Поливыпуклая функция

В вариационном исчислении понятие поливыпуклости является обобщением понятия выпуклости для функций, определенных на пространствах матриц . Понятие поливыпуклости было введено Джоном М. Боллом как достаточное условие для доказательства существования минимизаторов энергии в нелинейной теории упругости . ^[1] Этому удовлетворяет большой класс гиперупругих плотностей запасенной энергии, таких как материалы Муни-Ривлина и Огдена . Понятие поливыпуклости связано с понятиями выпуклости , квазивыпуклости и выпуклости первого ранга посредством следующей диаграммы: ^[2]

f{\text{ convex}}\implies f{\text{ polyconvex}}\implies f{\text{ quasiconvex}}\implies f{\text{ rank-one convex}}

Мотивация

Позволять $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ быть открытой ограниченной областью, $u:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ и $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ обозначим пространство Соболева отображений из $\Omega$ к $\mathbb {R} ^{m}$ . Типичная задача вариационного исчисления — минимизация функционала, $E:W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})\rightarrow \mathbb {R}$ формы

E[u]=\int _{\Omega }f(x,\nabla u(x))dx

,

где функция плотности энергии, $f:\Omega \times \mathbb {R} ^{m\times n}\rightarrow [0,\infty )$ удовлетворяет $p$ -рост, т.е. $|f(x,A)|\leq M(1+|A|^{p})$ для некоторых $M>0$ и $p\in (1,\infty )$ . и Ачерби-Фуско известно Из теоремы Морри , что необходимое и достаточное условие $E$ до слабо- нижне-полунепрерывного на $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ это что $f(x,\cdot )$ квазивыпуклая почти для каждого $x\in \Omega$ . С о принудительности предположениями $f$ и граничные условия на $u$ , это приводит к существованию минимизаторов для $E$ на $W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})$ . ^[3] Однако во многих приложениях предположение о $p$ -рост плотности энергии часто бывает слишком ограничительным. В контексте эластичности это связано с тем, что энергия должна неограниченно расти до $+\infty$ поскольку местные меры объема приближаются к нулю. Это побудило Болла определить более ограничительное понятие поливыпуклости, чтобы доказать существование минимизаторов энергии в нелинейной упругости.

Определение

Функция $f:\mathbb {R} ^{m\times n}\rightarrow \mathbb {R}$ называется многовыпуклым ^[4] если существует выпуклая функция $\Phi :\mathbb {R} ^{\tau (m,n)}\rightarrow \mathbb {R}$ такой, что

f(F)=\Phi (T(F))

где $T:\mathbb {R} ^{m\times n}\rightarrow \mathbb {R} ^{\tau (m,n)}$ таков, что

T(F):=(F,{\text{adj}}_{2}(F),...,{\text{adj}}_{m\wedge n}(F)).

Здесь, ${\text{adj}}_{s}$ обозначает матрицу всех $s\times s$ миноры матрицы $F\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ , $2\leq s\leq m\wedge n:=\min(m,n)$ и

\tau (m,n):=\sum _{s=1}^{m\wedge n}\sigma (s),

где $\sigma (s):={\binom {m}{s}}{\binom {n}{s}}$ .

Когда $m=n=2$ , $T(F)=(F,\det F)$ и когда $m=n=3$ , $T(F)=(F,{\text{cof}}\,F,\det F)$ , где ${\text{cof}}\,F$ обозначает матрицу- кофактор $F$ .

В приведенных выше определениях диапазон $f$ также может быть расширен до $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ .

Характеристики

Если $f$ принимает только конечные значения, то из поливыпуклости следует квазивыпуклость, что приводит к слабой полунепрерывности снизу соответствующего интегрального функционала на пространстве Соболева.

Если $m=1$ или $n=1$ , то поливыпуклость сводится к выпуклости.

Если $f$ поливыпукло, то оно локально липшицево .

Поливыпуклые функции субквадратичного роста должны быть выпуклыми, т. е. если существует $\alpha \geq 0$ и $0\leq p<2$ такой, что

f(F)\leq \alpha (1+|F|^{p})

для каждого

F\in \mathbb {R} ^{m\times n}

, затем

f

является выпуклым.

Примеры

Любая выпуклая функция является поливыпуклой.
Для случая $m=n$ , определительная функция поливыпуклая, но не выпуклая. В частности, следующий тип функции, который обычно встречается в нелинейной упругости, является поливыпуклым, но не выпуклым:

f(A)={\begin{cases}{\frac {1}{\det(A)}},&\det(A)>0;\\+\infty ,&\det(A)\leq 0;\end{cases}}

Ссылки

^ Болл, Джон М. (1976). «Условия выпуклости и теоремы существования в нелинейной упругости» (PDF) . Архив рациональной механики и анализа . 63 (4). Спрингер: 337–403. дои : 10.1007/BF00279992 .
^ Дакоронья, Бернар (2008). Прямые методы вариационного исчисления . Прикладные математические науки. Том. 78 (2-е изд.). Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО. п. 156. дои : 10.1007/978-0-387-55249-1 . ISBN 978-0-387-35779-9 .
^ Риндлер, Филип (2018). Вариационное исчисление . Университеттекст. Спрингер Интернэшнл Паблишинг АГ. п. 124-125. дои : 10.1007/978-3-319-77637-8 . ISBN 978-3-319-77636-1 .
^ Дакоронья, Бернар (2008). Прямые методы вариационного исчисления . Прикладные математические науки. Том. 78 (2-е изд.). Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО. п. 157. дои : 10.1007/978-0-387-55249-1 . ISBN 978-0-387-35779-9 .

[1] Болл, Джон М. (1976). «Условия выпуклости и теоремы существования в нелинейной упругости» (PDF) . Архив рациональной механики и анализа . 63 (4). Спрингер: 337–403. дои : 10.1007/BF00279992 .

[2] Дакоронья, Бернар (2008). Прямые методы вариационного исчисления . Прикладные математические науки. Том. 78 (2-е изд.). Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО. п. 156. дои : 10.1007/978-0-387-55249-1 . ISBN 978-0-387-35779-9 .

[3] Риндлер, Филип (2018). Вариационное исчисление . Университеттекст. Спрингер Интернэшнл Паблишинг АГ. п. 124-125. дои : 10.1007/978-3-319-77637-8 . ISBN 978-3-319-77636-1 .

[4] Дакоронья, Бернар (2008). Прямые методы вариационного исчисления . Прикладные математические науки. Том. 78 (2-е изд.). Спрингер Сайенс+Бизнес Медиа, ООО. п. 157. дои : 10.1007/978-0-387-55249-1 . ISBN 978-0-387-35779-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]