Уравнение Рейнольдса

В механике жидкости (в частности, теории смазки ) уравнение Рейнольдса представляет собой уравнение в частных производных, определяющее распределение давления в тонких вязкой жидкости пленках . Впервые он был выведен Осборном Рейнольдсом в 1886 году. ^[1] Классическое уравнение Рейнольдса можно использовать для описания распределения давления практически в любом типе подшипников с жидкостной пленкой ; тип подшипника, в котором ограничивающие тела полностью разделены тонким слоем жидкости или газа.

Общее использование

Общее уравнение Рейнольдса: ${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(u_{a}+u_{b}\right)}{2}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h\left(v_{a}+v_{b}\right)}{2}}\right)+\rho \left(w_{a}-w_{b}\right)-\rho u_{a}{\frac {\partial h}{\partial x}}-\rho v_{a}{\frac {\partial h}{\partial y}}+h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

Где:

$p$ – давление пленки жидкости.
$x$ и $y$ – координаты ширины и длины подшипника.
$z$ – координата толщины пленки жидкости.
$h$ – толщина пленки жидкости.
$\mu$ вязкость жидкости.
$\rho$ плотность жидкости.
$u,v,w$ - ограничивающие скорости тела в $x,y,z$ соответственно.
$a,b$ — индексы, обозначающие верхнее и нижнее ограничивающие тела соответственно.

Уравнение можно использовать либо с согласованными единицами измерения, либо в безразмерном виде .

Уравнение Рейнольдса предполагает:

Жидкость ньютоновская .
Силы вязкости жидкости преобладают над силами инерции жидкости. В этом и заключается принцип числа Рейнольдса .
Силы жидкостного тела незначительны.
Изменение давления в пленке жидкости пренебрежимо мало (т.е. ${\frac {\partial p}{\partial z}}=0$ )
Толщина пленки жидкости намного меньше ширины и длины, поэтому эффекты кривизны незначительны. (т.е. $h\ll l$ и $h\ll w$ ).

Для некоторых простых геометрических форм подшипников и граничных условий уравнение Рейнольдса можно решить аналитически. Однако часто уравнение приходится решать численно. Часто это включает в себя дискретизацию геометрической области, а затем применение конечного метода — часто FDM , FVM или FEM .

Вывод из Навье-Стокса

Полный вывод уравнения Рейнольдса из уравнения Навье-Стокса можно найти в многочисленных учебниках по смазочным материалам. ^[2]^[3]

Решение уравнения Рейнольдса

В общем, уравнение Рейнольдса необходимо решать с использованием численных методов, таких как метод конечных разностей или метод конечных элементов. Однако в некоторых упрощенных случаях можно получить аналитические или приближенные решения. ^[4]

Для случая твердой сферы с плоской геометрией, стационарного случая и граничных условий полузоммерфельдовской кавитации двумерное уравнение Рейнольдса может быть решено аналитически. Такое решение предложил лауреат Нобелевской премии Петр Капица . Было показано, что граничное условие полузоммерфельда является неточным, и это решение следует использовать с осторожностью.

В случае одномерного уравнения Рейнольдса доступно несколько аналитических или полуаналитических решений. В 1916 году Мартин получил решение замкнутой формы. ^[5] для минимальной толщины пленки и давления для жесткого цилиндра и плоской геометрии. Это решение не является точным для случаев, когда упругая деформация поверхностей вносит существенный вклад в толщину пленки. В 1949 году Грубин получил приближенное решение. ^[6] для так называемой задачи контакта линии упруго-гидродинамической смазки (EHL), где он объединил упругую деформацию и гидродинамический поток смазочного материала. В этом решении предполагалось, что профиль давления соответствует решению Герца . Таким образом, модель точна при высоких нагрузках, когда гидродинамическое давление имеет тенденцию быть близким к контактному давлению Герца. ^[7]

Приложения

Уравнение Рейнольдса используется для моделирования давления во многих приложениях. Например:

Шарикоподшипники
Воздушные подшипники
Опорные подшипники
Пленочные демпферы в авиационных газовых турбинах.
Тазобедренные и коленные суставы человека
Смазанные контакты шестерни

Адаптация уравнения Рейнольдса — модель среднего расхода

В 1978 году Патир и Ченг представили модель среднего расхода. ^[8]^[9] которое модифицирует уравнение Рейнольдса для учета влияния шероховатости поверхности на смазываемые контакты. Модель среднего потока охватывает режимы смазки, при которых поверхности расположены близко друг к другу и/или соприкасаются. В модели среднего потока применяются «коэффициенты потока», чтобы настроить, насколько легко смазке течь в направлении скольжения или перпендикулярно ему. Они также представили условия корректировки расчета контактного сдвига. В этих режимах топография поверхности направляет поток смазки, что, как было показано, влияет на давление смазки и, следовательно, на разделение поверхностей и контактное трение. ^[10]

Было предпринято несколько заметных попыток учесть дополнительные детали контакта при моделировании пленок жидкости в контактах. Лейтон и др. ^[10] представил метод определения коэффициентов потока, необходимых для модели среднего потока с любой измеряемой поверхности. Арфа и Салент ^[11] расширил модель среднего потока, приняв во внимание кавитацию между выступами. Чэнвэй и Линьцин ^[12] использовал анализ распределения вероятностей высоты поверхности, чтобы удалить один из наиболее сложных членов из среднего уравнения Рейнольдса, $d{\bar {h_{T}}}/dh$ и замените его коэффициентом текучести, называемым коэффициентом контактного расхода, $\phi _{h}$ . Нолл и др. рассчитаны коэффициенты текучести с учетом упругой деформации поверхностей. Мэн и др. ^[13] также рассмотрены упругие деформации контактирующих поверхностей.

Работа Патира и Ченга стала предшественником исследований текстурирования поверхности смазываемых контактов. Демонстрация того, как крупномасштабные элементы поверхности создают микрогидродинамическую подъемную силу для разделения пленок и уменьшения трения, но только тогда, когда условия контакта поддерживают это. ^[14]

Модель среднего расхода Патира и Ченга, ^[8]^[9] часто сочетается с моделью взаимодействия шероховатой поверхности Гринвуда и Триппа. ^[15] для моделирования взаимодействия шероховатых поверхностей в нагруженных контактах. ^[10]^[16]

Ссылки

^ Рейнольдс, О. (1886). «О теории смазки и ее применении к экспериментам г-на Бошана Тауэра, включая экспериментальное определение вязкости оливкового масла» . Философские труды Лондонского королевского общества . 177 . Королевское общество: 157–234. дои : 10.1098/rstl.1886.0005 . JSTOR 109480 . S2CID 110829869 .
^ Хэмрок, Бернард Дж.; Шмид, Стивен Р.; Джейкобсон, Бо О. (2004). Основы жидкостной пленочной смазки . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-8247-5371-9 .
^ Шери, Андрас З. (2010). Жидкостная пленочная смазка . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89823-2 .
^ «Уравнение Рейнольдса: вывод и решение» . Tribonet.org . 12 ноября 2016 г. Проверено 10 сентября 2019 г.
^ Акчурин, Айдар (18 февраля 2016 г.). «Аналитическое решение одномерного уравнения Рейнольдса» . Tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 г.
^ Акчурин, Айдар (22 февраля 2016 г.). «Полуаналитическое решение одномерного переходного уравнения Рейнольдса (приближение Грубина)» . Tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 г.
^ Акчурин, Айдар (4 января 2017 г.). «Калькулятор контактов Герца» . Tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 г.
^ Jump up to: ^а ^б Патир, Надир; Ченг, HS (1978). «Модель среднего потока для определения влияния трехмерной шероховатости на частичную гидродинамическую смазку». Журнал смазочных технологий . 100 (1): 12. дои : 10.1115/1.3453103 . ISSN 0022-2305 .
^ Jump up to: ^а ^б Патир, Надир; Ченг, HS (1 апреля 1979 г.). «Применение модели среднего потока к смазке между шероховатыми поверхностями скольжения» . Журнал смазочных технологий . 101 (2): 220–229. дои : 10.1115/1.3453329 . ISSN 0022-2305 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Лейтон; и др. (2016). «Коэффициенты текучести для конкретных поверхностей для прогнозирования трения заштрихованных поверхностей» . Топография поверхности: метрология и свойства . 4 (2): 025002. doi : 10.1088/2051-672x/4/2/025002 . S2CID 111631084 .
^ Харп, Сьюзен Р.; Салант, Ричард Ф. (17 октября 2000 г.). «Модель среднего потока при смазке шероховатой поверхности с межнеровной кавитацией» . Журнал трибологии . 123 (1): 134–143. дои : 10.1115/1.1332397 . ISSN 0742-4787 .
^ Ву, Чэнвэй; Чжэн, Линьцин (1 января 1989 г.). «Среднее уравнение Рейнольдса для частичной пленочной смазки с контактным коэффициентом» . Журнал трибологии . 111 (1): 188–191. дои : 10.1115/1.3261872 . ISSN 0742-4787 .
^ Мэн, FM; Ван, WZ; Ху, Ю.З.; Ван, Х (1 июля 2007 г.). «Численный анализ комбинированного влияния межшероховатой кавитации и упругой деформации на коэффициенты текучести» . Труды Института инженеров-механиков, Часть C: Журнал машиностроительной науки . 221 (7): 815–827. дои : 10.1243/0954406jmes525 . ISSN 0954-4062 . S2CID 137022386 .
^ Моррис, Н.; Лейтон, М; Де ла Крус, М; Рахмани, Р; Ранежат, Х; Хауэлл-Смит, С. (17 ноября 2014 г.). «Совместное численное и экспериментальное исследование микрогидродинамики текстурированных рисунков на основе шевронов, влияющих на контактное трение скользящих контактов» . Труды Института инженеров-механиков, Часть J: Журнал инженерной трибологии . 229 (4): 316–335. дои : 10.1177/1350650114559996 . ISSN 1350-6501 . S2CID 53586245 .
^ Гринвуд, Дж.А.; Трипп, Дж. Х. (июнь 1970 г.). «Соприкосновение двух номинально плоских шероховатых поверхностей» . Труды Института инженеров-механиков . 185 (1): 625–633. дои : 10.1243/pime_proc_1970_185_069_02 . ISSN 0020-3483 .
^ Лейтон, М; Николлс, Т; Де ла Крус, М; Рахмани, Р; Ранежат, Х (12 декабря 2016 г.). «Перспектива комбинированной системы смазка-поверхность: многомасштабное численно-экспериментальное исследование» . Труды Института инженеров-механиков, Часть J: Журнал инженерной трибологии . 231 (7): 910–924. дои : 10.1177/1350650116683784 . ISSN 1350-6501 . S2CID 55438508 .

[Reynolds1886-1] Рейнольдс, О. (1886). «О теории смазки и ее применении к экспериментам г-на Бошана Тауэра, включая экспериментальное определение вязкости оливкового масла» . Философские труды Лондонского королевского общества . 177 . Королевское общество: 157–234. дои : 10.1098/rstl.1886.0005 . JSTOR 109480 . S2CID 110829869 .

[HamrockSchmid2004-2] Хэмрок, Бернард Дж.; Шмид, Стивен Р.; Джейкобсон, Бо О. (2004). Основы жидкостной пленочной смазки . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-8247-5371-9 .

[Szeri2010-3] Шери, Андрас З. (2010). Жидкостная пленочная смазка . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89823-2 .

[trib_Reyn-4] «Уравнение Рейнольдса: вывод и решение» . Tribonet.org . 12 ноября 2016 г. Проверено 10 сентября 2019 г.

[Akchurin2016a-5] Акчурин, Айдар (18 февраля 2016 г.). «Аналитическое решение одномерного уравнения Рейнольдса» . Tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 г.

[Akchurin2016b-6] Акчурин, Айдар (22 февраля 2016 г.). «Полуаналитическое решение одномерного переходного уравнения Рейнольдса (приближение Грубина)» . Tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 г.

[Akchurin2017-7] Акчурин, Айдар (4 января 2017 г.). «Калькулятор контактов Герца» . Tribonet.org . Проверено 10 сентября 2019 г.

[PatirCheng1978-8] Jump up to: ^а ^б Патир, Надир; Ченг, HS (1978). «Модель среднего потока для определения влияния трехмерной шероховатости на частичную гидродинамическую смазку». Журнал смазочных технологий . 100 (1): 12. дои : 10.1115/1.3453103 . ISSN 0022-2305 .

[:0-9] Jump up to: ^а ^б Патир, Надир; Ченг, HS (1 апреля 1979 г.). «Применение модели среднего потока к смазке между шероховатыми поверхностями скольжения» . Журнал смазочных технологий . 101 (2): 220–229. дои : 10.1115/1.3453329 . ISSN 0022-2305 .

[:1-10] Jump up to: ^а ^б ^с Лейтон; и др. (2016). «Коэффициенты текучести для конкретных поверхностей для прогнозирования трения заштрихованных поверхностей» . Топография поверхности: метрология и свойства . 4 (2): 025002. doi : 10.1088/2051-672x/4/2/025002 . S2CID 111631084 .

[11] Харп, Сьюзен Р.; Салант, Ричард Ф. (17 октября 2000 г.). «Модель среднего потока при смазке шероховатой поверхности с межнеровной кавитацией» . Журнал трибологии . 123 (1): 134–143. дои : 10.1115/1.1332397 . ISSN 0742-4787 .

[12] Ву, Чэнвэй; Чжэн, Линьцин (1 января 1989 г.). «Среднее уравнение Рейнольдса для частичной пленочной смазки с контактным коэффициентом» . Журнал трибологии . 111 (1): 188–191. дои : 10.1115/1.3261872 . ISSN 0742-4787 .

[13] Мэн, FM; Ван, WZ; Ху, Ю.З.; Ван, Х (1 июля 2007 г.). «Численный анализ комбинированного влияния межшероховатой кавитации и упругой деформации на коэффициенты текучести» . Труды Института инженеров-механиков, Часть C: Журнал машиностроительной науки . 221 (7): 815–827. дои : 10.1243/0954406jmes525 . ISSN 0954-4062 . S2CID 137022386 .

[14] Моррис, Н.; Лейтон, М; Де ла Крус, М; Рахмани, Р; Ранежат, Х; Хауэлл-Смит, С. (17 ноября 2014 г.). «Совместное численное и экспериментальное исследование микрогидродинамики текстурированных рисунков на основе шевронов, влияющих на контактное трение скользящих контактов» . Труды Института инженеров-механиков, Часть J: Журнал инженерной трибологии . 229 (4): 316–335. дои : 10.1177/1350650114559996 . ISSN 1350-6501 . S2CID 53586245 .

[15] Гринвуд, Дж.А.; Трипп, Дж. Х. (июнь 1970 г.). «Соприкосновение двух номинально плоских шероховатых поверхностей» . Труды Института инженеров-механиков . 185 (1): 625–633. дои : 10.1243/pime_proc_1970_185_069_02 . ISSN 0020-3483 .

[16] Лейтон, М; Николлс, Т; Де ла Крус, М; Рахмани, Р; Ранежат, Х (12 декабря 2016 г.). «Перспектива комбинированной системы смазка-поверхность: многомасштабное численно-экспериментальное исследование» . Труды Института инженеров-механиков, Часть J: Журнал инженерной трибологии . 231 (7): 910–924. дои : 10.1177/1350650116683784 . ISSN 1350-6501 . S2CID 55438508 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]