Стохастическая область Леви

В вероятностей теории стохастическая область Леви — это случайный процесс , который описывает замкнутую область траектории двумерного броуновского движения и ее хорду . Этот процесс был предложен Полем Леви в 1940 году. и в 1950 году он вычислил характеристическую функцию и условную характеристическую функцию.

Этот процесс имеет множество неожиданных связей с другими объектами математики, такими как солитонные решения уравнения Кортевега – Де Фриза. и дзета-функция Римана . В исчислении Маллявена этот процесс можно использовать для построения процесса, который является гладким в смысле Маллявена, но не имеет непрерывных модификаций по отношению к банаховой норме .

Стохастическая область Леви

Позволять $W=(W_{s}^{(1)},W_{s}^{(2)})_{s\geq 0}$ быть двумерным броуновским движением в $\mathbb {R} ^{2}$ тогда стохастическая область Леви — это процесс

$S(t,W)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\left(W_{s}^{(1)}dW_{s}^{(2)}-W_{s}^{(2)}dW_{s}^{(1)}\right),$

где интеграл Ито . используется

Определите 1-форму $\vartheta ={\tfrac {1}{2}}(x^{1}dx^{2}-x^{2}dx^{1})$ затем $S(t,W)$ стохастический интеграл $\vartheta$ вдоль кривой $\varphi :[0,t]\to \mathbb {R} ^{2},s\mapsto (W_{s}^{(1)},W_{s}^{(2)})$

$S(t,W)=\int _{W[0,t]}\vartheta .$

Эта формула

Позволять $x=(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$, $a\in \mathbb {R}$, $b=at/2$ и $S_{t}=S(t,W)$ затем Леви вычислил

$\mathbb {E} [\exp(iaS_{t})]={\frac {1}{\cosh(b)}}$

и

$\mathbb {E} [\exp(iaS_{t})\mid W_{t}=x]={\frac {b}{\sinh(b)}}\exp \left({\frac {\|x\|_{2}}{2t}}\left(1-b\coth \left(b\right)\right)\right),$

где $\|x\|_{2}$ является евклидовой нормой .

Дальнейшие темы

• В 1980 году Йор нашел короткое вероятностное доказательство.
• В 1983 году Хельмс и Шване нашли формулу более высокой размерности.