Расширенный фильтр Калмана

В теории оценивания расширенный фильтр Калмана ( EKF ) является нелинейной версией фильтра Калмана , который линеаризует оценку текущего среднего значения и ковариации . В случае четко определенных моделей перехода рассматривается EKF. ^[1] фактический стандарт в теории нелинейной оценки состояния, навигационных системах и GPS . ^[2]

История

Статьи, устанавливающие математические основы фильтров типа Калмана, были опубликованы в период с 1959 по 1961 год. ^[3]^[4]^[5] Фильтр Калмана является оптимальным линейным средством оценки линейных системные модели с аддитивным независимым белым шумом как в переходной, так и в измерительной системах.К сожалению, в технике большинство систем нелинейны , поэтому были предприняты попытки применитьэтот метод фильтрации для нелинейных систем; большая часть этой работы была проделана в НАСА Эймса . ^[6]^[7] EKF адаптировал методы исчисления , а именно многомерное разложение в ряд Тейлора , для линеаризации модели относительно рабочей точки. Если модель системы (как описано ниже) недостаточно известна или неточна, то методы Монте-Карло , особенно фильтры частиц для оценки используются . Методы Монте-Карло появились еще до появления EKF, но они более затратны в вычислительном отношении для любого пространства состояний средней размерности .

Формулировка

В расширенном фильтре Калмана модели перехода состояний и наблюдения не обязательно должны быть линейными функциями состояния, а могут быть дифференцируемыми функциями.

{\boldsymbol {x}}_{k}=f({\boldsymbol {x}}_{k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1})+{\boldsymbol {w}}_{k-1}

{\boldsymbol {z}}_{k}=h({\boldsymbol {x}}_{k})+{\boldsymbol {v}}_{k}

Здесь w _k и v _k — шумы процесса и наблюдения, которые предполагаются как многомерные гауссовские шумы с нулевым средним значением и ковариацией Q _k и R _k соответственно. u _k – вектор управления.

Функцию f можно использовать для вычисления прогнозируемого состояния на основе предыдущей оценки, и аналогичным образом функцию h можно использовать для вычисления прогнозируемого измерения на основе прогнозируемого состояния. Однако f и h нельзя применить к ковариации напрямую. матрица частных производных ( якобиан Вместо этого вычисляется ).

На каждом временном шаге якобиан оценивается с текущими предсказанными состояниями. Эти матрицы можно использовать в уравнениях фильтра Калмана. Этот процесс по существу линеаризует нелинейную функцию вокруг текущей оценки.

см . в статье «Фильтр Калмана» Замечания по обозначениям .

Уравнения прогнозирования и обновления в дискретном времени

Обозначения ${\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}$ представляет собой оценку $\mathbf {x}$ в момент времени n с учетом наблюдений до момента времени m ≤ n включительно .

Предсказывать

Прогнозируемая оценка состояния	${\hat {\boldsymbol {x}}}_{k\|k-1}=f({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1\|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1})$
Прогнозируемая оценка ковариации	${\boldsymbol {P}}_{k\|k-1}={{\boldsymbol {F}}_{k}}{\boldsymbol {P}}_{k-1\|k-1}{{\boldsymbol {F}}_{k}^{T}}+{\boldsymbol {Q}}_{k-1}$

Обновлять

Инновация или остаток измерения	${\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}={\boldsymbol {z}}_{k}-h({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k\|k-1})$
Инновационная (или остаточная) ковариация	${\boldsymbol {S}}_{k}={{\boldsymbol {H}}_{k}}{\boldsymbol {P}}_{k\|k-1}{{\boldsymbol {H}}_{k}^{T}}+{\boldsymbol {R}}_{k}$
Почти оптимальный коэффициент усиления Калмана	${\boldsymbol {K}}_{k}={\boldsymbol {P}}_{k\|k-1}{{\boldsymbol {H}}_{k}^{T}}{\boldsymbol {S}}_{k}^{-1}$
Обновленная оценка состояния	${\hat {\boldsymbol {x}}}_{k\|k}={\hat {\boldsymbol {x}}}_{k\|k-1}+{\boldsymbol {K}}_{k}{\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}$
Обновленная оценка ковариации	${\boldsymbol {P}}_{k\|k}=({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {K}}_{k}{{\boldsymbol {H}}_{k}}){\boldsymbol {P}}_{k\|k-1}$

где матрицы перехода состояний и наблюдения определяются как следующие якобианы

{{\boldsymbol {F}}_{k}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k}}

{{\boldsymbol {H}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}}

Недостатки и альтернативы

В отличие от своего линейного аналога, расширенный фильтр Калмана в целом не является оптимальным средством оценки (он оптимален, если измерение и модель перехода состояний являются линейными, поскольку в этом случае расширенный фильтр Калмана идентичен обычному). Кроме того, если первоначальная оценка состояния неверна или неправильно смоделирован процесс, фильтр может быстро расходиться из-за своей линеаризации. Другая проблема с расширенным фильтром Калмана заключается в том, что предполагаемая ковариационная матрица имеет тенденцию недооценивать истинную ковариационную матрицу и, следовательно, рискует стать несогласованной в статистическом смысле без добавления «стабилизирующего шума». ^[8].

В более общем плане следует учитывать бесконечномерную природу задачи нелинейной фильтрации и неадекватность простой оценки среднего и дисперсионно-ковариационной оценки для полного представления оптимального фильтра. Следует также отметить, что расширенный фильтр Калмана может давать плохие характеристики даже для очень простых одномерных систем, таких как кубический датчик. ^[9] где оптимальный фильтр может быть бимодальным ^[10] и как таковой не может быть эффективно представлен единым устройством оценки среднего и дисперсии, имеющим богатую структуру, или аналогично квадратичному датчику. ^[11]В таких случаях проекционные фильтры , которые также применялись для навигации. в качестве альтернативы изучались ^[12] другие общие методы нелинейной фильтрации, такие как полные фильтры частиц В этом случае можно рассмотреть .

При этом расширенный фильтр Калмана может обеспечить достаточную производительность и, возможно, является фактическим стандартом в навигационных системах и GPS.

Обобщения

Расширенный фильтр Калмана непрерывного времени

Модель

{\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=f{\bigl (}\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {w} (t)&\mathbf {w} (t)&\sim {\mathcal {N}}{\bigl (}\mathbf {0} ,\mathbf {Q} (t){\bigr )}\\\mathbf {z} (t)&=h{\bigl (}\mathbf {x} (t){\bigr )}+\mathbf {v} (t)&\mathbf {v} (t)&\sim {\mathcal {N}}{\bigl (}\mathbf {0} ,\mathbf {R} (t){\bigr )}\end{aligned}}

Инициализировать

{\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})=E{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]}{\text{, }}\mathbf {P} (t_{0})=Var{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]}

Прогнозирование-обновление

{\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)&=f{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {K} (t){\Bigl (}\mathbf {z} (t)-h{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t){\bigr )}{\Bigr )}\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)&=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{T}-\mathbf {K} (t)\mathbf {H} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {Q} (t)\\\mathbf {K} (t)&=\mathbf {P} (t)\mathbf {H} (t)^{T}\mathbf {R} (t)^{-1}\\\mathbf {F} (t)&=\left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t)}\\\mathbf {H} (t)&=\left.{\frac {\partial h}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t)}\end{aligned}}

В отличие от расширенного фильтра Калмана с дискретным временем, этапы прогнозирования и обновления связаны в расширенном фильтре Калмана с непрерывным временем. ^[13]

Дискретные измерения

Большинство физических систем представлены в виде моделей с непрерывным временем, в то время как измерения в дискретном времени часто проводятся для оценки состояния с помощью цифрового процессора. Таким образом, модель системы и модель измерения имеют вид

{\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=f{\bigl (}\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t){\bigr )}+\mathbf {w} (t)&\mathbf {w} (t)&\sim {\mathcal {N}}{\bigl (}\mathbf {0} ,\mathbf {Q} (t){\bigr )}\\\mathbf {z} _{k}&=h(\mathbf {x} _{k})+\mathbf {v} _{k}&\mathbf {v} _{k}&\sim {\mathcal {N}}(\mathbf {0} ,\mathbf {R} _{k})\end{aligned}}

где $\mathbf {x} _{k}=\mathbf {x} (t_{k})$ .

Инициализировать

{\hat {\mathbf {x} }}_{0|0}=E{\bigl [}\mathbf {x} (t_{0}){\bigr ]},\mathbf {P} _{0|0}=E{\bigl [}\left(\mathbf {x} (t_{0})-{\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})\right)\left(\mathbf {x} (t_{0})-{\hat {\mathbf {x} }}(t_{0})\right)^{T}{\bigr ]}

Предсказывать

{\begin{aligned}{\text{solve }}&{\begin{cases}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=f{\bigl (}{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t){\bigr )}\\{\dot {\mathbf {P} }}(t)=\mathbf {F} (t)\mathbf {P} (t)+\mathbf {P} (t)\mathbf {F} (t)^{T}+\mathbf {Q} (t)\end{cases}}\qquad {\text{with }}{\begin{cases}{\hat {\mathbf {x} }}(t_{k-1})={\hat {\mathbf {x} }}_{k-1|k-1}\\\mathbf {P} (t_{k-1})=\mathbf {P} _{k-1|k-1}\end{cases}}\\\Rightarrow &{\begin{cases}{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}={\hat {\mathbf {x} }}(t_{k})\\\mathbf {P} _{k|k-1}=\mathbf {P} (t_{k})\end{cases}}\end{aligned}}

где

\mathbf {F} (t)=\left.{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\right\vert _{{\hat {\mathbf {x} }}(t),\mathbf {u} (t)}

Обновлять

\mathbf {K} _{k}=\mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {H} _{k}^{T}{\bigl (}\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k|k-1}\mathbf {H} _{k}^{T}+\mathbf {R} _{k}{\bigr )}^{-1}

{\hat {\mathbf {x} }}_{k|k}={\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}+\mathbf {K} _{k}{\bigl (}\mathbf {z} _{k}-h({\hat {\mathbf {x} }}_{k|k-1}){\bigr )}

\mathbf {P} _{k|k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k|k-1}

где

{\textbf {H}}_{k}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\textbf {x}}}}\right\vert _{{\hat {\textbf {x}}}_{k|k-1}}

Уравнения обновления идентичны уравнениям расширенного фильтра Калмана с дискретным временем.

Расширенные фильтры Калмана высшего порядка

Вышеупомянутая рекурсия представляет собой расширенный фильтр Калмана первого порядка (EKF). EKF более высокого порядка можно получить, сохранив больше членов разложений в ряд Тейлора. Например, были описаны EKF второго и третьего порядка. ^[14] Однако EKF более высокого порядка, как правило, обеспечивают выигрыш в производительности только тогда, когда шум измерения невелик.

Формулировка и уравнения неаддитивного шума

Типичная формулировка EKF предполагает аддитивный процесс и шум измерения. Однако это предположение не является необходимым для EKF . реализации ^[15] Вместо этого рассмотрим более общую систему вида:

{\boldsymbol {x}}_{k}=f({\boldsymbol {x}}_{k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1},{\boldsymbol {w}}_{k-1})

{\boldsymbol {z}}_{k}=h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {v}}_{k})

Здесь w _k и v _k — шумы процесса и наблюдения, которые предполагаются как многомерные гауссовские шумы с нулевым средним значением и ковариацией Q _k и R _k соответственно. Тогда уравнения ковариационного прогнозирования и инноваций примут вид

{\boldsymbol {P}}_{k|k-1}={{\boldsymbol {F}}_{k-1}}{{\boldsymbol {P}}_{k-1|k-1}}{{\boldsymbol {F}}_{k-1}^{T}}{+}{{\boldsymbol {L}}_{k-1}}{{\boldsymbol {Q}}_{k-1}}{{\boldsymbol {L}}_{k-1}^{T}}

{\boldsymbol {S}}_{k}={{\boldsymbol {H}}_{k}}{{\boldsymbol {P}}_{k|k-1}}{{\boldsymbol {H}}_{k}^{T}}{+}{{\boldsymbol {M}}_{k}}{{\boldsymbol {R}}_{k}}{{\boldsymbol {M}}_{k}^{T}}

где матрицы ${\boldsymbol {L}}_{k-1}$ и ${\boldsymbol {M}}_{k}$ являются матрицами Якобиана:

{{\boldsymbol {L}}_{k-1}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {w}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k-1}}

{{\boldsymbol {M}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}}

Оценка прогнозируемого состояния и невязка измерения оцениваются по среднему значению шумов процесса и измерения, которое предполагается равным нулю. В противном случае формулировка неаддитивного шума реализуется таким же образом, как и аддитивный шум EKF .

Неявный расширенный фильтр Калмана

В некоторых случаях модель наблюдения нелинейной системы не может быть решена для ${\boldsymbol {z}}_{k}$ , но может быть выражено неявной функцией :

h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {z'}}_{k})={\boldsymbol {0}}

где ${\boldsymbol {z}}_{k}={\boldsymbol {z'}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k}$ это шумные наблюдения.

Обычный расширенный фильтр Калмана можно применить со следующими заменами: ^[16]^[17]

{{\boldsymbol {R}}_{k}}\leftarrow {{\boldsymbol {J}}_{k}}{{\boldsymbol {R}}_{k}}{{\boldsymbol {J}}_{k}^{T}}

{\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}\leftarrow -h({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1},{\boldsymbol {z}}_{k})

где:

{{\boldsymbol {J}}_{k}}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {z}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1},{\boldsymbol {z}}_{k}}

Здесь исходная ковариационная матрица наблюдения ${{\boldsymbol {R}}_{k}}$ трансформируется, и инновации ${\tilde {\boldsymbol {y}}}_{k}$ определяется по-другому. Матрица Якобиана ${{\boldsymbol {H}}_{k}}$ определяется, как и раньше, но определяется из неявной модели наблюдения $h({\boldsymbol {x}}_{k},{\boldsymbol {z}}_{k})$ .

Модификации

Итерированный расширенный фильтр Калмана

Итерированный расширенный фильтр Калмана улучшает линеаризацию расширенного фильтра Калмана за счет рекурсивного изменения центральной точки разложения Тейлора. Это уменьшает ошибку линеаризации за счет увеличения вычислительных требований. ^[17]

Прочный расширенный фильтр Калмана

Надежный расширенный фильтр Калмана возникает путем линеаризации модели сигнала относительно оценки текущего состояния и использования линейного фильтра Калмана для прогнозирования следующей оценки. Это попытка создать локально оптимальный фильтр, однако он не обязательно стабилен, поскольку не гарантируется, что решения основного уравнения Риккати будут положительно определенными. Одним из способов повышения производительности является искусственный алгебраический метод Риккати. ^[18] который жертвует оптимальностью ради стабильности. Привычная структура расширенного фильтра Калмана сохраняется, но стабильность достигается за счет выбора положительно определенного решения псевдоалгебраического уравнения Риккати для расчета коэффициента усиления.

Другой способ улучшить производительность расширенного фильтра Калмана — использовать результаты H-бесконечности, полученные в результате надежного управления. Надежные фильтры получаются путем добавления положительно определенного члена к расчетному уравнению Риккати. ^[19] Дополнительный член параметризуется скаляром, который разработчик может настроить для достижения компромисса между критериями производительности среднеквадратической ошибки и пиковой ошибки.

Инвариантный расширенный фильтр Калмана

Инвариантный расширенный фильтр Калмана (IEKF) представляет собой модифицированную версию EKF для нелинейных систем, обладающих симметрией (или инвариантностью ). Он сочетает в себе преимущества как EKF, так и недавно представленных фильтров, сохраняющих симметрию . Вместо использования линейного корректирующего члена, основанного на линейной выходной ошибке, IEKF использует геометрически адаптированный корректирующий член, основанный на инвариантной выходной ошибке; таким же образом матрица усиления обновляется не из-за линейной ошибки состояния, а из-за инвариантной ошибки состояния. Основное преимущество заключается в том, что уравнения усиления и ковариации сходятся к постоянным значениям на гораздо большем наборе траекторий, чем в точках равновесия, как в случае с EKF, что приводит к лучшей сходимости оценки.

Фильтры Калмана без запаха

Нелинейный фильтр Калмана, который обещает стать улучшением по сравнению с EKF, — это фильтр Калмана без запаха (UKF). В UKF плотность вероятности аппроксимируется детерминированной выборкой точек, которые представляют основное распределение как гауссово . Нелинейное преобразование этих точек предназначено для оценки апостериорного распределения , моменты которого затем могут быть получены из преобразованных выборок. Преобразование известно как преобразование без запаха . UKF имеет тенденцию быть более надежным и точным, чем EKF, в оценке ошибки во всех направлениях.

«Расширенный фильтр Калмана (EKF), вероятно, является наиболее широко используемым алгоритмом оценки для нелинейных систем. Однако более чем 35-летний опыт работы в области оценки показал, что его сложно реализовать, трудно настроить и он надежен только для систем, которые почти линейны во временной шкале обновлений. Многие из этих трудностей возникают из-за использования линеаризации». ^[1]

В статье 2012 года приводятся результаты моделирования, которые показывают, что некоторые опубликованные варианты UKF не столь точны, как расширенный фильтр Калмана второго порядка (SOEKF), также известный как расширенный фильтр Калмана. ^[20] SOEKF предшествует UKF примерно на 35 лет, причем моментная динамика впервые описана Bass et al. ^[21] Трудность реализации любых фильтров типа Калмана для нелинейных переходов состояний связана с проблемами численной стабильности, необходимой для точности. ^[22] однако UKF не избегает этой трудности, поскольку он также использует линеаризацию, а именно линейную регрессию . Проблемы стабильности для UKF обычно возникают из-за численной аппроксимации квадратного корня из ковариационной матрицы, тогда как проблемы стабильности как для EKF, так и для SOEKF возникают из-за возможных проблем в приближении ряда Тейлора вдоль траектории.

Ансамбль Фильтр Калмана

Фактически, UKF предшествовал фильтру Ансамбля Калмана , изобретенному Эвенсеном в 1994 году. Он имеет преимущество перед UKF в том, что количество используемых членов ансамбля может быть намного меньше, чем размерность состояния, что позволяет применять приложения в очень многомерных системах. , такие как прогноз погоды, с размерами пространства состояний в миллиард или более.

Нечеткий фильтр Калмана

Недавно был предложен нечеткий фильтр Калмана с новым методом представления распределений возможностей для замены распределений вероятностей распределениями возможностей, чтобы получить настоящий возможностный фильтр, позволяющий использовать несимметричные шумы процесса и наблюдения, а также более высокие неточности как в процессе, так и в процессе наблюдения. модели наблюдения. ^[23]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Жюльер, С.Дж.; Ульманн, Дж. К. (2004). «Фильтрация без запаха и нелинейная оценка» (PDF) . Труды IEEE . 92 (3): 401–422. дои : 10.1109/jproc.2003.823141 . S2CID 9614092 .
^ Курсы, Э.; Обзоры, Т. (2006). «Сигма-точечные фильтры: обзор приложений для интегрированной навигации и визуального управления». 2006 Семинар IEEE по нелинейной статистической обработке сигналов . стр. 201–202. дои : 10.1109/NSSPW.2006.4378854 . ISBN 978-1-4244-0579-4 . S2CID 18535558 .
^ Р.Э. Кальман (1960). «Вклад в теорию оптимального управления». Бол. Соц. Мат. Мексикана : 102–119. CiteSeerX 10.1.1.26.4070 .
^ Р.Э. Кальман (1960). «Новый подход к задачам линейной фильтрации и прогнозирования» (PDF) . Журнал фундаментальной инженерии . 82 : 35–45. дои : 10.1115/1.3662552 . S2CID 1242324 .
^ Р.Э. Кальман; Р. С. Бьюси (1961). «Новые результаты в теории линейной фильтрации и прогнозирования» (PDF) . Журнал фундаментальной инженерии . 83 : 95–108. дои : 10.1115/1.3658902 . S2CID 8141345 .
^ Брюс А. МакЭлхо (1966). «Оценка коррекции навигации и курса для пилотируемого облета Марса или Венеры». Транзакции IEEE по аэрокосмическим и электронным системам . 2 (4): 613–623. Бибкод : 1966ITAES...2..613M . дои : 10.1109/TAES.1966.4501892 . S2CID 51649221 .
^ Г.Л. Смит; С.Ф. Шмидт и Л.А. МакГи (1962). «Применение теории статистического фильтра для оптимальной оценки положения и скорости на борту окололунного аппарата» . Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства.
^ Хуан, Гоцюань П; Мурикис, Анастасиос I; Румелиотис, Стергиос I (2008). «Анализ и улучшение согласованности расширенного фильтра Калмана на основе SLAM». Робототехника и автоматизация, 2008. ICRA 2008. Международная конференция IEEE по . стр. 473–479. дои : 10.1109/РОБОТ.2008.4543252 .
^ М. Хазевинкель, С.И. Маркус, Х.Дж. Суссманн (1983). Отсутствие конечномерных фильтров для условной статистики задачи кубического датчика. Системы и контрольные письма 3 (6), страницы 331–340, https://doi.org/10.1016/0167-6911(83)90074-9 .
^ Бриго, Дамиано ; Ханзон, Бернард; ЛеГланд, Франсуа (1998). «Дифференциально-геометрический подход к нелинейной фильтрации: проекционный фильтр» (PDF) . Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 43 (2): 247–252. дои : 10.1109/9.661075 .
^ Армстронг, Джон; Бриго, Дамиано (2016). «Нелинейная фильтрация с помощью стохастической проекции УЧП на смешанные многообразия в прямой метрике L2». Математика управления, сигналов и систем . 28 (1): 1–33. дои : 10.1007/s00498-015-0154-1 . hdl : 10044/1/30130 . S2CID 42796459 .
^ Азими-Саджади, Бабак; Кришнапрасад, П.С. (2005). «Приближенная нелинейная фильтрация и ее применение в навигации». Автоматика . 41 (6): 945–956. дои : 10.1016/j.automatica.2004.12.013 .
^ Браун, Роберт Гровер; Хван, Патрик Ю.К. (1997). Введение в случайные сигналы и прикладную фильтрацию Калмана (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 289–293 . ISBN 978-0-471-12839-7 .
^ Эйнике, Джорджия (2019). Сглаживание, фильтрация и прогнозирование: оценка прошлого, настоящего и будущего (2-е изд.) . Издательство Амазон Прайм. ISBN 978-0-6485115-0-2 .
^ Саймон, Дэн (2006). Оценка оптимального состояния . Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-70858-2 .
^ Цюань, Цюань (2017). Введение в проектирование и управление мультикоптером . Сингапур: Спрингер. ISBN 978-981-10-3382-7 .
^ Jump up to: ^а ^б Чжан, Чжэнъю (1997). «Методы оценки параметров: учебное пособие по применению конической аппроксимации» (PDF) . Вычисление изображений и зрительных образов . 15 (1): 59–76. дои : 10.1016/s0262-8856(96)01112-2 . ISSN 0262-8856 .
^ Эйнике, Джорджия; Уайт, LB; Битмид, Р.Р. (сентябрь 2003 г.). «Использование поддельных алгебраических уравнений Риккати для демодуляции внутри канала». IEEE Транс. Сигнальный процесс . 51 (9): 2288–2293. Бибкод : 2003ITSP...51.2288E . дои : 10.1109/tsp.2003.815376 . hdl : 2440/2403 .
^ Эйнике, Джорджия; Уайт, Л.Б. (сентябрь 1999 г.). «Надежная расширенная фильтрация Калмана». IEEE Транс. Сигнальный процесс . 47 (9): 2596–2599. Бибкод : 1999ITSP...47.2596E . дои : 10.1109/78.782219 .
^ Густавссон, Ф.; Хендеби, Г.; «Некоторые взаимосвязи между расширенными и фильтрами Калмана без запаха», Обработка сигналов, IEEE Transactions, том 60, № 2, стр. 545–555, февраль 2012 г.
^ Р. Басс, В. Норум и Л. Шварц, «Оптимальная многоканальная нелинейная фильтрация (задача оптимальной многоканальной нелинейной фильтрации для оценки минимальной дисперсии состояния n-мерной нелинейной системы, подверженной стохастическим возмущениям)», J. Mathematical Analysis and Applications , том. 16, стр. 152–164, 1966 г.
^ Мохиндер С. Гревал; Ангус П. Эндрюс (2 февраля 2015 г.). Фильтрация Калмана: теория и практика с MATLAB . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-98496-3 .
^ Матиа, Ф.; Хименес, В.; Альварадо, BP; Хабер, Р. (январь 2021 г.). « Нечеткий фильтр Калмана: улучшение его реализации путем переформулирования представления неопределенности ». Система нечетких множеств . 402 : 78–104. дои : 10.1016/j.fss.2019.10.015 . S2CID 209913435 .

Дальнейшее чтение

Андерсон, БДО; Мур, Дж. Б. (1979). Оптимальная фильтрация . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл.

Гелб, А. (1974). Прикладная оптимальная оценка . МТИ Пресс.

Джазвински, Эндрю Х. (1970). Стохастические процессы и фильтрация . Математика в науке и технике. Нью-Йорк: Академическая пресса . стр. 376 . ISBN 978-0-12-381550-7 .

Мэйбек, Питер С. (1979). Стохастические модели, оценка и контроль . Математика в науке и технике. Том. 141–1. Нью-Йорк: Академическая пресса . п. 423. ИСБН 978-0-12-480701-3 .

Внешние ссылки

Оценка положения робота с дифференциальным колесом на основе одометрии и ориентиров

[Julier2004-1] Jump up to: ^а ^б Жюльер, С.Дж.; Ульманн, Дж. К. (2004). «Фильтрация без запаха и нелинейная оценка» (PDF) . Труды IEEE . 92 (3): 401–422. дои : 10.1109/jproc.2003.823141 . S2CID 9614092 .

[Courses2006-2] Курсы, Э.; Обзоры, Т. (2006). «Сигма-точечные фильтры: обзор приложений для интегрированной навигации и визуального управления». 2006 Семинар IEEE по нелинейной статистической обработке сигналов . стр. 201–202. дои : 10.1109/NSSPW.2006.4378854 . ISBN 978-1-4244-0579-4 . S2CID 18535558 .

[Kalman1960-1-3] Р.Э. Кальман (1960). «Вклад в теорию оптимального управления». Бол. Соц. Мат. Мексикана : 102–119. CiteSeerX 10.1.1.26.4070 .

[Kalman1960-4] Р.Э. Кальман (1960). «Новый подход к задачам линейной фильтрации и прогнозирования» (PDF) . Журнал фундаментальной инженерии . 82 : 35–45. дои : 10.1115/1.3662552 . S2CID 1242324 .

[Kalman1961-5] Р.Э. Кальман; Р. С. Бьюси (1961). «Новые результаты в теории линейной фильтрации и прогнозирования» (PDF) . Журнал фундаментальной инженерии . 83 : 95–108. дои : 10.1115/1.3658902 . S2CID 8141345 .

[McElhoe1966-6] Брюс А. МакЭлхо (1966). «Оценка коррекции навигации и курса для пилотируемого облета Марса или Венеры». Транзакции IEEE по аэрокосмическим и электронным системам . 2 (4): 613–623. Бибкод : 1966ITAES...2..613M . дои : 10.1109/TAES.1966.4501892 . S2CID 51649221 .

[Smith1962-7] Г.Л. Смит; С.Ф. Шмидт и Л.А. МакГи (1962). «Применение теории статистического фильтра для оптимальной оценки положения и скорости на борту окололунного аппарата» . Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства.

[8] Хуан, Гоцюань П; Мурикис, Анастасиос I; Румелиотис, Стергиос I (2008). «Анализ и улучшение согласованности расширенного фильтра Калмана на основе SLAM». Робототехника и автоматизация, 2008. ICRA 2008. Международная конференция IEEE по . стр. 473–479. дои : 10.1109/РОБОТ.2008.4543252 .

[9] М. Хазевинкель, С.И. Маркус, Х.Дж. Суссманн (1983). Отсутствие конечномерных фильтров для условной статистики задачи кубического датчика. Системы и контрольные письма 3 (6), страницы 331–340, https://doi.org/10.1016/0167-6911(83)90074-9 .

[brigoieee-10] Бриго, Дамиано ; Ханзон, Бернард; ЛеГланд, Франсуа (1998). «Дифференциально-геометрический подход к нелинейной фильтрации: проекционный фильтр» (PDF) . Транзакции IEEE при автоматическом управлении . 43 (2): 247–252. дои : 10.1109/9.661075 .

[brigomcss-11] Армстронг, Джон; Бриго, Дамиано (2016). «Нелинейная фильтрация с помощью стохастической проекции УЧП на смешанные многообразия в прямой метрике L2». Математика управления, сигналов и систем . 28 (1): 1–33. дои : 10.1007/s00498-015-0154-1 . hdl : 10044/1/30130 . S2CID 42796459 .

[azimi-12] Азими-Саджади, Бабак; Кришнапрасад, П.С. (2005). «Приближенная нелинейная фильтрация и ее применение в навигации». Автоматика . 41 (6): 945–956. дои : 10.1016/j.automatica.2004.12.013 .

[13] Браун, Роберт Гровер; Хван, Патрик Ю.К. (1997). Введение в случайные сигналы и прикладную фильтрацию Калмана (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 289–293 . ISBN 978-0-471-12839-7 .

[14] Эйнике, Джорджия (2019). Сглаживание, фильтрация и прогнозирование: оценка прошлого, настоящего и будущего (2-е изд.) . Издательство Амазон Прайм. ISBN 978-0-6485115-0-2 .

[15] Саймон, Дэн (2006). Оценка оптимального состояния . Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-70858-2 .

[Quan_2017_p.-16] Цюань, Цюань (2017). Введение в проектирование и управление мультикоптером . Сингапур: Спрингер. ISBN 978-981-10-3382-7 .

[Zhang_1997_pp._59–76-17] Jump up to: ^а ^б Чжан, Чжэнъю (1997). «Методы оценки параметров: учебное пособие по применению конической аппроксимации» (PDF) . Вычисление изображений и зрительных образов . 15 (1): 59–76. дои : 10.1016/s0262-8856(96)01112-2 . ISSN 0262-8856 .

[18] Эйнике, Джорджия; Уайт, LB; Битмид, Р.Р. (сентябрь 2003 г.). «Использование поддельных алгебраических уравнений Риккати для демодуляции внутри канала». IEEE Транс. Сигнальный процесс . 51 (9): 2288–2293. Бибкод : 2003ITSP...51.2288E . дои : 10.1109/tsp.2003.815376 . hdl : 2440/2403 .

[19] Эйнике, Джорджия; Уайт, Л.Б. (сентябрь 1999 г.). «Надежная расширенная фильтрация Калмана». IEEE Транс. Сигнальный процесс . 47 (9): 2596–2599. Бибкод : 1999ITSP...47.2596E . дои : 10.1109/78.782219 .

[20] Густавссон, Ф.; Хендеби, Г.; «Некоторые взаимосвязи между расширенными и фильтрами Калмана без запаха», Обработка сигналов, IEEE Transactions, том 60, № 2, стр. 545–555, февраль 2012 г.

[21] Р. Басс, В. Норум и Л. Шварц, «Оптимальная многоканальная нелинейная фильтрация (задача оптимальной многоканальной нелинейной фильтрации для оценки минимальной дисперсии состояния n-мерной нелинейной системы, подверженной стохастическим возмущениям)», J. Mathematical Analysis and Applications , том. 16, стр. 152–164, 1966 г.

[GrewalAndrews2015-22] Мохиндер С. Гревал; Ангус П. Эндрюс (2 февраля 2015 г.). Фильтрация Калмана: теория и практика с MATLAB . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-98496-3 .

[23] Матиа, Ф.; Хименес, В.; Альварадо, BP; Хабер, Р. (январь 2021 г.). « Нечеткий фильтр Калмана: улучшение его реализации путем переформулирования представления неопределенности ». Система нечетких множеств . 402 : 78–104. дои : 10.1016/j.fss.2019.10.015 . S2CID 209913435 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]