Формула Карди

В физике формула Карди дает энтропию двумерной конформной теории поля (КТП). В последние годы эта формула оказалась особенно полезной при расчете энтропии черных дыр BTZ и проверке соответствия AdS/CFT и голографического принципа .

В 1986 году Дж. Л. Карди вывел формулу: ^[1]

S=2\pi {\sqrt {{\tfrac {c}{6}}{\bigl (}L_{0}-{\tfrac {c}{24}}{\bigr )}}},

Здесь $c$ это центральный заряд , $L_{0}=ER$ является произведением полной энергии и радиуса системы, а также смещения $c/24$ связано с эффектом Казимира . Эти данные получены из алгебры Вирасоро этой ЦФТ. Доказательство приведенной выше формулы основано на модульной инвариантности евклидовой КТП на торе.

Под формулой Карди обычно понимают подсчет числа состояний энергии. $\Delta =L_{0}+{\bar {L}}_{0}$ ЦФТ, квантованной по окружности. Точнее, микроканоническая энтропия (т. е. логарифм числа состояний в оболочке шириной $\delta \lesssim 1$ ) определяется

S_{\delta }(\Delta )=2\pi {\sqrt {\frac {c\Delta }{3}}}+O(\ln \Delta )

в пределе $\Delta \to \infty$ . Эту формулу можно превратить в строгую оценку. ^[2]

В 2000 году Э. Верлинде распространил это на некоторые сильно связанные (n + 1)-мерные КТМ. ^[3] Результирующая формула Карди-Верлинде была получена путем изучения Вселенной с преобладанием радиации с помощью метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера.

ds^{2}=-dt^{2}+R^{2}(t)\Omega _{n}^{2}

где R — радиус n-мерной сферы в момент времени t. Излучение представлено (n+1)-мерной КТМ. Энтропия этого CFT тогда определяется формулой

S={\frac {2\pi R}{n}}{\sqrt {E_{c}(2E-E_{c})}},

где E _c — эффект Казимира, а E — полная энергия. Приведенная выше сокращенная формула дает максимальную энтропию

S\leq S_{max}={\frac {2\pi RE}{n}},

когда E _c = E, что является границей Бекенштейна . Формула Карди-Верлинде позже была показана Кутасовым и Ларсеном. ^[4] быть недействительным для слабо взаимодействующих ЦФТ. Фактически, поскольку энтропия CFT более высокой размерности (то есть n>1) зависит именно от маргинальных связей, считается, что формула Карди для энтропии недостижима, когда n>1.

См. также

Ссылки

^ Карди, Джон (1986), Операторное содержание двумерной конформной теории инвариантов , Nucl. Физ. Б, том. 270 186
^ Мухаметжанов, Баур; Жибоедов, Александр (2019). «Модулярная инвариантность, тауберовы теоремы и микроканоническая энтропия» . Журнал физики высоких энергий . 2019 (10). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа». arXiv : 1904.06359 . дои : 10.1007/jhep10(2019)261 . ISSN 1029-8479 .
^ Верлинде, Эрик (2000). «О голографическом принципе во Вселенной с преобладанием радиации». arXiv : hep-th/0008140 .
^ Д. Кутасов и Ф. Ларсен (2000). «Суммы разделов и границы энтропии в слабосвязанной CFT». Журнал физики высоких энергий . 2001 : 001. arXiv : hep-th/0009244 . Бибкод : 2001JHEP...01..001K . дои : 10.1088/1126-6708/2001/01/001 .

Карлип, Стивен (2005), «Конформная теория поля, (2+1)-мерная гравитация и черная дыра BTZ», Классическая и квантовая гравитация , 22 : R85–R123, arXiv : gr-qc/0503022 , Bibcode : 2005CQGra ..22R..85C , doi : 10.1088/0264-9381/22/12/R01

[Cardy1986-1] Карди, Джон (1986), Операторное содержание двумерной конформной теории инвариантов , Nucl. Физ. Б, том. 270 186

[Mukhametzhanov_Zhiboedov_2019_p.-2] Мухаметжанов, Баур; Жибоедов, Александр (2019). «Модулярная инвариантность, тауберовы теоремы и микроканоническая энтропия» . Журнал физики высоких энергий . 2019 (10). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа». arXiv : 1904.06359 . дои : 10.1007/jhep10(2019)261 . ISSN 1029-8479 .

[Verlinde2000-3] Верлинде, Эрик (2000). «О голографическом принципе во Вселенной с преобладанием радиации». arXiv : hep-th/0008140 .

[KutasovLarsen-4] Д. Кутасов и Ф. Ларсен (2000). «Суммы разделов и границы энтропии в слабосвязанной CFT». Журнал физики высоких энергий . 2001 : 001. arXiv : hep-th/0009244 . Бибкод : 2001JHEP...01..001K . дои : 10.1088/1126-6708/2001/01/001 .

[1]

[2]

[3]

[4]