Теорема Эрла – Гамильтона о неподвижной точке

В математике теорема Эрла -Гамильтона о неподвижной точке является результатом геометрической теории функций, дающим достаточные условия для того, чтобы голоморфное отображение открытой области в комплексном банаховом пространстве в себя имело неподвижную точку. Этот результат был доказан в 1968 году Клиффордом Эрлом и Ричардом С. Гамильтоном , показав, что относительно метрики Каратеодори в области голоморфное отображение становится сжимающим отображением, к которому банахову теорему о неподвижной точке можно применить .

Заявление

Пусть D — связное открытое подмножество комплексного банахова пространства X и пусть f — голоморфное отображение D в себя такое, что:

• образ f ( D ) ограничен по норме;
• расстояние между точками f ( D ) и точками внешности D ограничено снизу положительной константой.

Тогда отображение f имеет единственную неподвижную точку x в D , и если y — любая точка в D , итерации f ^н ( y ) сходятся к x .

Доказательство

Заменив D на ε-окрестность f ( D ), можно предположить, что D сам ограничен по норме.

Для z в D и v в X установите

$\displaystyle {\alpha (z,v)=\sup _{g}|g^{\prime }(z)v|,}$

где верхняя грань берется по всем голоморфным функциям g на D с | г ( z )| < 1.

Определим α-длину кусочно-дифференцируемой кривой γ:[0,1] $\rightarrow$ D по

$\displaystyle {\ell (\gamma )=\int _{0}^{1}\alpha (\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}$

Метрика Каратеодори определяется формулой

$\displaystyle {d(x,y)=\inf _{\gamma (0)=x,\gamma (1)=y}\ell (\gamma )}$

для x и y в D . Это непрерывная функция на для DxD . нормальной топологии

Если диаметр D меньше R , то, взяв подходящие голоморфные функции g вида

$\displaystyle {g(z)=a(z)+b}$

с a в X * и b в C , отсюда следует, что

$\displaystyle {\alpha (z,v)\geq \|v\|/R,}$

и, следовательно, это

$\displaystyle {d(x,y)\geq \|x-y\|/R.}$

В частности, d определяет метрику на D .

Правило цепочки

$\displaystyle {(g\circ f)^{\prime }(z)=g^{\prime }(f(z))f^{\prime }(z)}$

подразумевает, что

$\displaystyle {\alpha (f(z),f^{\prime }(z)v)\leq \alpha (z,v)}$

и, следовательно, f удовлетворяет следующему обобщению неравенства Шварца-Пика :

$\displaystyle {d(f(x),f(y))\leq d(x,y).}$

Для достаточно малого δ и фиксированного y в D то же неравенство можно применить к голоморфному отображению

$\displaystyle {f_{\delta ,y}(z)=f(z)+\delta (f(z)-f(y))}$

и дает улучшенную оценку:

$\displaystyle {d(f(x),f(y))\leq (1+\delta )^{-1}d(x,y).}$

Теорема Банаха о неподвижной точке может быть применена к ограничению f на замыкание f ( D ), на котором d определяет полную метрику, определяющую то же самое топология как норма.

Другие теоремы о голоморфной неподвижной точке

В конечных измерениях существование неподвижной точки часто можно вывести из теоремы Брауэра о неподвижной точке без обращения к голоморфности отображения. В случае ограниченных симметричных областей с Бергмана метрикой Неретин (1996) и Клерк (1998) показали, что применяется та же схема доказательства, что и в теореме Эрла-Гамильтона. Ограниченная симметрическая область D = G / K является полным метрическим пространством для метрики Бергмана. Открытая полугруппа комплексификации G _c , замыкающая D в D, действует посредством сжимающих отображений , поэтому снова можно применить банахову теорему о неподвижной точке. Неретин распространил этот аргумент путем непрерывности на некоторые бесконечномерные ограниченные симметричные области, в частности на обобщенный круг Зигеля симметричных операторов Гильберта-Шмидта с операторной нормой меньше 1. В этом случае одинаково хорошо применима теорема Эрла-Гамильтона.

Ссылки

• Эрл, Клиффорд Дж.; Гамильтон, Ричард С. (1970), Теорема о неподвижной точке для голоморфных отображений , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XVI, Американское математическое общество, стр. 61–65.
• Харрис, Лоуренс А. (2003), "Неподвижные точки голоморфных отображений областей в банаховых пространствах", Абстр. Прил. Анальный. , 2003 (5): 261–274, CiteSeerX   10.1.1.419.2323 , doi : 10.1155/S1085337503205042
• Неретин, Ю.А. (1996), Категории симметрий и бесконечномерные группы , Монографии Лондонского математического общества, т. 1, с. 16, Издательство Оксфордского университета, ISBN  0-19-851186-8
• Клерк, Жан-Луи (1998), «Сжатие и сжатие эрмитовых симметричных пространств», Math. З. , 229 : 1–8, doi : 10.1007/pl00004648 , S2CID   122333415