Неравенство

В математике неравенство — это утверждение о том, что между двумя значениями существует неравенство . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Обычно его записывают в виде пары выражений, обозначающих рассматриваемые значения, со знаком отношения между ними, указывающим на конкретное отношение неравенства. Некоторые примеры неравенств:

$a<b$
$x+y+z\leq 1$
$n>1$
$x\neq 0$

В некоторых случаях термин «неравенство» можно считать синонимом термина «неравенство». ^{[ 3 ]} в то время как в других случаях неравенство зарезервировано только для утверждений, отношение неравенства которых « не равно » (≠). ^{[ 2 ]}

Цепочки неравенств

Сокращенное обозначение используется для объединения нескольких неравенств, включающих общие выражения, путем объединения их в цепочку. Например, цепочка

0\leq a<b\leq 1

это сокращение от

0\leq a~~\mathrm {and} ~~a<b~~\mathrm {and} ~~b\leq 1

что также подразумевает, что $0<b$ и $a<1$ .

В редких случаях используются цепочки без такого подтекста об отдаленных терминах. Например $i\neq 0\neq j$ это сокращение от $i\neq 0~~\mathrm {and} ~~0\neq j$ , что не подразумевает $i\neq j.$ ^{[ нужна ссылка ]} Сходным образом, $a<b>c$ это сокращение от $a<b~~\mathrm {and} ~~b>c$ , что не предполагает какого-либо порядка $a$ и $c$ . ^{[ 4 ]}

Решение неравенств

Подобно решению уравнений , решение неравенств означает поиск того, какие значения (числа, функции, множества и т. д.) удовлетворяют условию, сформулированному в форме неравенства или комбинации нескольких неравенств. Эти выражения содержат одно или несколько неизвестных , которые являются свободными переменными, для которых ищутся значения, вызывающие выполнение условия. Точнее, зачастую речь идет не о фактических значениях, а, в более общем смысле, о выражениях. Решением которое неравенства является присвоение выражений неизвестным , удовлетворяет неравенству (уравнениям); другими словами, такие выражения, которые, когда ими подставляются неизвестные, делают неравенства истинными суждениями. Часто дается дополнительное целевое выражение (т. е. уравнение оптимизации), которое должно быть минимизировано или максимизировано с помощью оптимального решения. ^{[ 5 ]}

Например,

0\leq x_{1}\leq 690-1.5\cdot x_{2}\;\land \;0\leq x_{2}\leq 530-x_{1}\;\land \;x_{1}\leq 640-0.75\cdot x_{2}

представляет собой совокупность неравенств, частично записанных в виде цепочек (где $\land$ можно прочитать как «и»); множество его решений показано на рисунке синим цветом (красная, зеленая и оранжевая линии соответствуют 1-му, 2-му и 3-му конъюнкту соответственно). Для более крупного примера. см . Линейное программирование#Пример .

Компьютерная поддержка решения неравенств описана в программировании в ограничениях ; в частности, симплексный алгоритм находит оптимальные решения линейных уравнений. ^{[ 6 ]} Язык программирования Пролог III также поддерживает алгоритмы решения определенных классов неравенств (и других отношений) в качестве основной функции языка. Дополнительную информацию см. в разделе «Программирование логики ограничений» .

Сочетания значений

Обычно из-за свойств определенных функций (например, квадратных корней) некоторые неравенства эквивалентны комбинации нескольких других. Например, неравенство $\textstyle {\sqrt {f(x)}}<g(x)$ логически эквивалентно следующим трем объединенным неравенствам:

$f(x)\geq 0$
$g(x)>0$
$f(x)<\left(g(x)\right)^{2}$

См. также

Отношение отделенности — форма неравенства в конструктивной математике.
Уравнение
Знак равенства
Неравенство (математика)
Реляционный оператор

Ссылки

^ Томас Х. Сайдботэм (2002). Математика от А до Я: Основное руководство . Джон Уайли и сыновья. п. 252. ИСБН 0-471-15045-2 .
^ Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ «Лучшая математика» . bestmaths.net . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Брайан А. Дэйви; Хилари Энн Пристли (1990). Введение в решетки и порядок . Кембриджские математические учебники. Издательство Кембриджского университета. определение забора в упражнении 1.11, с.23. ISBN 0-521-36766-2 . LCCN 89009753 .
^ Стапель, Элизабет. «Линейное программирование: Введение» . Фиолетовая математика . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ «Оптимизация – Симплексный метод» . Британская энциклопедия . Проверено 3 декабря 2019 г.

[1] Томас Х. Сайдботэм (2002). Математика от А до Я: Основное руководство . Джон Уайли и сыновья. п. 252. ИСБН 0-471-15045-2 .

[:1-2] Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.

[3] «Лучшая математика» . bestmaths.net . Проверено 3 декабря 2019 г.

[4] Брайан А. Дэйви; Хилари Энн Пристли (1990). Введение в решетки и порядок . Кембриджские математические учебники. Издательство Кембриджского университета. определение забора в упражнении 1.11, с.23. ISBN 0-521-36766-2 . LCCN 89009753 .

[5] Стапель, Элизабет. «Линейное программирование: Введение» . Фиолетовая математика . Проверено 3 декабря 2019 г.

[6] «Оптимизация – Симплексный метод» . Британская энциклопедия . Проверено 3 декабря 2019 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]