Проекционные фильтры

Проекционные фильтры — это набор алгоритмов, основанных на стохастическом анализе и информационной геометрии или дифференциально-геометрическом подходе к статистике, используемых для поиска приближенных решений задач фильтрации для нелинейных систем в пространстве состояний. Задача фильтрации состоит в оценке ненаблюдаемого сигнала случайной динамической системы на основе частичных зашумленных наблюдений сигнала. Целью является вычисление распределения вероятностей сигнала, зависящего от истории наблюдений, возмущенных шумом. Это распределение позволяет рассчитать всю статистику сигнала с учетом истории наблюдений. Если это распределение имеет плотность, эта плотность удовлетворяет конкретным стохастическим уравнениям в частных производных (SPDE), называемым уравнением Кушнера-Стратоновича или уравнением Закаи. Известно, что плотность нелинейного фильтра развивается в бесконечномерном функциональном пространстве.

Можно выбрать конечномерное семейство плотностей вероятности, например, гауссовские плотности , гауссовские смеси или экспоненциальные семейства , на которых можно аппроксимировать бесконечномерную плотность фильтра. Основная идея проекционного фильтра состоит в том, чтобы использовать геометрическую структуру в выбранных пространствах плотностей для проецирования бесконечномерного СДУ оптимального фильтра на выбранное конечномерное семейство, получая конечномерное стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) для параметра плотность в конечномерном семействе, которая аппроксимирует полную эволюцию фильтра. Для этого выбранное конечномерное семейство снабжается структурой многообразия , как в информационной геометрии . Проекционный фильтр был протестирован в сравнении с оптимальным фильтром для задачи кубического датчика. Проекционный фильтр мог эффективно отслеживать бимодальные плотности оптимального фильтра, которые было бы трудно аппроксимировать с помощью стандартных алгоритмов, таких как расширенный фильтр Калмана . Проекционные фильтры идеально подходят для оперативной оценки, поскольку они быстро внедряются и эффективно работают во времени, обеспечивая конечномерное СДУ для параметра, который можно эффективно реализовать. Проекционные фильтры также являются гибкими, поскольку они позволяют точно настраивать точность аппроксимации путем выбора более богатых аппроксимирующих семейств, а некоторые экспоненциальные семейства делают шаг коррекции в алгоритме проекционной фильтрации точным. Некоторые формулировки совпадают с эвристическими фильтрами предполагаемой плотности. или методами Галёркина . Проекционные фильтры также могут оптимальным образом аппроксимировать полный бесконечномерный фильтр, помимо оптимального приближения только коэффициентов SPDE, в соответствии с точными критериями, такими как минимизация среднеквадратического значения. Проекционные фильтры были изучены Шведским агентством оборонных исследований. а также успешно применяются в различных областях, включая навигацию , динамику океана , квантовую оптику и квантовые системы , оценку диаметра волокон , оценку хаотических временных рядов , обнаружение точек изменения и другие области.

История и развитие

Термин «проекционный фильтр» впервые был предложен в 1987 году Бернардом Ханзоном. а соответствующая теория и числовые примеры были полностью разработаны, расширены и строги во время работы над докторской диссертацией. работа Дамиано Бриго в сотрудничестве с Бернаром Ханзоном и Франсуа ЛеГландом. Эти работы касались проекционных фильтров в расстоянии Хеллингера и информационной метрике Фишера , которые использовались для проектирования оптимального фильтра бесконечномерного SPDE на выбранное экспоненциальное семейство. Экспоненциальное семейство может быть выбрано таким образом, чтобы сделать шаг прогнозирования алгоритма фильтрации точным. Другой тип фильтров проекции, основанный на альтернативной метрике проекции, прямой $L^{2}$ метрика была введена Армстронгом и Бриго (2016). При этой метрике проекционные фильтры на семейства распределений смеси совпадают с фильтрами на основе методов Галеркина . Позже Армстронг, Бриго и Росси Ферруччи (2021) вывести оптимальные проекционные фильтры, которые удовлетворяют определенным критериям оптимальности при аппроксимации бесконечномерного оптимального фильтра. Действительно, проекционные фильтры на основе Стратоновича оптимизировали аппроксимацию отдельных коэффициентов СДДУ на выбранном многообразии, но не решение СДДУ в целом. Эта проблема была решена путем введения оптимальных проекционных фильтров. Нововведение здесь заключается в том, чтобы работать напрямую с исчислением Ито, вместо того, чтобы прибегать к версии уравнения фильтра для исчисления Стратоновича. Это основано на исследованиях геометрии стохастических дифференциальных уравнений Ито на многообразиях на основе струйного расслоения , так называемой 2-струйной интерпретации стохастических дифференциальных уравнений Ито на многообразиях.

Вывод проекционных фильтров

Здесь схематично показано происхождение различных проекционных фильтров.

Проекционные фильтры на основе Стратоновича

Это производное как от исходного фильтра в метрике Хеллингера/Фишера, нарисованного Ханзоном, так и от исходного фильтра в метрике Хеллингера/Фишера. и полностью разработан Бриго, Ханзоном и ЛеГландом, и более поздний проекционный фильтр в прямой метрике L2 Армстронга и Бриго (2016).

Предполагается, что ненаблюдаемый случайный сигнал $X_{t}\in \mathbb {R} ^{m}$ моделируется стохастическим дифференциальным уравнением Ито :

$dX_{t}=f(X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}$

где f и $\sigma \,dW$ являются $\mathbb {R} ^{m}$ ценится и $W_{t}$ является броуновским движением . Предполагается справедливость всех условий регулярности, необходимых для получения результатов, подробности приведены в ссылках. Соответствующий шумный процесс наблюдения $Y_{t}\in \mathbb {R} ^{d}$ моделируется

$dY_{t}=b(X_{t},t)\,dt+dV_{t}$

где $b$ является $\mathbb {R} ^{d}$ ценится и $V_{t}$ является броуновским движением, не зависящим от $W_{t}$. Как упоминалось выше, полный фильтр — это условный фильтр.распространение $X_{t}$ дано предварительный за $X_{0}$и история $Y$ вовремя $t$. Если это распределение имеет плотность, неформально описываемую как

$p_{t}(x)dx=Prob\{X_{t}\in dx|\sigma (Y_{s},s\leq t)\}$

где $\sigma (Y_{s},s\leq t)$ это сигма-поле, созданное историей зашумленных наблюдений $Y$ вовремя $t$, при подходящих технических условиях плотность $p_{t}$ удовлетворяет СДЭ Кушнера-Стратоновича:

$dp_{t}={\cal {L}}_{t}^{*}p_{t}\ dt+p_{t}[b(\cdot ,t)-E_{p_{t}}(b(\cdot ,t))]^{T}[dY_{t}-E_{p_{t}}(b(\cdot ,t))dt]$

где $E_{p}$ это ожидание $E_{p}[h]=\int h(x)p(x)dx,$ и оператор прямой диффузии ${\cal {L}}_{t}^{*}$ является

${\cal {L}}_{t}^{*}p=-\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}[f_{i}(x,t)p_{t}(x)]+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{m}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}[a_{ij}(x,t)p_{t}(x)]$

где $a=\sigma \sigma ^{T}$ и $T$ обозначает транспозицию.Чтобы получить первую версию проекционных фильтров, нужно положить $p_{t}$ СПДЭ в форме Стратоновича. Получается

$dp_{t}={\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p_{t}\,dt-{\frac {1}{2}}\,p_{t}\,[\vert b(\cdot ,t)\vert ^{2}-E_{p_{t}}\{\vert b(\cdot ,t)\vert ^{2}\}]\,dt+p_{t}\,[b(\cdot ,t)-E_{p_{t}}\{b(\cdot ,t)\}]^{T}\circ dY_{t}\ .$

С помощью цепного правила можно сразу же получить SPDE для $d{\sqrt {p_{t}}}$. Чтобы сократить обозначения, можно переписать этот последний SPDE как $dp=F(p)\,dt+G^{T}(p)\circ dY\ ,$

где операторы $F(p)$ и $G^{T}(p)$ определяются как

$F(p)={\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p\,-{\frac {1}{2}}\,p\,[\vert b(\cdot ,t)\vert ^{2}-E_{p}\{\vert b(\cdot ,t)\vert ^{2}\}],$

$G^{T}(p)=p\,[b(\cdot ,t)-E_{p}\{b(\cdot ,t)\}]^{T}.$

Версия с квадратным корнем $d{\sqrt {p}}={\frac {1}{2{\sqrt {p}}}}[F(p)\,dt+G^{T}(p)\circ dY]\ .$

Это СДУП Стратоновича, решения которых развиваются в бесконечномерных функциональных пространствах. Например $p_{t}$ может развиваться в $L^{2}$ (прямая метрика $d_{2}$)

$d_{2}(p_{1},p_{2})=\Vert p_{1}-p_{2}\Vert \ ,\ \ p_{1,2}\in L^{2}$

или ${\sqrt {p_{t}}}$ может развиваться в $L^{2}$ (Метрика Хеллингера $d_{H}$)

$d_{H}({\sqrt {p_{1}}},{\sqrt {p_{2}}})=\Vert {\sqrt {p_{1}}}-{\sqrt {p_{2}}}\Vert ,\ \ \ p_{1,2}\in L^{1}$

где $\Vert \cdot \Vert$ является нормой гильбертова пространства $L^{2}$.В любом случае, $p_{t}$ (или ${\sqrt {p_{t}}}$) не будет развиваться внутри какого-либо конечномерного семейства плотностей,

$S_{\Theta }=\{p(\cdot ,\theta ),\ \theta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{n}\}\ (or\ S_{\Theta }^{1/2}=\{{\sqrt {p(\cdot ,\theta )}},\ \theta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{n}\}).$

Идея проекционного фильтра приближает $p_{t}(x)$ (или ${\sqrt {p_{t}(x)}}$) через конечномерную плотность $p(x,\theta _{t})$ (или ${\sqrt {p(x,\theta _{t})}}$).

Тот факт, что фильтр SPDE имеет форму Стратоновича, позволяет сделать следующее. Поскольку SPDE Стратоновича удовлетворяют правилу цепочки, $F$ и $G$ ведут себя как векторные поля. Таким образом, уравнение характеризуется $dt$ векторное поле $F$ и $dY_{t}$ векторное поле $G$. Для этой версии проекционного фильтра достаточно иметь дело с двумя векторными полями отдельно. Можно проецировать $F$ и $G$ на касательном пространстве плотностей в $S_{\Theta }$ (прямая метрика) или их квадратных корней (метрика Хеллингера). Случай прямой метрики дает

$dp(\cdot ,\theta _{t})=\Pi _{p(\cdot ,\theta _{t})}[F(p(\cdot ,\theta _{t}))]\,dt+\Pi _{p(\cdot ,\theta _{t})}[G^{T}(p(\cdot ,\theta _{t}))]\circ dY_{t}\$

где $\Pi _{p(\cdot ,\theta )}$ - проекция касательного пространства в точке $p(\cdot ,\theta )$ для коллектора $S_{\Theta }$, и где применительно к вектору, такому как $G^{T}$предполагается, что он действует покомпонентно, проецируя каждый из $G^{T}$компоненты. В основе этого касательного пространства лежит

$\left\{{\frac {\partial p(\cdot ,\theta )}{\partial \theta _{1}}},\cdots ,{\frac {\partial p(\cdot ,\theta )}{\partial \theta _{n}}}\right\},$

обозначая внутренний продукт $L^{2}$ с $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, определяется метрика

$\gamma _{ij}(\theta )=\left\langle {\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{i}}}\,,{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle =\int {\frac {\partial p(x,\theta )}{\partial \theta _{i}}}\,{\frac {\partial p(x,\theta )}{\partial \theta _{j}}}\,dx$

и проекция, таким образом,

$\Pi _{p(\cdot ,\theta )}^{\gamma }[v]=\sum _{i=1}^{n}\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta )\;\left\langle v,\,{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle \right]\;{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{i}}}$

где $\gamma ^{ij}$ является обратным $\gamma _{ij}$. Таким образом, прогнозируемое уравнение имеет вид

$dp(\cdot ,\theta _{t})=\Pi _{p(\cdot ,\theta )}[F(p(\cdot ,\theta _{t}))]dt+\Pi _{p(\cdot ,\theta )}[G^{T}(p(\cdot ,\theta _{t}))]\circ dY_{t}$

который можно записать как

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial p(\cdot ,\theta _{t})}{\theta _{i}}}\circ d\theta _{i}=\sum _{i=1}^{n}\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta )\;\left\langle F(p(\cdot ,\theta _{t})),\,{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle \right]\;{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{i}}}dt+\sum _{i=1}^{n}\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta )\;\left\langle G^{T}(p(\cdot ,\theta _{t})),\,{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle \right]\;{\frac {\partial {p(\cdot ,\theta )}}{\partial \theta _{i}}}\circ dY_{t},$

где было крайне важно, чтобы исчисление Стратоновича подчинялось цепному правилу. Из приведенного выше уравнения итоговый проекционный фильтр SDE равен $d\theta _{i}=\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int F(p(x,\theta _{t}))\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}dx\right]dt+\sum _{k=1}^{d}\;\left[\sum _{j=1}^{n}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int G_{k}(p(x,\theta _{t}))\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]\circ dY_{k}$

с выбранным начальным условием $\theta _{0}$.

Подставив определения операторов F и G, мы получаем полностью явное уравнение проекционного фильтра в прямой метрике:

$d\theta _{i}(t)=\left[\sum _{j=1}^{m}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int {{\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p(x,\theta _{t})}\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}dx-\sum _{j=1}^{m}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int {\frac {1}{2}}\left[\vert b(x,t)\vert ^{2}-\int \vert b(z,t)\vert ^{2}p(z,\theta _{t})dz\right]\;p(x,\theta _{t})\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]dt$

$+\sum _{k=1}^{d}\;\left[\sum _{j=1}^{m}\gamma ^{ij}(\theta _{t})\;\int \left[b_{k}(x,t)-\int b_{k}(z,t)p(z,\theta _{t})dz\right]\;p(x,\theta _{t})\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]\circ dY_{t}^{k}\ .$

Если вместо этого использовать расстояние Хеллингера, потребуются квадратные корни из плотностей. базис касательного пространства тогда

$\left\{{\frac {\partial {\sqrt {p(\cdot ,\theta )}}}{\partial \theta _{1}}},\cdots ,{\frac {\partial {\sqrt {p(\cdot ,\theta )}}}{\partial \theta _{n}}}\right\},$

и определяется метрика

${\frac {1}{4}}g_{ij}(\theta )=\left\langle {\frac {\partial {\sqrt {p}}}{\partial \theta _{i}}}\,,{\frac {\partial {\sqrt {p}}}{\partial \theta _{j}}}\right\rangle ={\frac {1}{4}}\int {\frac {1}{p(x,\theta )}}\,{\frac {\partial p(x,\theta )}{\partial \theta _{i}}}\,{\frac {\partial p(x,\theta )}{\partial \theta _{j}}}\,dx.$

Метрика $g$ – информационная метрика Фишера. Действия полностью аналогичны случаю прямой метрики, и уравнение фильтра в метрике Хеллингера/Фишера имеет вид

$d\theta _{i}=\left[\sum _{j=1}^{n}g^{ij}(\theta _{t})\;\int {\frac {F(p(x,\theta _{t}))}{p(x,\theta _{t})}}\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]dt+\sum _{k=1}^{d}\;\left[\sum _{j=1}^{m}g^{ij}(\theta _{t})\;\int {\frac {G_{k}(p(x,\theta _{t}))}{p(x,\theta _{t})}}\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]\circ dY_{t}^{k}\ ,$

снова с выбранным начальным условием $\theta _{0}$.

Подставляя F и G, получаем $d\theta _{i}(t)=\left[\sum _{j=1}^{m}g^{ij}(\theta _{t})\;\int {\frac {{\cal {L}}_{t}^{\ast }\,p(x,\theta _{t})}{p(x,\theta _{t})}}\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx-\sum _{j=1}^{m}g^{ij}(\theta _{t})\int {\frac {1}{2}}\vert b_{t}(x)\vert ^{2}{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}dx\right]dt$

$+\sum _{k=1}^{d}\;\left[\sum _{j=1}^{m}g^{ij}(\theta _{t})\;\int b_{k}(x,t)\;{\frac {\partial p(x,\theta _{t})}{\partial \theta _{j}}}\;dx\right]\circ dY_{t}^{k}\ .$

Проекционный фильтр в прямой метрике при реализации на многообразии $S_{\Theta }$ смешанных семейств приводит к эквивалентности методу Галеркина.

Проекционный фильтр в метрике Хеллингера/Фишера при реализации на многообразии $S_{\Theta }^{1/2}$ квадратных корней экспоненциального семейства плотностей эквивалентно предполагаемым фильтрам плотности.

Следует отметить, что можно спроектировать и более простое уравнение Закаи для ненормированной версии плотности p. В результате будет получен тот же фильтр проекции Хеллингера, но другой фильтр прямой метрической проекции.

Наконец, если в случае экспоненциального семейства включить в число достаточных статистик экспоненциального семейства функцию наблюдения в $dY_{t}$, а именно $b(x)$компоненты и $|b(x)|^{2}$, то можно видеть, что шаг коррекции в алгоритме фильтрации становится точным. Другими словами, проекция векторного поля $G$ является точным, что приводит к $G$ сам. Написание алгоритма фильтрации в ситуации с непрерывным состоянием $X$ и дискретные наблюдения во времени $Y$, можно видеть, что шаг коррекции при каждом новом наблюдении является точным, поскольку соответствующая формула Байеса не требует аппроксимации.

Оптимальные проекционные фильтры на основе векторных и струйных проекций Ито.

Теперь вместо того, чтобы рассматривать точный фильтр SPDE в форме исчисления Стратоновича, его сохраняют в форме исчисления Ито.

$dp_{t}={\cal {L}}_{t}^{*}p_{t}\ dt+p_{t}[b(\cdot ,t)-E_{p_{t}}(b(\cdot ,t))]^{T}[dY_{t}-E_{p_{t}}(b(\cdot ,t))dt].$

В приведенных выше проекционных фильтрах Стратоновича векторные поля $F$ и $G$ были запланированы отдельно. По определению, проекция является оптимальным приближением для $F$ и $G$ отдельно, хотя это не означает, что он обеспечивает наилучшее приближение для решения фильтра SPDE в целом. Действительно, проекция Стратоновича, действующая на два члена $F$ и $G$ по отдельности не гарантирует оптимальность решения $p(\cdot ,\theta _{0+\delta t})$ как приближение к точному $p_{0+\delta t}$ скажем так, маленький $\delta t$. Можно поискать норму $\|\cdot \|$ применить к раствору, для которого

$\theta _{0+\delta t}\approx {\mbox{argmin}}_{\theta }\ \|p_{0+\delta t}-p(\cdot ,\theta )\|.$

Проекция вектора Ито получается следующим образом. Выберем норму пространства плотностей: $\|\cdot \|$, что может быть связано с прямой метрикой или метрикой Хеллингера.

В аппроксимирующем уравнении Ито выбирается диффузионный член для $\theta _{t}$ путем минимизации (но не обнуления) $\delta t$ член разложения Тейлора для среднеквадратической ошибки

$E_{t}[\|p_{0+\delta t}-p(\cdot ,\theta _{0+\delta t})\|^{2}]$,

нахождение члена дрейфа в аппроксимирующем уравнении Ито, минимизирующего $(\delta t)^{2}$ термин той же разницы. Здесь $\delta t$ член порядка минимизируется, а не обнуляется, и никогда не достигается $(\delta t)^{2}$ конвергенция, только $\delta t$ конвергенция.

Еще одним преимуществом векторной проекции Ито является то, что она минимизирует разложение Тейлора первого порядка в $\delta t$ из

$\|E[p_{0+\delta t}-p(\cdot ,\theta _{0+\delta t})]\|.$

Чтобы достичь $(\delta t)^{2}$ конвергенция, а не $\delta t$ сходимости, вводится проекция Ито-джета. В его основе лежит понятие метрической проекции.

Метрическая проекция плотности $p\in L^{2}$ (или ${\sqrt {p}}\in L^{2}$) на коллектор $S_{\Theta }$ (или $S_{\Theta }^{1/2}$) — ближайшая точка на $S_{\Theta }$ (или $S_{\Theta }^{1/2}$) к $p$ (или ${\sqrt {p}}$). Обозначим его через $\pi (p)$. Метрическая проекция, по определению, в соответствии с выбранной метрикой, является лучшим, что можно когда-либо сделать для аппроксимации $p$ в $S_{\Theta }$. Таким образом, идея состоит в том, чтобы найти проекционный фильтр, максимально приближенный к метрической проекции. Другими словами, рассматривается критерий $\theta _{0+\delta t}\approx {\mbox{argmin}}_{\theta }\ \|\pi (p_{0+\delta t})-p(\cdot ,\theta )\|.$

Подробные расчеты длительны и трудоемки. но полученное приближение достигает $(\delta t)^{2}$ конвергенция. Действительно, проекция струи Ито удовлетворяет следующему критерию оптимальности. Это обнуляет $\delta t$ срок заказа и это сводит к минимуму $(\delta t)^{2}$ Порядковый член разложения Тейлора среднеквадратического расстояния в $L^{2}$ между $\pi (p_{0+\delta t})$ и $p(\cdot ,\theta _{0+\delta t})$.

И вектор Ито, и проекция струи Ито приводят к окончательным СДУ, основанным на наблюдениях. $dY$, для параметра $\theta _{t}$ это лучше всего аппроксимирует точную эволюцию фильтра за небольшие промежутки времени.

Приложения

Джонс и Соатто (2011) упоминают проекционные фильтры как возможные алгоритмы онлайн-оценки в визуально-инерциальной навигации . картографирование и локализация, снова о навигации Азими-Саджади и Кришнапрасад (2005) использовать алгоритмы проекционных фильтров.Проекционный фильтр также рассматривался для применения в динамике океана в Lermusiaux 2006. Кучширайтер, Раст и Другович (2022) обратитесь к проекционному фильтру в контексте непрерывной циклической фильтрации. О приложениях квантовых систем см., например, van Handel and Mabuchi (2005), который применил квантовый проекционный фильтр к квантовой оптике , изучая квантовую модель оптической фазовой бистабильности сильносвязанного двухуровневого атома в оптическом резонаторе. Дальнейшие приложения к квантовым системам рассматриваются в работе Гао, Чжан и Петерсена (2019). Ма, Чжао, Чен и Чанг (2015) ссылаются на проекционные фильтры в контексте оценки положения опасности, а Веллекуп и Кларк (2006) обобщить теорию проекционного фильтра для обнаружения точек изменений . Харель, Меир и Оппер (2015) применить проекционные фильтры в форме предполагаемой плотности для фильтрации оптимальных точечных процессов с применением нейронного кодирования . Брокер и Парлиц (2000) изучить методы проекционного фильтра для снижения шума в хаотических временных рядах . Чжан, Ван, Ву и Сюй (2014) применить фильтр проекции Гаусса как часть своей методики оценки для измерения диаметров волокон в нетканых материалах, полученных экструзией из расплава.

См. также

• Проблема с фильтрацией
• Обобщенная фильтрация
• Нелинейный фильтр
• Расширенный фильтр Калмана
• Рекурсивная байесовская оценка