Вычислимость в анализе и физике
«Вычислимость в анализе и физике» — это монография и Дж. Яна Ричардса по вычислимому анализу Мэриан Пур-Эль . Он был опубликован Springer-Verlag в серии «Перспективы математической логики» в 1989 году и переиздан Ассоциацией символической логики и издательством Кембриджского университета в серии «Перспективы логики» в 2016 году.
Темы
[ редактировать ]Книга посвящена вычислимому анализу , разделу математического анализа, основанному Аланом Тьюрингом и занимающемуся вычислимостью конструкций в анализе . Эта область связана с конструктивным анализом , обратной математикой и численным анализом , но отличается от них . Раннее развитие этой области было резюмировано в книге Оливера Аберта « Вычислимый анализ» (1980) и «Вычислимость в анализе и физике» , в которой содержится обновленная информация, включающая существенные разработки в этой области ее авторов. [1] В отличие от российской школы вычислимого анализа, возглавляемой Андреем Марковым-младшим , она рассматривает вычислимость как отличительное свойство математических объектов среди других, а не разрабатывает теорию, касающуюся только вычислимых объектов. [2]
После начального раздела книги, знакомящего с вычислимым анализом и приводящего к примеру Джона Майхилла вычислимой непрерывно дифференцируемой функции , производная которой не вычислима, [1] оставшиеся две части книги посвящены результатам авторов. [3] К ним относятся результаты о том, что для вычислимого самосопряженного оператора собственные значения индивидуально вычислимы, но их последовательность (вообще) нет; существование вычислимого самосопряженного оператора, у которого 0 — собственное значение кратности единица, не имеющее вычислимых собственных векторов ; и эквивалентность вычислимости и ограниченности операторов. [1] В основной инструментарий авторов входят понятия вычислимой структуры , пары банахова пространства и аксиоматически охарактеризованного множества его последовательностей, а также эффективного порождающего множества — члена множества последовательностей, оболочка которых плотна линейная в космос. [3] [4]
Частично авторы мотивированы вычислимостью решений дифференциальных уравнений . Они предоставляют пример вычислимых и непрерывных начальных условий для волнового уравнения (однако с невычислимым градиентом ), которые приводят к непрерывному, но невычислимому решению в более позднее время. [3] [4] Однако они показывают, что это явление не может произойти ни для уравнения теплопроводности , ни для уравнения Лапласа . [2]
В книгу также включен сборник открытых задач. [2] [4] вероятно, вдохновит читателей на дополнительные исследования в этой области. [3]
Аудитория и прием
[ редактировать ]Книга является самостоятельной и предназначена для исследователей в области математического анализа и вычислимости; [1] рецензенты Дуглас Бриджес и Робин Ганди расходятся во мнениях относительно того, на какую из этих двух групп он лучше нацелен. [3] [4] Хотя соавтор Мариан Пур-Эль имеет опыт работы в области математической логики , и обе серии, в которых была опубликована книга, содержат логику в названии, от читателей не ожидается, что они знакомы с логикой. [2]
Несмотря на жалобы на формальность изложения и на то, что авторы не стремились включить все последние разработки в вычислительный анализ, рецензент Род Дауни пишет, что эта книга «явно необходима всем, кто занимается исследованиями в этой области». [1] и Ганди называет ее «интересной, читабельной и очень хорошо написанной книгой». [4]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с д и Дауни, Родни Г. (1990), Математические обзоры , MR 1005942
{{citation}}: CS1 maint: untitled periodical (link); reprinted in zbMATH as Збл 0678.03027 - ^ Jump up to: а б с д Аберт, Оливер (июнь 1991 г.), Журнал символической логики , 56 (2): 749–750, doi : 10.2307/2274716 , JSTOR 2274716
{{citation}}: CS1 maint: периодическое издание без названия ( ссылка ) - ^ Jump up to: а б с д и Бриджес, Дуглас С. (январь 1991 г.), Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 24 (1): 216–228, doi : 10.1090/S0273-0979-1991-15994-X , MR 1567904
{{citation}}: CS1 maint: периодическое издание без названия ( ссылка ) - ^ Jump up to: а б с д и Ганди, Р.О. (май 1991 г.), Бюллетень Лондонского математического общества , 23 (3): 303–305, doi : 10.1112/blms/23.3.303b
{{citation}}: CS1 maint: периодическое издание без названия ( ссылка )