Теорема Эйлера в геометрии

Теорема Эйлера:
$d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}$

В геометрии утверждает , Эйлера что расстояние d между центром описанной окружности и центром треугольника теорема определяется выражением $$d^{2}=R(R-2r)$$или эквивалентно $${\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},$$где $R$ и $r$ обозначают соответственно радиус описанной и вписанной окружности (радиусы описанной окружности и вписанной окружности соответственно). Теорема названа в честь Леонарда Эйлера , опубликовавшего ее в 1765 году. Однако тот же результат был опубликован ранее Уильямом Чапплом в 1746 году.

Из теоремы следует неравенство Эйлера : $$R\geq 2r,$$что справедливо с равенством только в равностороннем случае.

Усиленная версия неравенства

Более сильная версия является $${\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,$$где $a$, $b$, и $c$ — длины сторон треугольника.

Теорема Эйлера для описанной окружности

Если $r_{a}$ и $d_{a}$ обозначаем соответственно радиус вписанной окружности, противоположной вершине $A$ и расстояние между его центром и центром описанная окружность, то $d_{a}^{2}=R(R+2r_{a})$.

Неравенство Эйлера в абсолютной геометрии

справедливо неравенство Эйлера в форме, утверждающей, что для всех треугольников, вписанных в данную окружность, максимум радиуса вписанной окружности достигается для равностороннего треугольника и только для него В абсолютной геометрии .

См. также

• Теорема Фусса о связи одних и тех же трех переменных в вписанных четырехугольниках
• Теорема Понселе о замыкании , показывающая, что существует бесконечное количество треугольников с одинаковыми двумя окружностями (и, следовательно, одинаковыми R , r и d )
• Гипотеза Игана , обобщение на более высокие измерения
• Список неравенств треугольника

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Формула треугольника Эйлера» , MathWorld