Zolotarev polynomials

В математике полиномы Золотарева — это полиномы, используемые в теории приближений . Иногда их используют как альтернативу полиномам Чебышева , где точность аппроксимации вблизи начала координат имеет меньшее значение. Полиномы Золотарева отличаются от полиномов Чебышева тем, что два коэффициента фиксированы заранее, а не могут принимать любое значение. Полиномы Чебышева первого рода являются частным случаем полиномов Золотарева. Эти многочлены были введены русским математиком Егором Ивановичем Золотаревым в 1868 году.

Определение и свойства

Полиномы Золотарева степени $n$ в $x$ имеют форму

$Z_{n}(x,\sigma )=x^{n}-\sigma x^{n-1}+\cdots +a_{k}x^{k}+\cdots +a_{0}\ ,$

где $\sigma$ является предписанным значением для $a_{n-1}$ и $a_{k}\in \mathbb {R}$ в противном случае выбираются так, чтобы отклонение $Z_{n}(x)$ от нуля является минимальным в интервале $[-1,1]$.

Подмножество полиномов Золотарева можно выразить через полиномы Чебышева первого рода: $T_{n}(x)$. Для

$0\leq \sigma \leq {\dfrac {1}{n}}\tan ^{2}{\dfrac {\pi }{2n}}$

затем

$Z_{n}(x,\sigma )=(1+\sigma )^{n}T_{n}\left({\frac {x-\sigma }{1+\sigma }}\right)\ .$

Для значений $\sigma$ больше максимума этого диапазона, полиномы Золотарева могут быть выражены через эллиптические функции . Для $\sigma =0$полином Золотарева идентичен эквивалентному полиному Чебышева. Для отрицательных значений $\sigma$, полином можно найти из полинома положительного значения,

$Z_{n}(x,-\sigma )=(-1)^{n}Z_{n}(-x,\sigma )\ .$

Полином Золотарева можно разложить в сумму полиномов Чебышева, используя соотношение

$Z_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}T_{k}(x)\ .$

Полином Золотарева 8-й степени (слева) и 9-й степени (справа). Шкала x помечена как частота прототипа , как это было бы сделано при использовании полинома в конструкции фильтра.

В терминах эллиптических функций Якоби

Первоначальное решение задачи аппроксимации, данное Золотаревым, было в терминах эллиптических функций Якоби . Золотарев дал общее решение, где количество нулей слева от пикового значения ( $q$) на интервале $[-1,1]$ не равно числу нулей справа от этого пика ( $p$). Степень полинома равна $n=p+q$. Для многих приложений $p=q$ используется и только тогда $n$ необходимо учитывать. Общие полиномы Золотарева определяются как

$Z_{n}(x|\kappa )={\frac {(-1)^{p}}{2}}\left[\left({\dfrac {H(u-v)}{H(u+v)}}\right)^{n}+\left({\dfrac {H(u+v)}{H(u-v)}}\right)^{n}\right]$

где

$u=F\left(\left.\operatorname {sn} \left(\left.v\right|\kappa \right){\sqrt {\dfrac {1+x}{x+2\operatorname {sn} ^{2}\left(\left.v\right|\kappa \right)-1}}}\right|\kappa \right)$

$v={\dfrac {p}{n}}K(\kappa )$

$H(\varphi )$ Якоби — эта-функция

$F(\varphi |\kappa )$ – неполный эллиптический интеграл первого рода

$K(\kappa )$ — четвертьволновой полный эллиптический интеграл первого рода . То есть, $K(\kappa )=F\left(\left.{\frac {\pi }{2}}\right|\kappa \right)$

$\kappa$ Якоби - эллиптический модуль

$\operatorname {sn} (\varphi |\kappa )$ – эллиптический синус Якоби .

Изменение функции в интервале [−1,1] равноравномерное, за исключением одного пика, который больше остальных. Положение и ширину этого пика можно установить независимо. Положение пика определяется выражением

$x_{\text{max}}=1-2\operatorname {sn} ^{2}(v|\kappa )+2{\dfrac {\operatorname {sn} (v|\kappa )\operatorname {cn} (v|\kappa )}{\operatorname {dn} (v|\kappa )}}Z(v|\kappa )$

где

$\operatorname {cn} (\varphi |\kappa )$ Якоби эллиптический косинус

$\operatorname {dn} (\varphi |\kappa )$ - дельта-амплитуда Якоби

$Z(\varphi |\kappa )$ это дзета-функция Якоби

$v$ такое, как определено выше.

Высота пика определяется выражением

$Z_{n}(x_{\text{max}}|\kappa )=\cosh 2n{\bigl (}\sigma _{\text{max}}Z(v|\kappa )-\varPi (\sigma _{\text{max}},v|\kappa ){\bigr )}$

где

$\varPi (\phi _{1},\phi _{2}|\kappa )$ – неполный эллиптический интеграл третьего рода

$\sigma _{\text{max}}=F\left(\left.\sin ^{-1}\left({\dfrac {1}{\kappa \operatorname {sn} (v|\kappa )}}{\sqrt {\dfrac {x_{\text{max}}-x_{\mathrm {L} }}{x_{\text{max}}+1}}}\right)\right|\kappa \right)$

$x_{\mathrm {L} }$ — это положение на левом краю пика, который имеет ту же высоту, что и пики равной пульсации.

Эта-функция Якоби

Эта-функция Якоби может быть определена через вспомогательную тета-функцию Якоби :

$H(\varphi |\kappa )=\theta _{1}(a|b)$

где,

$a={\frac {\pi \varphi }{2K'(\kappa )}}$

$b=\exp \left(-{\frac {\pi K'(\kappa )}{K(\kappa )}}\right)$

$K'(\kappa )=K({\sqrt {1-\kappa ^{2}}})\ .$

Приложения

Полиномы были введены Егором Ивановичем Золотаревым в 1868 году как средство равномерного приближения многочленов степени $x^{n+1}$ на интервале [−1,1]. Пафнутий Чебышев в 1858 году показал, что $x^{n+1}$ в этом интервале можно аппроксимировать полиномом степени не выше $n$ с ошибкой $2^{-n}$. In 1868, Zolotarev showed that $x^{n+1}-\sigma x^{n}$ можно аппроксимировать полиномом степени не выше $n-1$, на два градуса ниже. Ошибка метода Золотарева определяется выражением:

$2^{-n}\left({\dfrac {1+\sigma }{1+n}}\right)^{n+1}\ .$

Процедура была развита Наумом Ахиезером в 1956 году.

Полиномы Золотарева используются при построении фильтров Ахиезера-Золотарева . Впервые они были использованы в этой роли в 1970 году Ральфом Леви при проектировании волноводных СВЧ-фильтров . Фильтры Ахиезера-Золотарева подобны фильтрам Чебышева тем, что они имеют одинаковое затухание пульсаций в полосе пропускания , за исключением того, что затухание превышает заданную пульсацию для пика, ближайшего к источнику.

Полиномы Золотарева могут быть использованы для синтеза диаграмм направленности линейных антенных решеток , впервые предложенных Д.А. Макнамарой в 1985 году. Работа была основана на применении фильтра с углом луча, используемым в качестве переменной вместо частоты. Диаграмма направленности Золотарева имеет боковые лепестки одинакового уровня.

Библиография

• Ачизер, Наум , Гимнан, CJ (транс), Теория аппроксимации , Нью-Йорк: Frederick Ungar Publishing, 1956. Переиздание в Дувре, 2013 г. ISBN   0486495434 .
• Биб, Нельсон Х.Ф., Справочник по вычислениям математических функций , Springer, 2017 г. ISBN   978-3-319-64110-2 .
• Кэмерон, Ричард Дж.; Кудсия, Чандра М.; Мансур, Раафат Р., Микроволновые фильтры для систем связи , John Wiley & Sons, 2018 г. ISBN   1118274342 .
• Хансен, Роберт К., Антенны с фазированной решеткой , Wiley, 2009 г. ISBN   0470529172 .
• Макнамара, Д.А., «Оптимальные моноимпульсные линейные возбуждения с использованием полиномов Золотарева» , Electron , vol. 21, вып. 16, стр. 681–682, август 1985 г.
• Ньюман, Дж., Редди, А.Р., «Рациональные приближения к $x^{n}$ II» , Canadian Journal of Mathematics , том 32, № 2, стр. 310–316, апрель 1980 г.
• Пинкус, Аллан, «Полиномы Золотарева», Хазевинкель, Михил (редактор), Математическая энциклопедия, Приложение III , Springer Science & Business Media, 2001 г. ISBN   1402001983 .
• Влчек, Мирослав, Унбехауэн, Рольф, «Полиномы Золотарева и оптимальные КИХ-фильтры» , IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 47, вып. 3, стр. 717–730, март 1999 г. ( исправления в июле 2000 г.).
• Заградник, Павел; Влчек, Мирослав, «Аналитический дизайн двумерных узкополосных КИХ-фильтров», стр. 56–63, « Вычислительная наука — ICCS 2004: материалы 4-й международной конференции» , Бубак, Мариан; ван Альбада, Герт Д.; Слот, Питер Массачусетс; Донгарра, Джек (редакторы), Springer Science & Business Media, 2004 г. ISBN   3540221298 .