Узел Лиссажу

В теории узлов узел Лиссажу — это узел, определяемый параметрическими уравнениями вида

$x=\cos(n_{x}t+\phi _{x}),\qquad y=\cos(n_{y}t+\phi _{y}),\qquad z=\cos(n_{z}t+\phi _{z}),$

Лиссажу 8 ₂₁ узел

где $n_{x}$, $n_{y}$, и $n_{z}$ являются целыми числами , а фазовые сдвиги $\phi _{x}$, $\phi _{y}$, и $\phi _{z}$ могут быть любые действительные числа .

Проекция узла Лиссажу на любую из трех координатных плоскостей представляет собой кривую Лиссажу , и многие свойства этих узлов тесно связаны со свойствами кривых Лиссажу.

Замена функции косинуса в параметризации на треугольную волну преобразует каждое Лиссажуизотопно завязать узел в бильярдную кривую внутри куба, простейший случай так называемых бильярдных узлов .Бильярдные узлы можно изучать и в других областях, например в цилиндре. или в (плоском) полноторе ( торический узел Лиссажу ).

Форма

Поскольку узел не может быть самопересекающимся, три целых числа $n_{x},n_{y},n_{z}$ должно быть попарно относительно простым , и ни одна из величин

$n_{x}\phi _{y}-n_{y}\phi _{x},\quad n_{y}\phi _{z}-n_{z}\phi _{y},\quad n_{z}\phi _{x}-n_{x}\phi _{z}$

может быть целым числом, кратным пи . Более того, сделав замену формы $t'=t+c$, можно предположить, что любой из трех фазовых сдвигов $\phi _{x}$, $\phi _{y}$, $\phi _{z}$ равен нулю.

Примеры

Вот несколько примеров узлов Лиссажу. все из которых имеют $\phi _{z}=0$:

• 
  Трехвитковый узел
  $(n_{x},n_{y},n_{z})=(3,2,7)$
  $(\phi _{x},\phi _{y})=(0.7,0.2)$
• 
  Стивидорный узел
  $(n_{x},n_{y},n_{z})=(3,2,5)$
  $(\phi _{x},\phi _{y})=(1.5,0.2)$
• 
  Квадратный узел
  $(n_{x},n_{y},n_{z})=(3,5,7)$
  $(\phi _{x},\phi _{y})=(0.7,1.0)$
• 
  8 ₂₁ узел
  $(n_{x},n_{y},n_{z})=(3,4,7)$
  $(\phi _{x},\phi _{y})=(0.1,0.7)$

Существует бесконечно много разных узлов Лиссажу. и другие примеры с 10 или меньшим количеством пересечений включают _{узел 7,4} , узел 8,15 _, узел 10,1 _, узел _10,35 , _{узел 10,58} и составной узел 5,2 _. ^*  # 5 ₂ , а также узел 9 ₁₆ , _{10 76} узел _{, узел 10 99} , узел 10 ₁₂₂ , узел 10 ₁₄₄ , узел «бабушка» и составной узел 5 ₂ # 5 ₂ . Кроме того, известно, что каждый твист-узел с нулевым инвариантом Арфа является узлом Лиссажу.

Симметрия

Узлы Лиссажу очень симметричны, хотя тип симметрии зависит от того, являются ли числа $n_{x}$, $n_{y}$, и $n_{z}$ все странные.

Странный случай

Если $n_{x}$, $n_{y}$, и $n_{z}$ все нечетны, то точечное отражение через начало координат $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ является симметрией узла Лиссажу, сохраняющей ориентацию узла.

В общем, узел, который имеет симметрию точечного отражения, сохраняющую ориентацию, известен как сильно плюс амфихейральный . Это довольно редкое свойство: только семь-восемь простых узлов с двенадцатью и менее пересечениями являются сильно плюсамфихейральными (10 ₉₉ , 10 ₁₂₃ , 12а427, 12а1019, 12а1105, 12а1202, 12n706). Поскольку это большая редкость, «большинство» простых узлов Лиссажу лежит в четном случае.

Четный случай

Если одна из частот (скажем $n_{x}$) четный, то поворот на 180° вокруг x оси $(x,y,z)\mapsto (x,-y,-z)$ является симметрией узла Лиссажу. Вообще узел, обладающий симметрией такого типа, называется 2-периодическим , поэтому каждый четный узел Лиссажу должен быть 2-периодическим.

Последствия

Узел Лиссажу с тремя факторами: $(n_{x},n_{y},n_{z})=(4,5,41)$,
$(\phi _{x},\phi _{y})=(0.01,0.16)$

Симметрия узла Лиссажу накладывает серьезные ограничения на полином Александера . В странном случае Александрполином узла Лиссажу должен быть квадратом . В четном случае полином Александера должен быть точным квадратом по модулю 2. Кроме того, инвариант Арфа узла Лиссажу должен быть равен нулю. Отсюда следует, что:

• Узел «трилистник» и узел «восьмерка» — это не Лиссажу.
• Ни один торический узел не может быть Лиссажу.
• Ни один расслоенный двухмостовой узел не может быть Лиссажу.