Теорема Фробениуса (теория групп)
В математике , особенно в групп , теорема Фробениуса утверждает, что если n делит порядок теории конечной группы G , то число решений x н = 1 кратно n . Он был введен Фробениусом ( 1903 ).
С этим связана гипотеза Фробениуса (поскольку она доказана , но не Фробениусом), которая гласит, что если предыдущее верно, и число решений x н = 1 равно n , то решения образуют нормальную подгруппу .
Заявление
[ редактировать ]Более общая версия теоремы Фробениуса гласит, что если C — класс сопряженности с h элементами конечной группы G с g элементами и n — целое положительное число , то количество элементов k таких, что k н находится в C, кратен наибольшему общему делителю ( hn , g ) ( Холл 1959 , теорема 9.1.1).
Приложения
[ редактировать ]что коэффициенты экспоненты Артина-Хассе являются целыми p , интерпретируя их в терминах количества элементов порядка степени p в симметричной группе Sn . Одно из применений теоремы Фробениуса состоит в том, чтобы показать ,
Гипотеза Фробениуса
[ редактировать ]Фробениус предположил , что если вдобавок число решений задачи x н = 1 равно n , где n делит порядок G , то эти решения образуют нормальную подгруппу. Это было доказано ( Иёри и Ямаки 1991 ) как следствие классификации конечных простых групп .
Симметричная группа S 3 имеет ровно 4 решения задачи x 4 = 1 , но они не образуют нормальную подгруппу; это не контрпример к гипотезе, поскольку 4 не делит порядок S 3, который равен 6.
Ссылки
[ редактировать ]- Фробениус, Г. (1903), «Об одной фундаментальной теореме теории групп» , Берл. Бер. (на немецком языке): 987–991, номер документа : 10.3931/e-rara-18876 , JFM 34.0153.01 .
- Холл, Маршалл (1959), Теория групп , Macmillan, LCCN 59005035 , MR 0103215
- Иёри, Нобуо; Ямаки, Хироёси (октябрь 1991 г.), «О гипотезе Фробениуса» (PDF) , Bull. амер. Математика. Соц. , 25 (2): 413–416, doi : 10.1090/S0273-0979-1991-16084-2