . Международный журнал бизнеса и экономики . 12 (1): 85–89 и см. ссылки там.

[4] Зеленюк, Валентин (2013). «Масштабная мера эластичности для функции направленного расстояния и ее двойственной функции: теория и оценка DEA» . Европейский журнал операционных исследований . 228 (3): 592–600. дои : 10.1016/j.ejor.2013.01.012 .

[5] Вудс, Дж. Х.; Сауро, Ее Величество (апрель 1997 г.). «Эластичность в анализе метаболического контроля: алгебраический вывод упрощенных выражений» . Компьютерные приложения в биологических науках . 13 (2): 123–30. дои : 10.1093/биоинформатика/13.2.123 . ПМИД 9146958 .

[6] Чан; Уэйнрайт (2005). Фундаментальные методы математической экономики (4-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. стр. 192–193. ISBN 0070109109 .

[7] Вулдридж, Джеффри (2003). Вводная эконометрика: современный подход (2-е изд.). Юго-Западный. п. 656. ИСБН 0-324-11364-1 .

[8] Уайт, Лоуренс Генри (1999). Теория денежных институтов . Молден: Блэквелл. п. 148. ИСБН 0-631-21214-0 .

[9] «Stata 17 помогает увеличить прибыль» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]