Быстрый фильтр Калмана

Быстрый фильтр Калмана (FKF) , разработанный Антти Ланге (род. 1941), является расширением блокировки Гельмерта – Вольфа. ^[1] (HWB) от геодезии до критически важных для безопасности приложений фильтрации Калмана (KF) в реальном времени, таких как навигация GNSS, с точностью до сантиметрового уровня и спутниковые снимки Земли, включая томографию атмосферы.

Мотивация

Фильтры Калмана — важный метод фильтрации для повышения отказоустойчивости широкого спектра систем, включая создание изображений в реальном времени.Обычный фильтр Калмана является оптимальным алгоритмом фильтрации линейных систем. Однако оптимальный фильтр Калмана не является стабильным (т.е. надежным), если условия наблюдаемости и управляемости Калмана не выполняются непрерывно. ^[2] Эти условия очень сложно поддерживать в любой более крупной системе. Это означает, что даже оптимальные фильтры Калмана могут начать расходиться в сторону ложных решений. К счастью, стабильностью оптимального фильтра Калмана можно управлять, отслеживая его дисперсии ошибок, если только их можно надежно оценить (например, с помощью MINQUE ). Однако их точное вычисление требует гораздо больше усилий, чем сама оптимальная фильтрация Калмана. Метод вычислений FKF часто обеспечивает необходимое ускорение и в этом отношении.

Оптимальная калибровка

Параметры калибровки являются типичным примером тех параметров состояния, которые могут создать серьезные проблемы с наблюдаемостью, если узкое окно данных (т.е. слишком мало измерений) постоянно используется фильтром Калмана. ^[3] Наблюдение за приборами на борту орбитальных спутников дает пример оптимальной фильтрации Калмана, когда их калибровка выполняется косвенно на Земле. ^[4] Могут также существовать и другие параметры состояния, которые практически или вообще невозможно наблюдать, если слишком маленькие выборки данных обрабатываются за раз каким-либо фильтром Калмана.

Обратная задача

Вычислительная нагрузка обратной задачи обыкновенного ^[5] Рекурсия Калмана примерно пропорциональна кубу количества измерений, обрабатываемых одновременно. Это число всегда можно установить равным 1, обрабатывая каждое скалярное измерение независимо и (при необходимости) выполняя простой алгоритм предварительной фильтрации для декорреляции этих измерений. Однако для любой большой и сложной системы такая предварительная фильтрация может потребовать вычислений HWB. Любое дальнейшее использование слишком узкого окна входных данных ослабляет наблюдаемость параметров калибровки и, в долгосрочной перспективе, это может привести к серьезным проблемам с управляемостью, совершенно неприемлемыми в приложениях, критически важных для безопасности.

Даже когда одновременно обрабатывается множество измерений, нет ничего необычного в том, что линеаризованная система уравнений становится разреженной, поскольку некоторые измерения оказываются независимыми от некоторых параметров состояния или калибровки.В задачах спутниковой геодезии ^[6] вычислительная нагрузка метода HWB (и FKF) примерно пропорциональна квадрату общего числа только параметров состояния и калибровки, а не миллиардов измерений.

Надежное решение

Надежная оперативная фильтрация Калмана требует непрерывного объединения данных в режиме реального времени. Его оптимальность существенно зависит от использования точных дисперсий и ковариаций между всеми измерениями и оцененным состоянием и параметрами калибровки. Эта ковариационная матрица с большой ошибкой получается путем обращения матрицы из соответствующей системы нормальных уравнений . ^[7] Его матрица коэффициентов обычно разрежена, и точное решение всех оцениваемых параметров можно вычислить с помощью метода HWB (и FKF). ^[7] Оптимальное решение также может быть получено путем исключения Гаусса с использованием других методов разреженной матрицы или некоторых итерационных методов, основанных, например, на вариационном исчислении .Однако эти последние методы могут решить большую матрицу всех дисперсий и ковариаций ошибок только приблизительно, и объединение данных не будет выполняться строго оптимальным образом. Следовательно, долговременная стабильность фильтрации Калмана становится неопределенной, даже если условия наблюдаемости и управляемости Калмана постоянно удовлетворяются.

Описание

Фильтр быстрого Калмана применим только к системам с разреженными матрицами. ^[8] поскольку HWB — это метод инверсии для решения разреженных линейных уравнений (Вольф, 1978).

Матрица разреженных коэффициентов, подлежащая инвертированию, часто может иметь либо блочную, либо полосочно-диагональную (BBD) структуру. Если он является полосочно-диагональным, его можно преобразовать в блочно-диагональную форму, например, с помощью обобщенного канонического корреляционного анализа (gCCA) .

Таким образом, такую большую матрицу можно наиболее эффективно инвертировать блочным способом, используя следующую команду: аналитическая формула обращения :

{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}

Фробениуса , где

A=

большую блочную или полосочно-диагональную (BD) матрицу, которую можно легко инвертировать, и,

(D-CA^{-1}B)=

матрица гораздо меньшего размера, называемая Шура дополнением

A

.

Это метод FKF, который может позволить с помощью вычислений оценить гораздо большее количество параметров состояния и калибровки, чем это может сделать обычная рекурсия Калмана. Их рабочие точности также можно надежно оценить на основе теории квадратичной несмещенной оценки минимальной нормы ( MINQUE ) Ч.Р. Рао и использовать для контроля стабильности этой оптимальной быстрой фильтрации Калмана. ^[9]

Приложения

Метод FKF расширяет очень высокую точность спутниковой геодезии до виртуальной базовой станции (VRS), кинематической съемки в реальном времени (RTK), мобильного позиционирования и сверхнадежной навигации. ^[10] Первыми важными приложениями станут оптимальная калибровка в режиме реального времени глобальных систем наблюдений в метеорологии. ^[11] Геофизика, астрономия и т. д.

Например, система численного прогнозирования погоды (ЧПП) теперь может прогнозировать наблюдения с доверительными интервалами, и, таким образом, можно улучшить их эксплуатационный контроль качества. Внезапное увеличение неопределенности в прогнозировании наблюдений будет указывать на то, что важные наблюдения отсутствуют (проблема наблюдаемости) или происходит непредсказуемое изменение погоды (проблема управляемости). Дистанционное зондирование и получение изображений со спутников частично основано на прогнозируемой информации. Для контроля стабильности обратной связи между этими прогнозами и спутниковыми изображениями требуется быстрый и надежный метод объединения датчиков, который FKF реализует.

Вычислительное преимущество FKF незначительно для приложений, использующих лишь небольшие объемы данных в режиме реального времени. Поэтому необходимо сначала разработать и внедрить в общественное пользование улучшенные встроенные инфраструктуры калибровки и передачи данных, прежде чем персональные гаджеты и межмашинные устройства смогут максимально эффективно использовать FKF.

Ссылки

^ Выполнение комбинированных настроек [Документация к программному обеспечению GPScom] (Технический отчет). Отдел геонаучных исследований NOAA.
^ Кальман, Рудольф (1960). «Новый подход к задачам линейной фильтрации и прогнозирования». Журнал фундаментальной инженерии . 82 (1): 34–45. дои : 10.1115/1.3662552 .
^ Ланге, Антти (2008). «Статистическая калибровка систем наблюдений» (PDF) . Материалы Финского метеорологического института . 22 : 34–45.
^ Якобссон, Б; Нюлунд, М; Олссун, Т; Вандермарк, О; Винтерхав, Э (2001). Калибровка Star Tracker/гироскопа и реконструкция ориентации для научного спутника Odin — результаты полета (PDF) (отчет). Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2007 года.
^ Ланге, Антти (2008). «Статистическая калибровка систем наблюдений» (PDF) . Материалы Финского метеорологического института . 22 : 12–13.
^ Брокман, Эльмар (1997). «Комбинация решений для геодезических и геодинамических приложений глобальной системы позиционирования (GPS)» (PDF) . Геодезически-геофизические работы в Швейцарии (на швейцарском немецком языке). 55 .
^ Jump up to: ^а ^б Странно, Гилберт; Борре, Борре (1997). Линейная алгебра, геодезия и GPS . Уэлсли-Кембридж Пресс. стр. 507–508. ISBN 978-0961408862 .
^ Ланге, Антти (2001). «Одновременная статистическая калибровка измерений задержки сигнала GPS с соответствующими метеорологическими данными». Физика и химия Земли, Часть А: Твердая Земля и геодезия . 26 (6–8). Амстердам: Elsevier Science: 471–473. дои : 10.1016/S1464-1895(01)00086-2 . ISSN 1464-1895 .
^ Ланге, Антти (9 октября 2015 г.). Использование блокировки Гельмерта – Вольфа для диагностики и лечения ошибок GNSS (PDF) (Отчет). Бордо: 22-й Всемирный конгресс ITS. Технический документ ITS-1636.
^ Ланге, Антти (15 октября 2003 г.). Оптимальная фильтрация Калмана для сверхнадежного отслеживания (PDF) . Дистанционное зондирование атмосферы с использованием систем спутниковой навигации. Матера, Италия.
^ Ланге, Антти (1988). Андрес Дж. Осиадач (ред.). Фильтр верхних частот для оптимальной калибровки систем наблюдения с помощью приложений (PDF) . Моделирование и оптимизация больших систем. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета/Кларендон Пресс. стр. 311–327.

Внешние ссылки

ББД - программное обеспечение
ФКФ - формулы
HWB – формулы
Ковариационная матрица ошибок FKF – формулы
Существуют и другие алгоритмы быстрого Калмана, разработанные для специальных целей обработки сигналов, см., например, «Стабилизация алгоритмов быстрого Калмана» в IEEE Xplore.
Рецепты фильтров Калмана для обработки изображений в реальном времени

[fn_1-1] Выполнение комбинированных настроек [Документация к программному обеспечению GPScom] (Технический отчет). Отдел геонаучных исследований NOAA.

[2] Кальман, Рудольф (1960). «Новый подход к задачам линейной фильтрации и прогнозирования». Журнал фундаментальной инженерии . 82 (1): 34–45. дои : 10.1115/1.3662552 .

[3] Ланге, Антти (2008). «Статистическая калибровка систем наблюдений» (PDF) . Материалы Финского метеорологического института . 22 : 34–45.

[4] Якобссон, Б; Нюлунд, М; Олссун, Т; Вандермарк, О; Винтерхав, Э (2001). Калибровка Star Tracker/гироскопа и реконструкция ориентации для научного спутника Odin — результаты полета (PDF) (отчет). Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2007 года.

[5] Ланге, Антти (2008). «Статистическая калибровка систем наблюдений» (PDF) . Материалы Финского метеорологического института . 22 : 12–13.

[6] Брокман, Эльмар (1997). «Комбинация решений для геодезических и геодинамических приложений глобальной системы позиционирования (GPS)» (PDF) . Геодезически-геофизические работы в Швейцарии (на швейцарском немецком языке). 55 .

[fn_4-7] Jump up to: ^а ^б Странно, Гилберт; Борре, Борре (1997). Линейная алгебра, геодезия и GPS . Уэлсли-Кембридж Пресс. стр. 507–508. ISBN 978-0961408862 .

[8] Ланге, Антти (2001). «Одновременная статистическая калибровка измерений задержки сигнала GPS с соответствующими метеорологическими данными». Физика и химия Земли, Часть А: Твердая Земля и геодезия . 26 (6–8). Амстердам: Elsevier Science: 471–473. дои : 10.1016/S1464-1895(01)00086-2 . ISSN 1464-1895 .

[9] Ланге, Антти (9 октября 2015 г.). Использование блокировки Гельмерта – Вольфа для диагностики и лечения ошибок GNSS (PDF) (Отчет). Бордо: 22-й Всемирный конгресс ITS. Технический документ ITS-1636.

[10] Ланге, Антти (15 октября 2003 г.). Оптимальная фильтрация Калмана для сверхнадежного отслеживания (PDF) . Дистанционное зондирование атмосферы с использованием систем спутниковой навигации. Матера, Италия.

[fn_6-11] Ланге, Антти (1988). Андрес Дж. Осиадач (ред.). Фильтр верхних частот для оптимальной калибровки систем наблюдения с помощью приложений (PDF) . Моделирование и оптимизация больших систем. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета/Кларендон Пресс. стр. 311–327.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]