Торический узел Лиссажу

Торический узел Лиссажу параметрами 5, 6 и 22 в виде косы (с осью z в ​​горизонтальном направлении)

В теории узлов — торический узел Лиссажу это узел, определяемый параметрическими уравнениями вида:

$x(t)=(2+\sin qt)\cos Nt,\qquad y(t)=(2+\sin qt)\sin Nt,\qquad z(t)=\cos p(t+\phi ),$

где $N$, $p$, и $q$ являются целыми числами , фазовый сдвиг $\phi$ это действительное число и параметр $t$ варьируется от 0 до $2\pi$.

Для $p=q$ узел представляет собой торический узел .

Определения кос и бильярдных узлов.

Торический узел Лиссажу T(4,7,35) как бильярдный узел с периодом 7

В форме косы эти узлы можно определить в квадратном полнотории (т.е. кубе $[-1,1]^{3}$ с идентифицированным верхом и низом), как

$x(t)=\sin 2\pi qt,\qquad y(t)=\cos 2\pi p(t+\phi ),\qquad z(t)=2(Nt-\lfloor Nt\rfloor )-1,\qquad t\in [0,1]$.

Проекция этого торического узла Лиссажу на плоскость xy представляет собой кривую Лиссажу .

Замена функций синуса и косинуса в параметризации треугольной волной преобразует торическую форму Лиссажу изотопно завязать в бильярдную кривую внутри полнотора. Из-за этого свойства торические узлы Лиссажу еще называют бильярдными узлами в полнотории.

Торические узлы Лиссажу были впервые изучены как бильярдные узлы, и они имеют много общих свойств с бильярдными узлами в цилиндре. Они также встречаются при анализе особенностей минимальных поверхностей с точками ветвления. и в изучении Задача трех тел .

Узлы подсемейства с $p=q\cdot l$, с целым числом $l\geq 1$, известны как «лемнискатные узлы». Лемнискатные узлы имеют период. $q$ и являются волокнистыми . Узел, показанный справа, относится к этому типу (с $l=5$).

Характеристики

Симметрии торического узла Лиссажу T(3,8,7): симметричное объединение (вертикальная ось), поворот в зеркальное отображение и свойство палиндромности внутри Q (горизонтальная ось)

Торические узлы Лиссажу обозначаются $K(N,q,p,\phi )$. Чтобы гарантировать, что узел проходится только один раз при параметризации условия $\gcd(N,q)=\gcd(N,p)=1$ необходимы. Кроме того, необходимо исключить сингулярные значения фазы, приводящие к самопересечениям.

Изотопический класс торических узлов Лиссажу удивительным образом не зависит от фазы $\phi$ (вплоть до зеркалирования). Если различие между узлом и его зеркальным отражением не важно, используются обозначения $K(N,q,p)$ можно использовать.

Свойства торических узлов Лиссажу зависят от того, $p$ и $q$ являются взаимно простыми или $d=\gcd(p,q)>1$. Основные свойства:

• Обмен $p$ и $q$:

$K(N,q,p)=K(N,p,q)$ (вплоть до зеркалирования).

• Свойство ленты:

Если $p$ и $q$ являются взаимно простыми, $K(N,q,p)$ представляет собой симметричное объединение и, следовательно, ленточный узел .

• Периодичность:

Если $d=\gcd(p,q)>1$, торический узел Лиссажу имеет период $d$ а факторный узел представляет собой ленточный узел.

• Сильно-плюс-амфихеиральность:

Если $p$ и $q$ имеют разную четность, то $K(N,q,p)$ является сильно-плюс-амфихейральным.

• Период 2:

Если $p$ и $q$ оба странные, то $K(N,q,p)$ имеет период 2 (для четных $N$) или свободно 2-периодична (для нечетных $N$).

Пример

Узел Т(3,8,7), показанный на рисунках, представляет собой симметричное объединение и ленточного узла (фактически это составной узел $5_{1}\sharp -5_{1}$). Это сильно-плюс-амфихейральный: вращение на $\pi$ отображает узел в его зеркальном изображении, сохраняя его ориентацию. Дополнительная горизонтальная симметрия возникает как комбинация вертикальной симметрии и вращения («двойной палиндромность» в Кине/Накамуре/Огаве).

«Классификация» бильярдных комнат

В следующей таблице представлен систематический обзор возможностей построения бильярдных комнат из интервала и круга (интервала с обозначенными границами):

Бильярдная	Бильярдные узлы
$[-1,1]^{3}$	Узлы Лиссажу
$[-1,1]^{2}\times \mathbb {S} ^{1}$	Торические узлы Лиссажу
$[-1,1]\times \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$	Торовый узел
$\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$	(комната не встраивается в $\mathbb {R} ^{3}$)

В случае узлов Лиссажу отражения на границах происходят во всех трех измерениях куба. Во втором случае отражения происходят в двух измерениях и мы имеем равномерное движение в третьем измерении. Третий случай почти равен обычному движению по тору с дополнительным движением треугольной волны в первом измерении.