Трансформация без запаха

Преобразование без запаха (UT) — это математическая функция, используемая для оценки результата применения данного нелинейного преобразования к распределению вероятностей, которое характеризуется только с точки зрения конечного набора статистических данных. Наиболее распространенное использование преобразования без запаха — нелинейное проецирование оценок среднего и ковариации в контексте нелинейных расширений фильтра Калмана . Его создатель Джеффри Ульманн объяснил, что «без запаха» — это произвольное название, которое он принял, чтобы его не называли «фильтром Ульмана». ^[1]

Фон

Многие методы фильтрации и управления представляют оценки состояния системы в форме среднего вектора и связанной с ним ковариационной матрицы ошибок. Например, предполагаемое двумерное положение интересующего объекта может быть представлено вектором среднего положения: $[x,y]$ с неопределенностью, заданной в виде ковариационной матрицы 2x2, дающей дисперсию $x$ , дисперсия в $y$ и перекрестная ковариация между ними. Ковариация, равная нулю, означает, что нет никакой неопределенности или ошибки и что положение объекта соответствует точному значению, заданному средним вектором.

Представление среднего и ковариационного представления дает только первые два момента основного, но в остальном неизвестного распределения вероятностей. В случае движущегося объекта неизвестное распределение вероятностей может отражать неопределенность положения объекта в данный момент времени. Среднее и ковариационное представление неопределенности математически удобно, поскольку любое линейное преобразование $T$ можно применить к среднему вектору $m$ и ковариационная матрица $M$ как $Tm$ и $TMT^{\mathrm {T} }$ . Это свойство линейности не сохраняется для моментов, выходящих за пределы первого исходного момента (среднего значения) и второго центрального момента (ковариации), поэтому обычно невозможно определить среднее значение и ковариацию, возникающие в результате нелинейного преобразования, поскольку результат зависит от всех моменты, и даны только первые два.

Хотя ковариационная матрица часто рассматривается как ожидаемая квадратичная ошибка, связанная со средним значением, на практике матрица поддерживается как верхняя граница фактической квадратичной ошибки. В частности, среднее значение и ковариационная оценка $(m,M)$ поддерживается консервативно, так что ковариационная матрица $M$ больше или равно фактическому квадрату ошибки, связанному с $m$ . Математически это означает, что результат вычитания ожидаемого квадрата ошибки (который обычно неизвестен) из $M$ — полуопределенная или положительно определенная матрица . Причина сохранения консервативной оценки ковариации заключается в том, что большинство алгоритмов фильтрации и управления будут иметь тенденцию расходиться (потерпеть неудачу), если ковариация недооценена. Это связано с тем, что ложно малая ковариация подразумевает меньшую неопределенность и заставляет фильтр придавать больший вес (достоверность), чем оправдано точностью среднего значения.

Возвращаясь к приведенному выше примеру, когда ковариация равна нулю, определить местоположение объекта после его перемещения в соответствии с произвольной нелинейной функцией тривиально. $f(x,y)$ : просто примените функцию к среднему вектору. Когда ковариация не равна нулю, преобразованное среднее значение обычно не будет равно $f(x,y)$ и невозможно даже определить среднее значение преобразованного распределения вероятностей только на основе его предварительного среднего и ковариации. Учитывая эту неопределенность, нелинейно преобразованное среднее значение и ковариация могут быть только аппроксимированы. Самое раннее приближение заключалось в линеаризации нелинейной функции и применении полученной матрицы Якобиана к заданному среднему значению и ковариации. Это основа расширенного фильтра Калмана (EKF), и хотя было известно, что во многих случаях он давал плохие результаты, в течение многих десятилетий не было практической альтернативы.

Мотивация для трансформации без запаха

В 1994 году Джеффри Ульманн отметил, что EKF берет нелинейную функцию и информацию о частичном распределении (в форме средней и ковариационной оценки) состояния системы, но применяет приближение к известной функции, а не к неточно известному распределению вероятностей. . Он предположил, что лучшим подходом было бы использование точной нелинейной функции, применяемой к аппроксимирующему распределению вероятностей. Мотивация такого подхода изложена в его докторской диссертации, где термин «трансформация без запаха» : впервые был определен ^[2]

Рассмотрим следующую интуицию: при фиксированном количестве параметров должно быть проще аппроксимировать данное распределение, чем аппроксимировать произвольную нелинейную функцию/преобразование . Следуя этой интуиции, цель состоит в том, чтобы найти параметризацию, которая фиксирует информацию о среднем значении и ковариации, и в то же время позволяет прямое распространение информации через произвольный набор нелинейных уравнений. Этого можно достичь путем создания дискретного распределения, имеющего одинаковые первый и второй (и, возможно, более высокие) моменты, где каждая точка дискретного приближения может быть напрямую преобразована. Затем среднее значение и ковариацию преобразованного ансамбля можно вычислить как оценку нелинейного преобразования исходного распределения. В более общем смысле, применение данного нелинейного преобразования к дискретному распределению точек, рассчитанное таким образом, чтобы получить набор известных статистических данных неизвестного распределения, называется преобразованием без запаха. .

Другими словами, данная информация о среднем и ковариации может быть точно закодирована в наборе точек, называемых сигма-точками , которые, если рассматривать их как элементы дискретного распределения вероятностей, имеют среднее значение и ковариацию, равные заданному среднему значению и ковариации. распространить, Это распределение можно точно применив нелинейную функцию к каждой точке. Среднее значение и ковариация преобразованного набора точек тогда представляют собой желаемую преобразованную оценку. Принципиальное преимущество подхода состоит в том, что нелинейная функция используется в полной мере, в отличие от ЭКФ, заменяющей ее линейной. Устранение необходимости линеаризации также дает преимущества, независимые от какого-либо улучшения качества оценки. Одним из непосредственных преимуществ является то, что UT можно применять к любой заданной функции, тогда как линеаризация может быть невозможна для функций, которые не дифференцируемы. Практическое преимущество состоит в том, что UT может быть проще реализовать, поскольку он позволяет избежать необходимости выводить и реализовывать линеаризующую матрицу Якобиана.

Сигма-очки

Чтобы вычислить преобразование без запаха, сначала нужно выбрать набор сигма-точек. Со времени плодотворной работы Ульмана в литературе было предложено множество различных наборов сигма-точек. Подробный обзор этих вариантов можно найти в работе Menegaz et al. ^[3] В общем, $n+1$ сигма-точки необходимы и достаточны для определения дискретного распределения, имеющего заданное среднее значение и ковариацию в $n$ размеры. ^[2]

Канонический набор сигма-точек — это симметричный набор, первоначально предложенный Ульманом. Рассмотрим вершины равностороннего треугольника с центром в начале координат в двух измерениях:

s_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[0,2\right]^{\mathrm {T} },\quad s_{2}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\sqrt {3}},1\right]^{\mathrm {T} },\quad s_{3}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[-{\sqrt {3}},1\right]^{\mathrm {T} }

Можно проверить, что приведенный выше набор точек имеет среднее значение $s=\left[0,0\right]^{\mathrm {T} },\quad$ и ковариация $S=I$ (единичная матрица). Учитывая любое двумерное среднее значение и ковариацию, $(x,X)$ , желаемые сигма-точки можно получить, умножив каждую точку на матричный квадратный корень из $X$ и добавление $x$ . Подобный канонический набор сигма-точек может быть создан в любом количестве измерений. $n$ взяв нулевой вектор и точки, составляющие строки единичной матрицы, вычислив среднее значение набора точек, вычитая среднее значение из каждой точки так, чтобы полученный набор имел среднее значение, равное нулю, а затем вычисляя ковариацию нулевых значений. среднее множество точек и применение его обратного к каждой точке так, чтобы ковариация набора была равна единице.

Ульман показал, что можно удобно генерировать симметричный набор $2n+1$ сигма-точки из столбцов $\pm {\sqrt {nX}}$ и нулевой вектор, где $X$ — заданная ковариационная матрица без необходимости вычисления обратной матрицы. Он эффективен в вычислительном отношении и, поскольку точки образуют симметричное распределение, фиксирует третий центральный момент (перекос) всякий раз, когда основное распределение оценки состояния известно или может считаться симметричным. ^[2] Он также показал, что веса, в том числе отрицательные, можно использовать для воздействия на статистику набора. Жюльер также разработал и исследовал методы создания сигма-точек для учета третьего момента (перекоса) произвольного распределения и четвертого момента (эксцесса) симметричного распределения. ^[4]^[5]

Пример

Преобразование без запаха определяется для применения данной функции к любой частичной характеристике неизвестного в противном случае распределения, но его наиболее часто используют в случае, когда заданы только среднее значение и ковариация. Типичным примером является преобразование из одной системы координат в другую, например, из декартовой системы координат в полярные координаты. ^[4]

Предположим, что двумерное среднее и ковариационная оценка: $(m,M)$ , задается в декартовых координатах:

m=[12.3,7.6]^{\mathrm {T} },\quad M={\begin{bmatrix}1.44&0\\0&2.89\end{bmatrix}}

и функция преобразования в полярные координаты, $f(x,y)\rightarrow [r,\theta ]$ , является:

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)

Умножив каждую из сигма-точек канонического симплекса (приведенных выше) на $M^{\frac {1}{2}}={\begin{bmatrix}1.2&0\\0&1.7\end{bmatrix}}$ и добавив среднее значение, $m$ , дает:

{\begin{aligned}m_{1}&=[0,2.40]+[12.3,7.6]=[12.3,10.0]\\m_{2}&=[-1.47,-1.20]+[12.3,7.6]=[10.8,6.40]\\m_{3}&=[1.47,-1.20]+[12.3,7.6]=[13.8,6.40]\end{aligned}}

Применение функции преобразования $f()$ к каждому из вышеперечисленных пунктов дает:

{\begin{aligned}{m^{+}}_{1}&=f(12.3,10.0)=[15.85,0.68]\\{m^{+}}_{2}&=f(10.8,6.40)=[12.58,0.53]\\{m^{+}}_{3}&=f(13.8,6.40)=[15.18,0.44]\end{aligned}}

Среднее значение этих трех преобразованных точек, $m_{UT}={\frac {1}{3}}\Sigma _{i=1}^{3}{m^{+}}_{i}$ , — UT-оценка среднего значения в полярных координатах:

m_{UT}=[14.539,0.551]

UT-оценка ковариации:

M_{UT}={\frac {1}{3}}\Sigma _{i=1}^{3}\left({m^{+}}_{i}-m_{UT}\right)^{2}

где каждый квадрат члена суммы представляет собой векторное внешнее произведение. Это дает:

M_{UT}={\begin{bmatrix}2.00&0.0443\\0.0443&0.0104\end{bmatrix}}

Это можно сравнить с линеаризованным средним значением и ковариацией:

{\begin{aligned}m_{\text{linear}}&=f(12.3,7.6)=[14.46,0.554]^{\mathrm {T} }\\M_{\text{linear}}&=\nabla _{f}M\nabla _{f}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1.927&0.047\\0.047&0.011\end{bmatrix}}\end{aligned}}

Абсолютная разница между UT и линеаризованными оценками в этом случае относительно невелика, но в фильтрующих приложениях совокупный эффект небольших ошибок может привести к неустранимому расхождению оценки. Влияние ошибок усугубляется, когда ковариация недооценивается, поскольку это приводит к чрезмерной уверенности фильтра в точности среднего значения. В приведенном выше примере можно видеть, что линеаризованная оценка ковариации меньше, чем оценка UT, что позволяет предположить, что линеаризация, вероятно, привела к занижению фактической ошибки среднего значения.

В этом примере невозможно определить абсолютную точность UT и линеаризованных оценок без достоверных данных в форме фактического распределения вероятностей, связанного с исходной оценкой, а также среднего значения и ковариации этого распределения после применения нелинейного преобразования (например, , как определено аналитически или посредством численного интегрирования). Такой анализ был выполнен для преобразований координат в предположении гауссовости основных распределений, и оценки UT имеют тенденцию быть значительно более точными, чем оценки, полученные в результате линеаризации. ^[6]^[7]

Эмпирический анализ показал, что использование минимального симплексного набора $n+1$ сигма-точек значительно менее точны, чем использование симметричного набора $2n$ точки, когда основное распределение является гауссовым. ^[7] Это говорит о том, что использование симплексного набора в приведенном выше примере не будет лучшим выбором, если базовое распределение, связанное с $(m,M)$ является симметричным. Даже если базовое распределение не является симметричным, симплексный набор все равно будет менее точным, чем симметричный набор, поскольку асимметрия симплексного набора не соответствует асимметрии фактического распределения.

Возвращаясь к примеру, минимальный симметричный набор сигма-точек можно получить из ковариационной матрицы $M={\begin{bmatrix}1.44&0\\0&2.89\end{bmatrix}}$ просто как средний вектор, $m=[12.3,7.6]$ плюс и минус столбцы $(2M)^{1/2}={\sqrt {2}}*{\begin{bmatrix}1.2&0\\0&1.7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.697&0\\0&2.404\end{bmatrix}}$ :

{\begin{aligned}m_{1}&=[12.3,7.6]+[1.697,0]=[13.997,7.6]\\m_{2}&=[12.3,7.6]-[1.697,0]=[10.603,7.6]\\m_{3}&=[12.3,7.6]+[0,2.404]=[12.3,10.004]\\m_{4}&=[12.3,7.6]-[0,2.404]=[12.3,5.196]\end{aligned}}

Эта конструкция гарантирует, что среднее значение и ковариация вышеупомянутых четырех сигм-точек равны $(m,M)$ , что можно непосредственно проверить. Применение нелинейной функции $f()$ каждой из сигм-точек дает:

{\begin{aligned}{m^{+}}_{1}&=[15.927,0.497]\\{m^{+}}_{2}&=[13.045,0.622]\\{m^{+}}_{3}&=[15.854,0.683]\\{m^{+}}_{4}&=[13.352,0.400]\end{aligned}}

Среднее значение этих четырех преобразованных сигма-точек, $m_{UT}={\frac {1}{4}}\Sigma _{i=1}^{4}{m'}_{i}$ , — UT-оценка среднего значения в полярных координатах:

m_{UT}=[14.545,0.550]

UT-оценка ковариации:

M_{UT}={\frac {1}{4}}\Sigma _{i=1}^{4}({m^{+}}_{i}-m_{UT})^{2}

где каждый квадрат члена суммы представляет собой векторное внешнее произведение. Это дает:

M_{UT}={\begin{bmatrix}1.823&0.043\\0.043&0.012\end{bmatrix}}

Разница между UT и линеаризованными средними оценками дает меру влияния нелинейности преобразования. Например, когда преобразование линейное, UT и линеаризованные оценки будут идентичны. Это побуждает использовать квадрат этой разницы для добавления к UT-ковариации, чтобы предотвратить недооценку фактической ошибки среднего значения. Этот подход не повышает точность среднего значения, но может со временем значительно повысить точность фильтра за счет уменьшения вероятности недооценки ковариации. ^[2]

Оптимальность трансформации без запаха

Ульманн отметил, что, учитывая только среднее значение и ковариацию неизвестного в противном случае распределения вероятностей, проблема преобразования нечетко определена, поскольку существует бесконечное количество возможных основных распределений с одинаковыми первыми двумя моментами. Без какой-либо априорной информации или предположений о характеристиках основного распределения любой выбор распределения, используемый для вычисления преобразованного среднего значения и ковариации, столь же разумен, как и любой другой. Другими словами, не существует выбора распределения с заданным средним значением и ковариацией, превосходящего тот, который обеспечивается набором сигма-точек, поэтому преобразование без запаха тривиально оптимально.

Это общее утверждение об оптимальности, конечно, бесполезно для каких-либо количественных утверждений о характеристиках UT, например, по сравнению с линеаризацией; следовательно, он, Жюльер и другие провели анализ при различных предположениях о характеристиках распределения и/или форме функции нелинейного преобразования. Например, если функция дифференцируема, что важно для линеаризации, этот анализ подтверждает ожидаемое и эмпирически подтвержденное превосходство преобразования без запаха. ^[6]^[7]

Приложения

Преобразование без запаха можно использовать для разработки нелинейного обобщения фильтра Калмана, известного как фильтр Калмана без запаха (UKF) . Этот фильтр в значительной степени заменил EKF во многих приложениях нелинейной фильтрации и управления, в том числе для подводной эксплуатации. ^[8] наземная и воздушная навигация, ^[9] и космический корабль. ^[10] Преобразование без запаха также использовалось в качестве вычислительной основы для оптимального управления Римана-Стилтьеса. ^[11] Этот вычислительный подход известен как оптимальное управление без запаха . ^[12]^[13]

Фильтр Калмана без запаха

Ульманн и Саймон Жюльер опубликовали несколько статей, показывающих, что использование преобразования без запаха в фильтре Калмана , который называется фильтром Калмана без запаха (UKF), обеспечивает значительное улучшение производительности по сравнению с EKF в различных приложениях. ^[14]^[4]^[6]Жюльер и Ульманн опубликовали статьи, в которых использовалась определенная параметризованная форма преобразования без запаха в контексте UKF, который использовал отрицательные веса для сбора предполагаемой информации о распределении. ^[14]^[6] Эта форма UT подвержена множеству числовых ошибок, которых не страдают исходные формулировки (симметричный набор, первоначально предложенный Ульманом). Впоследствии Жюльер описал параметризованные формы, которые не используют отрицательные веса и не подвержены этим проблемам. ^[15]

См. также

Ссылки

^ «Из первых рук: трансформация без запаха — вики по истории техники и технологий» .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Ульманн, Джеффри (1995). Построение динамических карт и локализация: новые теоретические основы (кандидатская диссертация). Оксфордский университет.
^ Менегаз, Энрике М.Т.; Жоао, Ю. Исихара; БОРХЕС, Геовани А.; Варгас, Алессандро Н. (16 февраля 2015 г.). «Систематизация теории фильтра Калмана без запаха». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 60 (10): 2583–2598. дои : 10.1109/TAC.2015.2404511 . hdl : 20.500.11824/251 . S2CID 12606055 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Жюльер, С.; Дж. Ульманн (1997). «Последовательный несмещенный метод преобразования между полярной и декартовой системами координат». Материалы конференции SPIE 1997 года по обнаружению, отслеживанию и наведению . Том. 3086. ШПИОН.
^ Жюльер, Саймон (1998). «Искаженный подход к фильтрации». Материалы 12-го Международного форума. Симп. Об аэрокосмическом и оборонном зондировании, моделировании и управлении . Том. 3373. ШПИОН.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Жюльер, Саймон; Ульманн, Джеффри (2000). «Новый метод нелинейного преобразования средних и ковариаций в нелинейных фильтрах». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 45 (3): 477–482. дои : 10.1109/9.847726 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Чжан, В.; М. Лю; З. Чжао (2009). «Анализ точности трансформации без запаха нескольких стратегий отбора проб». Учеб. 10-го Международного Конф. по разработке программного обеспечения, искусственному интеллекту, сетям и параллельным/распределенным вычислениям . АКИС.
^ Ву, Л.; Дж. Ма; Дж. Тиан (2010). «Самоадаптивная фильтрация Калмана без запаха для подводной гравитационной навигации». Учеб. планов IEEE/ION .
^ Эль-Шейми, Н.; Шин, Э.Х.; Ню, X (2006). «Противодействие фильтру Калмана: расширенные и неароматизированные фильтры Калмана для интегрированного GPS и инерциальной MEMS». Внутри GNSS: инженерные решения для сообщества глобальных навигационных спутниковых систем . 1 (2).
^ Крассидис, Дж.; Маркли, Ф. (2003). «Фильтрация без запаха для оценки ориентации космического корабля». Журнал руководства, контроля и динамики . 26 (4): 536–542. Бибкод : 2003JGCD...26..536C . дои : 10.2514/2.5102 .
^ Росс, И. Майкл; Пру, Рональд Дж.; Карпенко, Марк; Гун, Ци (июль 2015 г.). «Задачи оптимального управления Римана – Стилтьеса для неопределенных динамических систем» . Журнал руководства, контроля и динамики . 38 (7): 1251–1263. Бибкод : 2015JGCD...38.1251R . дои : 10.2514/1.G000505 . S2CID 121424228 .
^ И. М. Росс, Р. Дж. Пру и М. Карпенко, «Оптимальное управление космическим полетом без запаха», Труды 24-го Международного симпозиума по динамике космического полета (ISSFD) , 5–9 мая 2014 г., Лорел, доктор медицины. http://issfd.org/ISSFD_2014/ISSFD24_Paper_S12-5_Karpенко.pdf
^ Росс, И. Майкл; Пру, Рональд Дж.; Карпенко, Марк (июль 2015 г.). «Неароматизированное руководство». Американская конференция по контролю (ACC), 2015 г. стр. 5605–5610. дои : 10.1109/ACC.2015.7172217 . ISBN 978-1-4799-8684-2 . S2CID 28136418 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Жюльер, С.; Дж. Ульманн (1997). «Новое расширение фильтра Калмана для нелинейных систем». Материалы конференции SPIE 1997 года по обработке сигналов, слиянию датчиков и распознаванию целей . Том. 3068.
^ Жюльер, Саймон (2002). «Масштабная трансформация без запаха». Материалы Американской конференции по контролю . Том. 6. ИИЭР.

[1] «Из первых рук: трансформация без запаха — вики по истории техники и технологий» .

[uthesis-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Ульманн, Джеффри (1995). Построение динамических карт и локализация: новые теоретические основы (кандидатская диссертация). Оксфордский университет.

[menegaz-3] Менегаз, Энрике М.Т.; Жоао, Ю. Исихара; БОРХЕС, Геовани А.; Варгас, Алессандро Н. (16 февраля 2015 г.). «Систематизация теории фильтра Калмана без запаха». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 60 (10): 2583–2598. дои : 10.1109/TAC.2015.2404511 . hdl : 20.500.11824/251 . S2CID 12606055 .

[debiased-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с Жюльер, С.; Дж. Ульманн (1997). «Последовательный несмещенный метод преобразования между полярной и декартовой системами координат». Материалы конференции SPIE 1997 года по обнаружению, отслеживанию и наведению . Том. 3086. ШПИОН.

[5] Жюльер, Саймон (1998). «Искаженный подход к фильтрации». Материалы 12-го Международного форума. Симп. Об аэрокосмическом и оборонном зондировании, моделировании и управлении . Том. 3373. ШПИОН.

[tac-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Жюльер, Саймон; Ульманн, Джеффри (2000). «Новый метод нелинейного преобразования средних и ковариаций в нелинейных фильтрах». Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 45 (3): 477–482. дои : 10.1109/9.847726 .

[acis-7] Перейти обратно: ^а ^б ^с Чжан, В.; М. Лю; З. Чжао (2009). «Анализ точности трансформации без запаха нескольких стратегий отбора проб». Учеб. 10-го Международного Конф. по разработке программного обеспечения, искусственному интеллекту, сетям и параллельным/распределенным вычислениям . АКИС.

[8] Ву, Л.; Дж. Ма; Дж. Тиан (2010). «Самоадаптивная фильтрация Калмана без запаха для подводной гравитационной навигации». Учеб. планов IEEE/ION .

[9] Эль-Шейми, Н.; Шин, Э.Х.; Ню, X (2006). «Противодействие фильтру Калмана: расширенные и неароматизированные фильтры Калмана для интегрированного GPS и инерциальной MEMS». Внутри GNSS: инженерные решения для сообщества глобальных навигационных спутниковых систем . 1 (2).

[10] Крассидис, Дж.; Маркли, Ф. (2003). «Фильтрация без запаха для оценки ориентации космического корабля». Журнал руководства, контроля и динамики . 26 (4): 536–542. Бибкод : 2003JGCD...26..536C . дои : 10.2514/2.5102 .

[rsc-11] Росс, И. Майкл; Пру, Рональд Дж.; Карпенко, Марк; Гун, Ци (июль 2015 г.). «Задачи оптимального управления Римана – Стилтьеса для неопределенных динамических систем» . Журнал руководства, контроля и динамики . 38 (7): 1251–1263. Бибкод : 2015JGCD...38.1251R . дои : 10.2514/1.G000505 . S2CID 121424228 .

[uoc-2014-12] И. М. Росс, Р. Дж. Пру и М. Карпенко, «Оптимальное управление космическим полетом без запаха», Труды 24-го Международного симпозиума по динамике космического полета (ISSFD) , 5–9 мая 2014 г., Лорел, доктор медицины. http://issfd.org/ISSFD_2014/ISSFD24_Paper_S12-5_Karpенко.pdf

[uoc-2015-13] Росс, И. Майкл; Пру, Рональд Дж.; Карпенко, Марк (июль 2015 г.). «Неароматизированное руководство». Американская конференция по контролю (ACC), 2015 г. стр. 5605–5610. дои : 10.1109/ACC.2015.7172217 . ISBN 978-1-4799-8684-2 . S2CID 28136418 .

[new-14] Перейти обратно: ^а ^б Жюльер, С.; Дж. Ульманн (1997). «Новое расширение фильтра Калмана для нелинейных систем». Материалы конференции SPIE 1997 года по обработке сигналов, слиянию датчиков и распознаванию целей . Том. 3068.

[15] Жюльер, Саймон (2002). «Масштабная трансформация без запаха». Материалы Американской конференции по контролю . Том. 6. ИИЭР.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]