Поглощающий элемент
В математике поглощающий элемент (или уничтожающий элемент ) — это особый тип элемента множества по отношению к бинарной операции над этим набором. Результатом объединения поглощающего элемента с любым элементом набора является сам поглощающий элемент. В теории полугрупп поглощающий элемент называется нулевым элементом. [1] [2] потому что нет риска путаницы с другими понятиями нуля , за одним заметным исключением: в аддитивной записи ноль может, вполне естественно, обозначать нейтральный элемент моноида. В данной статье «нулевой элемент» и «поглощающий элемент» являются синонимами.
Определение
[ редактировать ]Формально, пусть ( S , •) — множество S с замкнутой бинарной операцией • над ним (известной как магма ). Нулевой элемент (или поглощающий / уничтожающий элемент ) — это элемент z такой, что для s в S z s • всех = s • z = z . Это понятие можно уточнить до понятий левого нуля , где требуется только, чтобы z • s = z , и правого нуля , где s • z = z . [2]
Поглощающие элементы представляют особый интерес для полугрупп , особенно мультипликативной полугруппы полукольца . В случае полукольца с 0 определение поглощающего элемента иногда ослабляется, так что от него не требуется поглощать 0; в противном случае 0 был бы единственным поглощающим элементом. [3]
Характеристики
[ редактировать ]- Если магма имеет как левый ноль z, так и правый ноль z ′, то у нее есть ноль, поскольку z = z • z ′ = z ′ .
- Магма может содержать не более одного нулевого элемента.
Примеры
[ редактировать ]- Самый известный пример поглощающего элемента взят из элементарной алгебры, где любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Таким образом, ноль является поглощающим элементом.
- Ноль любого кольца также является поглощающим элементом. Для элемента r кольца R 0 r = r (0 + 0) = r 0 + r 0 , поэтому 0 = r 0 , поскольку ноль — это единственный элемент a, для которого r − r = a для любого r в кольцо Р. Это свойство справедливо и для генератора случайных чисел, поскольку мультипликативное тождество не требуется.
- Арифметика с плавающей запятой , определенная в стандарте IEEE-754, содержит специальное значение, называемое Not-a-Number («NaN»). Это поглощающий элемент каждой операции; т . е. x + NaN = NaN + x = NaN , x - NaN = NaN - x = NaN и т. д.
- Множество бинарных отношений над множеством X вместе с композицией отношений образует моноид с нулем, где нулевым элементом является пустое отношение ( пустое множество ).
- Замкнутый интервал H = [0, 1] с x • y = min( x , y ) также является моноидом с нулем, а нулевой элемент равен 0.
- Еще примеры:
| Домен | Операция | поглотитель | ||
|---|---|---|---|---|
| действительные числа | ⋅ | умножение | 0 | |
| целые числа | наибольший общий делитель | 1 | ||
| n - n квадратные матрицы | умножение матрицы | матрица всех нулей | ||
| расширенные действительные числа | наименьший/самый низкий | −∞ | ||
| величайший/высший | +∞ | |||
| наборы | ∩ | пересечение | ∅ | пустой набор |
| подмножества множества M | ∪ | союз | М | |
| Булева логика | ∧ | логичный и | ⊥ | ложь |
| ∨ | логичный или | ⊤ | правда | |
См. также
[ редактировать ]- Поглощающий набор - набор, который можно «надуть», чтобы достичь любой точки.
- Аннигилятор (значения)
- Аннигилятор (теория колец) - идеал, который отображает в ноль подмножество модуля.
- Идемпотент (теория колец) . В математике элемент, равный своему квадрату, - элемент x кольца такой, что x 2 = х
- Элемент идентичности - конкретный элемент алгебраической структуры.
- Нулевая полугруппа - полугруппа с поглощающим элементом, называемым нулем, в которой произведение любых двух элементов равно нулю.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Хоуи 1995 , стр. 2–3.
- ^ Jump up to: а б Килп, Кнауэр и Михалев 2000 , стр. 14–15
- ^ Голаны 1999 , с. 67
Ссылки
[ редактировать ]- Хауи, Джон М. (1995). Основы теории полугрупп . Кларендон Пресс . ISBN 0-19-851194-9 .
- Килп, М.; Кнауэр, У.; Михалев, А.В. (2000), «Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетениям и графам», « Изложения Де Грютера по математике » , 29 , Вальтер де Грюйтер, ISBN 3-11-015248-7
- Голан, Джонатан С. (1999). Полукольца и их применение . Спрингер. ISBN 0-7923-5786-8 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Поглощающий элемент в PlanetMath