Модель исправления ошибок

Модель исправления ошибок ( ECM ) принадлежит к категории моделей с несколькими временными рядами , наиболее часто используемых для данных, в которых базовые переменные имеют долгосрочную общую стохастическую тенденцию, также известную как коинтеграция . ECM — это теоретически обоснованный подход, полезный для оценки как краткосрочного, так и долгосрочного воздействия одного временного ряда на другой. Термин «коррекция ошибок» относится к тому факту, что отклонение последнего периода от долгосрочного равновесия, ошибка , влияет на его краткосрочную динамику. Таким образом, ECM напрямую оценивают скорость, с которой зависимая переменная возвращается в равновесие после изменения других переменных.

История

Юл (1926), а также Грейнджер и Ньюболд (1974) были первыми, кто обратил внимание на проблему ложной корреляции и нашел решения, как ее решить при анализе временных рядов. ^[1]^[2] Учитывая два совершенно несвязанных, но интегрированных (нестационарных) временных ряда, регрессионный анализ одного по другому будет иметь тенденцию давать очевидно статистически значимую связь, и, таким образом, исследователь может ошибочно полагать, что нашел доказательства истинной связи между этими переменными. Обычные методы наименьших квадратов перестанут быть последовательными, а часто используемые тестовые статистики станут недействительными. В частности, моделирование методом Монте-Карло показывает, что можно получить очень высокий R-квадрат , очень высокую индивидуальную t-статистику и низкую статистику Дурбина-Ватсона . Говоря техническим языком, Филлипс (1986) доказал, что оценки параметров не сходятся по вероятности , точка пересечения будет расходиться, а наклон будет иметь невырожденное распределение по мере увеличения размера выборки. ^[3] Однако в обоих рядах может существовать общая стохастическая тенденция , которая действительно интересует исследователя, поскольку она отражает долгосрочную связь между этими переменными.

Из-за стохастической природы тренда невозможно разбить интегрированный ряд на детерминированный (прогнозируемый) тренд и стационарный ряд, содержащий отклонения от тренда. Даже в случае случайных блужданий с детерминированным удалением тренда в конечном итоге возникнут ложные корреляции. Таким образом, удаление тренда не решает проблему оценки.

Чтобы по-прежнему использовать подход Бокса-Дженкинса , можно различить ряды, а затем оценить такие модели, как ARIMA , учитывая, что многие часто используемые временные ряды (например, в экономике) кажутся стационарными по первым разностям. Прогнозы такой модели по-прежнему будут отражать циклы и сезонность, присутствующие в данных. Однако любая информация о долгосрочных корректировках, которую могут содержать данные по уровням, опускается, и долгосрочные прогнозы будут ненадежными.

Это побудило Саргана (1964) разработать методологию ECM, которая сохраняет информацию об уровне. ^[4]^[5]

Оценка

В литературе известно несколько методов оценки уточненной динамической модели, как описано выше. Среди них двухэтапный подход Энгла и Грейнджера, оценивающий их ECM за один шаг, и векторный VECM с использованием метода Йохансена . ^[6]

Двухэтапный подход Энгла и Грейнджера

Первым шагом этого метода является предварительное тестирование отдельных временных рядов, которые используются, чтобы подтвердить, что они нестационарны вообще . Это можно сделать с помощью стандартного тестирования DF единичного корня и теста ADF (чтобы решить проблему последовательно коррелирующих ошибок).Возьмем случай двух разных серий $x_{t}$ и $y_{t}$ . Если оба значения равны I(0), стандартный регрессионный анализ будет действительным. Если они интегрированы разного порядка, например, один из них I(1), а другой I(0), необходимо преобразовать модель.

Если они оба интегрированы в одном порядке (обычно I (1)), мы можем оценить модель ECM вида

A(L)\,\Delta y_{t}=\gamma +B(L)\,\Delta x_{t}+\alpha (y_{t-1}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{t-1})+\nu _{t}.

Если обе переменные интегрированы и этот ECM существует, они коинтегрируются по теореме о представлении Энгла – Грейнджера.

Вторым шагом является оценка модели с использованием обычного метода наименьших квадратов : $y_{t}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{t}+\varepsilon _{t}$ Если регрессия не является ложной, как это определено описанными выше критериями тестирования, метод обычных наименьших квадратов будет не только действительным, но и последовательным (Stock, 1987). Тогда прогнозируемые остатки ${\hat {\varepsilon _{t}}}=y_{t}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{t}$ результаты этой регрессии сохраняются и используются в регрессии разностных переменных плюс член запаздывающей ошибки.

A(L)\,\Delta y_{t}=\gamma +B(L)\,\Delta x_{t}+\alpha {\hat {\varepsilon }}_{t-1}+\nu _{t}.

Затем можно проверить коинтеграцию, используя стандартную t-статистику на $\alpha$ .Хотя этот подход прост в применении, существует множество проблем:

Одномерные тесты на единичный корень, использованные на первом этапе, имеют низкую статистическую мощность.
Выбор зависимой переменной на первом этапе влияет на результаты теста, т.е. нам нужна слабая экзогенность для $x_{t}$ как определено причинностью Грейнджера
Потенциально можно иметь небольшую погрешность выборки.
Коинтеграционный тест на $\alpha$ не соответствует стандартному распределению
Достоверность долгосрочных параметров на первом этапе регрессии, на котором получают остатки, не может быть проверена, поскольку распределение оценки OLS коинтегрирующего вектора очень сложное и ненормальное.
Можно изучить не более одного коинтеграционного отношения. ^{[ нужна ссылка ]}

ВЕЩЬ

Подход Энгла-Грейнджера, описанный выше, страдает рядом недостатков. А именно, оно ограничено только одним уравнением с одной переменной, обозначенной как зависимая переменная, объясняемая другой переменной, которая считается слабо экзогенной для интересующих параметров. Он также основан на предварительном тестировании временного ряда, чтобы выяснить, являются ли переменные I (0) или I (1). Эти недостатки можно устранить с помощью процедуры Йохансена. Его преимущества заключаются в том, что предварительное тестирование не требуется, могут существовать многочисленные коинтеграционные отношения, все переменные рассматриваются как эндогенные и возможны тесты, относящиеся к долгосрочным параметрам. Полученная модель известна как векторная модель исправления ошибок (VECM), поскольку она добавляет функции исправления ошибок к многофакторной модели, известной как векторная авторегрессия (VAR). Процедура выполняется следующим образом:

Шаг 1: оцените неограниченную VAR, включающую потенциально нестационарные переменные.
Шаг 2. Проверьте коинтеграцию с помощью теста Йохансена.
Шаг 3: Сформируйте и проанализируйте VECM.

Пример ЕСМ

Идею коинтеграции можно продемонстрировать на простом макроэкономическом примере. Предположим, потребление $C_{t}$ и располагаемый доход $Y_{t}$ представляют собой макроэкономические временные ряды, которые связаны в долгосрочной перспективе (см. Гипотезу постоянного дохода ). В частности, пусть средняя склонность к потреблению равна 90%, то есть в долгосрочном периоде $C_{t}=0.9Y_{t}$ . С точки зрения эконометрики, эта долгосрочная связь (также известная как коинтеграция) существует, если ошибки регрессии $C_{t}=\beta Y_{t}+\varepsilon _{t}$ являются стационарным рядом, хотя $Y_{t}$ и $C_{t}$ являются нестационарными. Предположим также, что если $Y_{t}$ внезапно меняется на $\Delta Y_{t}$ , затем $C_{t}$ изменения на $\Delta C_{t}=0.5\,\Delta Y_{t}$ , то есть предельная склонность к потреблению равна 50%. Наше окончательное предположение состоит в том, что разрыв между текущим и равновесным потреблением уменьшается каждый период на 20%.

В этой настройке изменение $\Delta C_{t}=C_{t}-C_{t-1}$ уровня потребления можно смоделировать как $\Delta C_{t}=0.5\,\Delta Y_{t}-0.2(C_{t-1}-0.9Y_{t-1})+\varepsilon _{t}$ . Первый член в RHS описывает краткосрочное воздействие изменений в экономике. $Y_{t}$ на $C_{t}$ , второй член объясняет долгосрочное тяготение к равновесным отношениям между переменными, а третий член отражает случайные шоки, которые испытывает система (например, шоки потребительского доверия, влияющие на потребление). Чтобы увидеть, как работает модель, рассмотрим два вида потрясений: постоянные и преходящие (временные). Для простоты пусть $\varepsilon _{t}$ быть нулевым для всех t. Предположим, что в период t − 1 система находится в равновесии, т.е. $C_{t-1}=0.9Y_{t-1}$ . Предположим, что в период t располагаемый доход $Y_{t}$ увеличивается на 10, а затем возвращается к прежнему уровню. Затем $C_{t}$ первый (в период t) увеличивается на 5 (половина 10), но после второго периода $C_{t}$ начинает уменьшаться и приближается к исходному уровню. Напротив, если шок $Y_{t}$ является постоянным, то $C_{t}$ медленно сходится к значению, превышающему начальное $C_{t-1}$ к 9.

Эта структура является общей для всех моделей ECM. На практике специалисты по эконометрике часто сначала оценивают соотношение коинтеграции (уравнение в уровнях), а затем вставляют его в основную модель (уравнение в разностях).

Ссылки

^ Юл, Жорж Удни (1926). «Почему мы иногда получаем бессмысленные корреляции между временными рядами? – Исследование выборки и природы временных рядов». Журнал Королевского статистического общества . 89 (1): 1–63. JSTOR 2341482 .
^ Грейнджер, CWJ; Ньюболд, П. (1978). «Ложные регрессии в эконометрике». Журнал эконометрики . 2 (2): 111–120. JSTOR 2231972 .
^ Филлипс, Питер CB (1985). «Понимание ложных регрессий в эконометрике» (PDF) . Документы для обсуждения Фонда Коулза 757 . Фонд исследований в области экономики Коулза, Йельский университет.
^ Сарган, JD (1964). «Заработная плата и цены в Соединенном Королевстве: исследование эконометрической методологии», 16, 25–54. в Эконометрическом анализе для национального экономического планирования , под ред. П. Е. Харт, Г. Миллс и Дж. Н. Уиттакер. Лондон: Баттервортс
^ Дэвидсон, JEH; Хендри, Германия ; Срба, Ф.; Йео, Дж.С. (1978). «Эконометрическое моделирование совокупных временных рядов между потребительскими расходами и доходами в Соединенном Королевстве». Экономический журнал . 88 (352): 661–692. JSTOR 2231972 .
^ Энгл, Роберт Ф.; Грейнджер, Клайв У.Дж. (1987). «Коинтеграция и исправление ошибок: представление, оценка и тестирование». Эконометрика . 55 (2): 251–276. JSTOR 1913236 .

Дальнейшее чтение

Доладо, Хуан Дж.; Гонсало, Хесус; Мармол, Франческ (2001). «Коинтеграция». В Балтаги, Бади Х. (ред.). Спутник теоретической эконометрики . Оксфорд: Блэквелл. стр. 634 –654. дои : 10.1002/9780470996249.ch31 . ISBN 0-631-21254-Х .
Эндерс, Уолтер (2010). Прикладные эконометрические временные ряды (Третье изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 272–355. ISBN 978-0-470-50539-7 .
Люткеполь, Хельмут (2006). Новое введение в анализ множественных временных рядов . Берлин: Шпрингер. стр. 237–352 . ISBN 978-3-540-26239-8 .
Мартин, Вэнс; Херн, Стэн; Харрис, Дэвид (2013). Эконометрическое моделирование с использованием временных рядов . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 662–711. ISBN 978-0-521-13981-6 .

[1] Юл, Жорж Удни (1926). «Почему мы иногда получаем бессмысленные корреляции между временными рядами? – Исследование выборки и природы временных рядов». Журнал Королевского статистического общества . 89 (1): 1–63. JSTOR 2341482 .

[2] Грейнджер, CWJ; Ньюболд, П. (1978). «Ложные регрессии в эконометрике». Журнал эконометрики . 2 (2): 111–120. JSTOR 2231972 .

[3] Филлипс, Питер CB (1985). «Понимание ложных регрессий в эконометрике» (PDF) . Документы для обсуждения Фонда Коулза 757 . Фонд исследований в области экономики Коулза, Йельский университет.

[4] Сарган, JD (1964). «Заработная плата и цены в Соединенном Королевстве: исследование эконометрической методологии», 16, 25–54. в Эконометрическом анализе для национального экономического планирования , под ред. П. Е. Харт, Г. Миллс и Дж. Н. Уиттакер. Лондон: Баттервортс

[5] Дэвидсон, JEH; Хендри, Германия ; Срба, Ф.; Йео, Дж.С. (1978). «Эконометрическое моделирование совокупных временных рядов между потребительскими расходами и доходами в Соединенном Королевстве». Экономический журнал . 88 (352): 661–692. JSTOR 2231972 .

[6] Энгл, Роберт Ф.; Грейнджер, Клайв У.Дж. (1987). «Коинтеграция и исправление ошибок: представление, оценка и тестирование». Эконометрика . 55 (2): 251–276. JSTOR 1913236 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]