Термодинамическая бета

«Холодность» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об абстрактном существительном, см. «Холод» .

Шкала преобразования температуры/холода SI : температуры в шкале Кельвина показаны синим цветом (шкала Цельсия - зеленым, шкала Фаренгейта - красным), значения холода в гигабайтах на наноджоуль показаны черным. Бесконечная температура (нулевая холодность) показана вверху диаграммы; положительные значения холода/температуры находятся справа, отрицательные значения – слева.

В статистической термодинамике термодинамическая бета , также известная как холодность , является обратной величиной термодинамической температуры системы: $$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$$ (где T — температура, а k _B — постоянная Больцмана ).

Первоначально она была введена в 1971 году (как Kältefunktion «функция холода») Инго Мюллером , одним из сторонников школы рациональной термодинамики . на основе более ранних предложений о функции «обратной температуры».

Термодинамическая бета имеет единицы измерения, обратные единицам энергии (в единицах СИ , обратные джоули , $[\beta ]={\textrm {J}}^{-1}$). В нетепловых единицах его также можно измерить в байтах на джоуль или, что более удобно, в гигабайтах на наноджоуль; 1 К ⁻¹ эквивалентно примерно 13 062 гигабайтам на наноджоуль; при комнатной температуре: Т = 300К, β ≈ 44 ГБ/нДж ≈ 39 эВ ⁻¹ ≈ 2.4 × 10 ²⁰ Дж ⁻¹ . Коэффициент пересчета составляет 1 ГБ/нДж = $8\ln 2\times 10^{18}$ Дж ⁻¹ .

Описание

Термодинамическая бета — это, по сути, связь между теорией информации и статистической механикой, интерпретирующей физическую систему через ее энтропию и термодинамику , связанную с ее энергией . Он выражает реакцию энтропии на увеличение энергии. Если системе бросается вызов с небольшим количеством энергии, то β описывает количество, которое система будет рандомизировать.

Используя статистическое определение температуры как функции энтропии, функцию холода можно вычислить в микроканоническом ансамбле по формуле

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}\,={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}$

(т.е. частная производная энтропии S по энергии E при постоянном объеме V и числе частиц N ).

Преимущества

по концептуальному содержанию полностью эквивалентен температуре, Хотя β обычно считается более фундаментальной величиной, чем температура, из-за явления отрицательной температуры , при которой β непрерывна при пересечении нуля, тогда как T имеет сингулярность.

Кроме того, β имеет то преимущество, что его легче понять с причинной точки зрения: если к системе добавляется небольшое количество тепла, β — это увеличение энтропии, разделенное на увеличение тепла. Температуру трудно интерпретировать в том же смысле, поскольку невозможно «добавить энтропию» в систему, кроме как косвенно, изменяя другие величины, такие как температура, объем или количество частиц.

Статистическая интерпретация

Со статистической точки зрения β — это числовая величина, связывающая две макроскопические системы, находящиеся в равновесии. Точная формулировка следующая. Рассмотрим две системы, 1 и 2, находящиеся в тепловом контакте с энергиями E ₁ и E ₂ соответственно . Предположим, что E ₁ + E ₂ = некоторая константа E . Число микросостояний каждой системы будем обозначать Ω ₁ и Ω ₂ . В наших предположениях _{зависит} только от Ei _Ωi . Мы также предполагаем, что любое микросостояние системы 1, согласующееся с E _{1 ,} может сосуществовать с любым микросостоянием системы 2, согласующимся с E ₂ . Таким образом, число микросостояний объединенной системы равно

$\Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).\,$

Мы выведем β из фундаментального предположения статистической механики :

Когда объединенная система достигает равновесия, число Ω максимизируется.

(Другими словами, система естественным образом стремится к максимальному числу микросостояний.) Следовательно, в состоянии равновесия

${\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.$

Но E ₁ + E ₂ = E влечет за собой

${\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.$

Так

$\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0$

т.е.

${\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{at equilibrium.}}$

Вышеприведенное соотношение мотивирует определение β :

$\beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.$

Соединение статистического представления с термодинамическим представлением

одинаковую термодинамическую температуру Т. Когда две системы находятся в равновесии, они имеют Таким образом, интуитивно можно было бы ожидать, что β связано с T. (как определено через микросостояния) каким-то образом Эта связь обеспечивается фундаментальным предположением Больцмана, записанным как

$S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,$

где k _B — постоянная Больцмана , S — классическая термодинамическая энтропия, а Ω — число микросостояний. Так

$d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.$

Подстановка в определение β из приведенного выше статистического определения дает

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.$

Сравнивая с термодинамической формулой

${\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},$

у нас есть

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}$

где $\tau$ называется фундаментальной температурой системы и имеет единицы энергии.

См. также

• Распределение Больцмана
• Канонический ансамбль
• Модель Изинга