Теорема фон Штаудта – Клаузена

В теории чисел теорема фон Штаудта–Клаузена является результатом, определяющим дробную часть чисел Бернулли , найденную независимо путем Карл фон Штаудт ( 1840 г. ) и Томас Клаузен ( 1840 г. ).

В частности, если $n$ — положительное целое число и мы добавляем $1/ p$ к числу Бернулли $B 2 n$ для каждого простого $числа p$ такого, что $p - 1$ делит $2 n$ , тогда мы получаем целое число; то есть,

$B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} .$

Этот факт сразу позволяет охарактеризовать знаменатели ненулевых чисел Бернулли $B 2 n$ как произведение всех простых чисел $p$ таких, что $p - 1$ делит $2 n$ ; следовательно, знаменатели свободны от квадратов и делятся на 6.

Эти знаменатели

6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... (последовательность A002445 в OEIS ) .

Последовательность целых чисел $B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}$ является

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, -6, 56, -528, 6193, -86579, 1425518, -27298230, ... (последовательность A000146 в OEIS ).

Доказательство

Доказательство теоремы фон Штаудта – Клаузена следует из явной формулы для чисел Бернулли:

B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}{\frac {1}{j+1}}\sum _{m=0}^{j}{(-1)^{m}{j \choose m}m^{2n}}

и как следствие:

B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}{\frac {j!}{j+1}}(-1)^{j}S(2n,j)

где $S (n, j)$ — числа Стирлинга второго рода .

Кроме того, необходимы следующие леммы:

Пусть $p$ — простое число; затем

1 . Если $p - 1$ делит $2 n$ , то

\sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv {-1}{\pmod {p}}.

2 . Если $p - 1$ не делит $2 n$ , то

\sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv 0{\pmod {p}}.

Доказательство (1) и (2) следует : Из малой теоремы Ферма :

m^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}

для $m = 1, 2, ..., p - 1$ .

Если $p - 1$ делит $2 n$ , то имеем

m^{2n}\equiv 1{\pmod {p}}

для $m = 1, 2, ..., p - 1$ . После этого у человека

\sum _{m=1}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n}\equiv \sum _{m=1}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}{\pmod {p}},

откуда непосредственно следует (1) .

Если $p - 1$ не делит $2 n$ , то по теореме Ферма имеем

m^{2n}\equiv m^{2n-(p-1)}{\pmod {p}}.

Если положить $℘ = ⌊ 2 n / (p - 1) ⌋$ , то после итерации получим

m^{2n}\equiv m^{2n-\wp (p-1)}{\pmod {p}}

для $m = 1, 2, ..., p - 1$ и $0 < 2 n - ℘(p - 1) < p - 1$ .

После этого у человека

\sum _{m=0}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n}\equiv \sum _{m=0}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n-\wp (p-1)}{\pmod {p}}.

Лемма (2) теперь следует из вышесказанного и того факта, что $S (n, j) = 0$ при $j > n$ .

(3) . Легко вывести, что для $a > 2$ и $b > 2$ ab $делит$ ( $ab - 1)!$ .

(4). Числа Стирлинга второго рода являются целыми числами .

Теперь мы готовы доказать теорему.

Если $j + 1$ составное и $j > 3$ , то из (3) j $+ 1$ делит $j!$ .

Для $j = 3$ ,

\sum _{m=0}^{3}(-1)^{m}{\binom {3}{m}}m^{2n}=3\cdot 2^{2n}-3^{2n}-3\equiv 0{\pmod {4}}.

Если $j + 1$ простое число, то мы используем (1) и (2) , а если $j + 1$ составное, то мы используем (3) и (4) для вывода

B_{2n}=I_{n}-\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}},

где $I n$ представляет собой целое число, по желанию. ^[1]^[2]

См. также

Сравнение Куммера

Ссылки

^ Х. Радемахер, Аналитическая теория чисел, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1973.
^ Т.М. Апостол, Введение в аналитическую теорию чисел, Springer-Verlag, 1976.

Клаузен, Томас (1840), «Теорема», Astronomische Nachrichten , 17 (22): 351–352, doi : 10.1002/asna.18400172204
Радо, Р. (1934), «Новое доказательство теоремы В. Штаудта», J. London Math. Соц. , 9 (2): 85–88, doi : 10.1112/jlms/s1-9.2.85
фон Штаудт, Ч. (1840), «Доказательство теоремы о числах Бернулли» , Журнал чистой и прикладной математики , 21 : 372–374, ISSN 0075-4102 , ЭРАМ 021.0672cj

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Теорема фон Штаудта-Клаузена» . Математический мир .

[1] Х. Радемахер, Аналитическая теория чисел, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1973.

[2] Т.М. Апостол, Введение в аналитическую теорию чисел, Springer-Verlag, 1976.

[1]

[2]