Обычный вентилятор

В математике , особенно в , нормальный веер выпуклого многогранника P — это многогранный веер , двойственный P. выпуклой геометрии Обычные любители имеют приложения к многогранной комбинаторике , линейному программированию , тропической геометрии и другим областям математики.

Определение

Дан выпуклый многогранник P в R ^н , нормальный веер N _P группы P является многогранным веером в двойственном пространстве , ( R ^н )* чьи конусы состоят из нормального конуса CF _к каждой грани F грани P ,

$N_{P}=\{C_{F}\}_{F\in \operatorname {face} (P)}.$

Каждый нормальный конус CF _{которые} определяется как набор линейных функционалов w таких, что набор точек x в P, максимизируют w ( x ), содержит F ,

$C_{F}=\{w\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\mid F\subseteq \operatorname {argmax} _{x\in P}w(x)\}.$

Характеристики

• N _P — полный веер , то есть объединение его конусов — это все пространство, ( R ^н )*.
• Если F — грань P размерности d , то ее нормальный конус имеет _CF размерность n – d . Нормальные конусы вершин графа P полномерны. Если P имеет полную размерность, нормальные конусы к граням P являются лучами N _P , а нормальным конусом к самому P является C _P = {0}, нулевой конус.
• Аффинная оболочка грани F матрицы P ортогональна нормального линейной оболочке ее CF _конуса .
• Соответствие между гранями P и конусами NP _граней обращает включение, а это означает, что для F и G из P ,

$F\subseteq G\quad \Leftrightarrow \quad C_{F}\supseteq C_{G}.$

• Так как NP _{двух его конусов также является} — веер, то любых конусом в NP _. пересечение Для F и G P , граней

$C_{F}\cap C_{G}=C_{H}$

где H — наименьшая грань P содержащая как F , так и G. ,

Приложения

• Если многогранник P рассматривается как допустимая область , линейной программы нормальный веер P разбивает пространство целевых функций на основе набора решений для линейной программы, определенной каждым из них. Линейная программа, целью которой является максимизация линейной целевой функции w, множество решений F тогда и только тогда, когда находится внутри относительной внутренней части конуса CF. _имеет w
• Если многогранник P имеет начало внутри себя , то нормальный веер P можно построить из полярно-двойственного многогранника P , взяв конус над каждой гранью двойственного многогранника P °.
• Для f полинома от n переменных с коэффициентами из C тропическая гиперповерхность f f поддерживается на подвеере нормального веера многогранника P Ньютона многогранника . В частности, тропическая гиперповерхность опирается на конусы в NP _{размерности} меньше n .

Ссылки

• Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам , Тексты для аспирантов по математике, том. 152, Шпрингер-Верлаг, ISBN  0-387-94365-Х .